摘 要：不確定條件下的生產(chǎn)外包具有期權(quán)特征。考慮價(jià)格與成本都具有不確定性，借助實(shí)物期權(quán)方法建立了生產(chǎn)外包決策模型，對(duì)外包時(shí)機(jī)進(jìn)行了研究，得到了期權(quán)價(jià)值與外包閾值公式。通過數(shù)值模擬，分析了相關(guān)系數(shù)、波動(dòng)率對(duì)閾值及波動(dòng)率對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響。

關(guān)鍵詞： 外包;實(shí)物期權(quán);不確定性;外包時(shí)機(jī)

中圖分類號(hào)：F272 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A ? ?文章編號(hào)：1003-7217（2015）01-0059-05

一、引言

在全球范圍內(nèi)，外包已經(jīng)越來越占主導(dǎo)地位，因?yàn)樗芙o企業(yè)帶來競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)^[1]。Shy和Stenbacka通過不同行業(yè)的大量例子說明外包的意義^[2]。外包的優(yōu)勢(shì)主要有：降低成本，提高質(zhì)量，提高生產(chǎn)率，減少產(chǎn)品設(shè)計(jì)時(shí)間^[3]。

Jeffery和Leliveld指出，大部分企業(yè)分析外包合同時(shí)，考慮凈現(xiàn)值方法^[4]。凈現(xiàn)值方法說明，只要外包比自制產(chǎn)生更大的收益時(shí)，企業(yè)應(yīng)該外包。例如，Dayanand和Padman利用傳統(tǒng)凈現(xiàn)值方法研究外包合同的付款問題^[5]。

然而，生產(chǎn)外包作為企業(yè)的一項(xiàng)戰(zhàn)略決策，具有外包成本的不可逆性、未來收益的不確定性和外包時(shí)機(jī)的可延遲性等特征。因?yàn)槭袌?chǎng)環(huán)境的不確定導(dǎo)致了收益的不確定;不可逆指的是外包的成本大部分不可回收，屬于沉沒成本;外包時(shí)機(jī)的可延遲性指企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)環(huán)境，可以選擇是否外包，何時(shí)外包等等，這賦予了企業(yè)選擇外包時(shí)機(jī)以最大化企業(yè)價(jià)值的柔性決策權(quán)利。對(duì)于生產(chǎn)外包上述特征，實(shí)物期權(quán)方法提供了一種很好的解決方案，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)凈現(xiàn)值方法在市場(chǎng)不確定及經(jīng)營(yíng)柔性上的不足。

近年來，實(shí)物期權(quán)方法得到了廣泛的應(yīng)用。Dixit和Pindyck在市場(chǎng)環(huán)境不確定和投資不可逆的情況下，運(yùn)用實(shí)物期權(quán)方法討論了項(xiàng)目的最優(yōu)投資時(shí)機(jī)^[6]。谷曉燕等基于實(shí)物期權(quán)理論， 考慮到研發(fā)項(xiàng)目投資的靈活性， 結(jié)合研發(fā)項(xiàng)目的階段性特征，構(gòu)建了風(fēng)險(xiǎn)條件下研發(fā)項(xiàng)目多階段評(píng)價(jià)模型^[7]。戴曉鳳和李檢華引入Schwarz 的連續(xù)型實(shí)物期權(quán)模型，對(duì)中國(guó)軟件開發(fā)板塊的高科技上市公司進(jìn)行價(jià)值評(píng)估，研究發(fā)現(xiàn)， 實(shí)物期權(quán)模型能較好地對(duì)高科技企業(yè)進(jìn)行價(jià)值評(píng)估^[8]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者分析外包時(shí)，主要分為從企業(yè)和供應(yīng)商的角度出發(fā)，運(yùn)用實(shí)物期權(quán)方法來考慮使自身價(jià)值達(dá)到最大的外包決策問題。

從企業(yè)的角度，許民利等將實(shí)物期權(quán)方法應(yīng)用到國(guó)際生產(chǎn)外包決策中，假設(shè)匯率、產(chǎn)品價(jià)格、市場(chǎng)需求等服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用蒙特卡羅模擬求解模型^[9]; Yao等假設(shè)產(chǎn)品生產(chǎn)成本服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，分析了外包時(shí)機(jī)選擇問題^[10];Moon假設(shè)企業(yè)擁有外包的期權(quán)，外包前企業(yè)自制，企業(yè)尋找供應(yīng)商的努力程度與外包后企業(yè)的利潤(rùn)有關(guān)，分析了部分外包的時(shí)機(jī)選擇問題^[11];Benaroch等考慮服務(wù)外包的成本最小化問題，假設(shè)服務(wù)的需求量服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，企業(yè)擁有服務(wù)外包的期權(quán)，分析了服務(wù)外包的期權(quán)價(jià)值和外包時(shí)機(jī)選擇^[12]。從供應(yīng)商的角度，Moon等供應(yīng)商考慮了成本不確定情況下的外包合同的執(zhí)行時(shí)間問題^[13]。

