●石向陽 (南雅中學 湖南長沙 410129)

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一點引兩弦斜率積為定值充要條件的探討及應用

●石向陽 (南雅中學 湖南長沙 410129)

在數(shù)學高考和數(shù)學競賽中，常常會出現(xiàn)這類問題：曲線上一定點P引出2條動弦PQ,PR，這2條弦斜率的乘積(即kPQ·kPR)為定值，求動直線QR恒過定點或kQR恒為定值．筆者經(jīng)過深入地思考和探索，得出一組非常漂亮、實用的性質(zhì)，現(xiàn)簡潔整理出來，以饗讀者．

證明 作平移x′=x-x0，y′=y-y0，代入Ф(x，y)=0得

(1)

設QR的方程為lx′+my′=1，代入式(1)得

Ax′2+Bx′y′+Cy′2+(Φ1x′+Φ2y′)(lx′+my′)=0,整理得

(A+Φ1l)=0.

(2)

即

lΦ1+m(-λΦ2)=λC-A.

(3)

lΦ1+m(-λΦ2)=0,

即

從而

上述性質(zhì)，不僅形式優(yōu)美，而且能幫助我們迅速破解一些試題.

(2011年湖北省高中數(shù)學聯(lián)賽預賽試題)

可得λ=-1，即∠AQB=90°．

例2 已知點A(1,2)，過點(5,-2)的直線與拋物線y2=4x交于另外2個點B,C，那么△ABC是

( )

A.銳角三角形 B.鈍角三角形

C.直角三角形 D.不確定

(1999年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)

kAB·kAC=λ(≠0).

注意到當x0=1，y0=2時，令

得

λ=-1，

圖1

故選C．

例3 如圖1，設點A和點B為拋物線y2=4px(其中p>0)上除原點以外的2個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？

(2000年安徽省春季數(shù)學高考試題)

解 因為OA⊥OB，所以

kOA·kOB=-1.

(x-2p)2+y2=4p2(其中x≠0).

圖2

1),2)略；

3)對任意k>0，求證：PA⊥PB．

(2011年江蘇省數(shù)學高考試題)

證明 設P(x0,y0)，則A(-x0,-y0)，C(x0,0)，由推論3知動直線AP過中心(0,0)的充要條件是

故

即

PA⊥PB．

例7 設A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足|DM|=m|DA|(其中m>0,且m≠1)．當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C．

1)求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標.

2)過原點且斜率為k的直線交曲線C于點P，Q，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H．問:是否存在m，使得對任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

(2012年湖北省數(shù)學高考理科試題)

2)如圖3，對任意x1∈(0.1)，設P(x1,y1)，H(x2,y2)，則Q(-x1,-y1)，N(0,y1).由推論3知動直線PQ過中心(0,0)的充要條件是

又點Q，N，H共線，從而

即

而PQ⊥PH等價于

kPH·kPQ=-1，

即

圖3

例8 已知橢圓C:9x2+y2=m2(其中m>0),直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有2個交點A，B，線段AB的中點為M．證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.

(2015年全國數(shù)學高考新課標卷試題)

圖4

證明 如圖4，聯(lián)結AO并延長與橢圓交于點C，聯(lián)結BC，O為線段AC的中點，M為線段AB的中點，因此OM∥CB，即kOM=kCB．由推論3知動直線AC過中心(0,0)的充要條件是

從而kAB·kOM=kAB·kCB=kBA·kBC=-9,

故直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．