●陳華云 (溫州市第二外國語學校 浙江溫州 325015)

一道有關正方體軌跡問題的探討

●陳華云 (溫州市第二外國語學校 浙江溫州 325015)

2015年5月浙江省溫州市高中數(shù)學學業(yè)水平考試適應性測試的選擇壓軸題如下:

例1 如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，動點P在底面ABCD上，并且滿足∠BD1P=45°，則動點P的軌跡為( )

A．圓弧 B．橢圓的一部分

C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分

(正確答案:C)

圖1

圖2

表1 二元二次方程與相關圖形

(教師追問:能否通過改變建系的方法，化簡上述方程的形式?)

圖3

比較以上2種解法，由于不同的建系方法，導致結(jié)果形式不同，解法2更易判定為雙曲線方程，實際上解法1也可通過坐標系旋轉(zhuǎn)變換公式

(教師:此時問題已經(jīng)得到解決，但過程有些曲折，能否進一步利用圓錐曲線模型進行分析?)

結(jié)論用一個不過圓錐面頂點的平面去截一個圓錐面，當平面與圓錐面的所成角θ與軸截面頂角的半角α大小關系不同時，交線的不同情況如圖4所示:1)當α＜θ＜時，交線為橢圓;2)當0≤θ≤α時，交線為雙曲線;3)當θ=α時，交線為拋物線．特別地當θ=時，交線為圓．

圖4

解法3易知 α=45°，θ=∠D1BD，而tanθ=＜1=tanα，從而0≤θ＜α，故軌跡為雙曲線的一部分．

利用解法3的思路，容易解答以下的高考試題:

例2如圖5，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點P滿足∠PAB=30°，則點P的軌跡是 ( )

A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線的一支

(2015年浙江省數(shù)學高考文科試題第7題)

變式1將“動點P在底面ABCD上”改為“動點P在底面ADD1A1上”．

根據(jù)對稱性特點，同原題得到點P的軌跡為雙曲線的一部分，故選C．

圖5

圖8

解法2本題可參照2008年浙江省數(shù)學高考理科試題第10題，其實是一個平面斜截圓柱表面的問題．點P在以D1B為軸線的圓柱面上，又在平面ABCD內(nèi)運動，則點P在圓柱面與平面的交線上，且滿足平面與圓柱的軸線斜交，從而可得點P的軌跡為橢圓，故選B．

注:根據(jù)平面與圓柱的軸線的不同位置得到不同截面形狀(如圖8所示)．

解析幾何中的圓錐曲線是平面截圓錐面所產(chǎn)生的截線，從軌跡觀點來看，又是空間中動點運動的軌跡．通過一道學考試卷中有關正方體軌跡問題的探討，讓我們更清晰地知道怎樣抓住數(shù)(定量分析:通過建系、列式求方程，再判斷形狀)與形(定性分析:需要深入了解曲線的定義與由來，再進行判定)2個角度解決此類問題．