本文從企業(yè)角度出發(fā)，考慮現(xiàn)實(shí)中價(jià)格和成本都具有不確定性，并將參數(shù)對(duì)外包時(shí)機(jī)的影響進(jìn)行分析。

二、問題描述及模型假設(shè)

考慮生產(chǎn)同質(zhì)產(chǎn)品的兩個(gè)企業(yè)。其中一個(gè)企業(yè)，擁有將產(chǎn)品生產(chǎn)移交給另一企業(yè)（供應(yīng)商）生產(chǎn)的期權(quán)。也就是說，企業(yè)擁有外包的期權(quán)，是否外包、何時(shí)外包由企業(yè)決定。假設(shè)企業(yè)時(shí)刻t生產(chǎn)單位產(chǎn)品的價(jià)格Pt和生產(chǎn)單位產(chǎn)品的成本Ct分別服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，如下所示：

dPt=μpPtdt+σpPtdZp

dCt=μcCtdt+σcCtdZc

初始單位產(chǎn)品價(jià)格、成本分別為P0=P，C0=C。其中μp，μc為漂移率，分別表示價(jià)格和成本變化的趨勢(shì)，σp，σc為波動(dòng)率，分別表示價(jià)格和成本的不確定性，Zp，Zc為標(biāo)準(zhǔn)維納過程，且E（dZpdZc）=αdt。折現(xiàn)率為ρ，假設(shè)ρ>μp，ρ>μc。

因?yàn)楣?yīng)商具有專業(yè)化、規(guī)模經(jīng)濟(jì)、勞動(dòng)力成本優(yōu)勢(shì)等原因，供應(yīng)商生產(chǎn)該產(chǎn)品具有生產(chǎn)成本的優(yōu)勢(shì)，時(shí)刻t生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的成本為λCt，其中0<λ<1，它反映了兩個(gè)企業(yè)的單位產(chǎn)品成本的差異程度，λ越小，說明供應(yīng)商的成本優(yōu)勢(shì)越明顯。

與吳慶等類似，假設(shè)企業(yè)和供應(yīng)商采用收入共享、成本共擔(dān)合同^[14]，企業(yè)外包后，將與供應(yīng)商共享收入、共擔(dān)成本。為了激勵(lì)供應(yīng)商，企業(yè)除了支付給供應(yīng)商該產(chǎn)品的部分生產(chǎn)成本外，還給予供應(yīng)商分享收入的權(quán)利。這樣，企業(yè)與供應(yīng)商都有動(dòng)力去執(zhí)行外包合同。企業(yè)外包后，所得收益為SPt-mλCt，其中，S（0

財(cái)經(jīng)理論與實(shí)踐（雙月刊）2015年第1期2015年第1期（總第193期）陳丹梅：不確定條件下的生產(chǎn)外包時(shí)機(jī)研究

三、企業(yè)外包的實(shí)物期權(quán)模型

企業(yè)在時(shí)刻τ（τ≥0）外包，外包前自制，令V（P，C）表示企業(yè)的價(jià)值，則：

V（P，C）=supτ {E（p，c）[∫τ0e-ρt（Pt-

Ct）dt+∫∞τe-ρt（SPt-mλCt）dt]}=

supτE（P，C）{∫∞0e-pt（Pt-Ct）dt+

∫∞τe-ρt[（1-mλ）Ct-（1-S）Pt]dt}=

pρ-μp-cρ-μc+supτE（P，C）∫∞τe-ρt[（1-

mλ）Ct-（1-S）Pt]dt=pρ-μp-cρ-μc+

supτE（P，C）e-ρτ（1-mλ）Cτρ-μc-（1-S）pτp-μp（1）

式（1）中，pρ-μp-cρ-μc表示不實(shí)施外包的情況下的企業(yè)價(jià)值;supτE（P，C）e-ρτ（1-mλ）Cτρ-μc-（1-S）pτp-μp表示，企業(yè)因?yàn)閾碛型獍臋?quán)利，給企業(yè)帶來的額外收益，即企業(yè)外包的期權(quán)價(jià)值，記作F（P，C）。于是， F（P，C）=supτE（P，C）e-ρτ（1-mλ）Cτρ-μc-（1-S）pτp-μp企業(yè)外包的期權(quán)F（P，C）是永久美式交換期權(quán)，它是一個(gè)看漲期權(quán)，企業(yè)在最優(yōu)外包時(shí)刻，用自制收益去交換外包收益。因此，企業(yè)選擇最優(yōu)的外包時(shí)機(jī)，使得其外包期權(quán)價(jià)值達(dá)到最大的同時(shí)，也使得其價(jià)值達(dá)到最大。

如Dixit和Pindyck^[6]所示，連續(xù)區(qū)域的貝爾曼方程為：

ρF（P，C）dt=E（dF） ?（2）

利用伊藤引理，將上式中的dF展開，整理后得到下面微分方程：

ρF=μpPδFδP+μcCδFδC+

12σ2pP2δ2FδP2+2ασpσcPCδ2FδPδC+σ2cC2δ2FδC2（3）

式（3）是關(guān)于P，C 的一階齊次方程，于是，企業(yè)的最優(yōu)外包時(shí)機(jī)僅取決于單位產(chǎn)品成本與價(jià)格的比值。

令X=CP′ 可得：

F（P，C）=PF（1，CP）=Pf（X）（4）

將（4）代入（3），得到：

12σ2X2f″（X）+（μC-μP）Xf′（X）+

（μP-ρ）f（X）=0 （5）

其中，σ2=σ2C-2ασPσC+σ2P。

外包的最優(yōu)時(shí)機(jī)是Xt=CtPt首次達(dá)到或超過閾值的時(shí)刻，即存在一個(gè)外包閾值，當(dāng)Xt≥X*時(shí)實(shí)施外包。故最優(yōu)外包時(shí)機(jī)t*=inf{t≥0;Xt≥X*}，其中X*表示外包閾值。當(dāng)單位產(chǎn)品成本Ct與單位產(chǎn)品價(jià)格Pt之比上升到X*時(shí)，為了利用供應(yīng)商的成本優(yōu)勢(shì)，企業(yè)應(yīng)該外包。

方程（5）解的形式為：

f（X）=A1Xβi+A2Xβ2（6）

其中，β1，β2分別為方程12β（β-1）σ2+β（μC-μP）+μp-P=0的兩根，

β1=12-μC-μPσ2+

μC-μPσ2-122+2（ρ-μP）σ2>1 （7）

β2=12-μC-μPσ2+

μC-μPσ2-122+2（ρ-μP）σ2<1 （8）

f（X）滿足下面條件：

limX0f（0）=0 （9）

式（9）表示，當(dāng)X很小時(shí)，企業(yè)外包的期權(quán)價(jià)值為0。

于是，根據(jù)（6）與（9），得到

f（X）=A1Xβ1 （10）

此外，f（X）還滿足條件：

f（X*）=（1-mλ）X*p-μC-1-Sp-μP （11）

f′（X*）=1-mλρ-μC （12）

式（11）是價(jià)值匹配條件，表示在閾值X*處的期權(quán)價(jià)值，等于實(shí)施外包的期望收益;式（12）是平滑粘結(jié)條件，函數(shù)在閾值處連續(xù)且平滑，說明在閾值處外包，企業(yè)的期權(quán)價(jià)值達(dá)到最大。

由式（10）～（12）得出，外包閾值與外包的期權(quán)價(jià)值分別為：

X*=β1β1-1×ρ-μCρ-μP×1-S1-mλ （13）

F（P，C）=A1P1-β1Cβ1CP

（1-mλ）Cρ-μC-（1-S）Pρ-μPCP≥X* （14）

其中，A1=1-mλβ1（ρ-μc）X*1-β1。

四、模型結(jié)論分析

結(jié)論1：當(dāng)單位產(chǎn)品成本Ct與單位產(chǎn)品價(jià)格Pt之比上升到X*時(shí)，企業(yè)應(yīng)該立即外包;否則，企業(yè)應(yīng)該等待更好的外包時(shí)機(jī)。

結(jié)論2：X*σ>0， X*α<0。

證明：因?yàn)閄*σ>0， X*α<0（證明見[6]或直接求偏導(dǎo)數(shù)均可），所以X*σ>0。當(dāng)σC>ασP時(shí)，σσC>0，所以X*σC=X*β1×β1σ×σσC>0; 當(dāng)σC>ασP時(shí)，σσC<0，所以X*σC=X*β1×β1σ×σσC<0 。同理，當(dāng)σP>ασC時(shí)，X*σP>0，當(dāng)σP>ασC時(shí)，X*σP<0

。因?yàn)棣姚?lt;0，所以X*α=X*β1×β1σ×σσC<0。

從結(jié)論2看出，X*σ>0，σ越大，綜合風(fēng)險(xiǎn)越大，閾值X*上升的空間越大，為了提高企業(yè)價(jià)值，企業(yè)更愿意在較大的閾值處外包。σC>ασP時(shí)，外包閾值隨σC的增大而增大;當(dāng)σC<ασp時(shí)，外包閾值隨σC的增大而減小。當(dāng)σP<ασC時(shí)，外包閾值隨σP的增大而增大;當(dāng)σP<ασC時(shí)，外包閾值隨σP的增大而減小。價(jià)格與成本的相關(guān)系數(shù)越大，使得綜合風(fēng)險(xiǎn)降低，企業(yè)更愿意在較小的閾值處外包。

結(jié)論3：X*S<0，X*m>0，X*λ>0。