●姚 杰 (湖州中學(xué) 浙江湖州 313000)

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一類數(shù)列不等式證明題的方法策略

●姚 杰 (湖州中學(xué) 浙江湖州 313000)

證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧，從而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競(jìng)賽試題命題的極好素材.這類問(wèn)題中的典型代表即為證明“Sn<正常數(shù)”的題型，它的求解策略往往是：通過(guò)多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s.下面談?wù)勌幚磉@類問(wèn)題的3種策略.

策略1 能求和，先求和.

1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；

(2013年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析 1)過(guò)程略，解得an=2n.

2)因?yàn)閍n=2n，所以

從而

下面著重闡述無(wú)法求和的此種證明題的方法策略.

策略2 先放縮再求和，一般要么放縮成裂項(xiàng)相消求和，要么放縮成等比數(shù)列求和，都可以用待定系數(shù)法.

例2 在正項(xiàng)數(shù)列{an},{bn}中，a1=2,b1=4，且an,bn,an+1成等差數(shù)列，bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列.

1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式；

(2015年浙江省湖州中學(xué)模擬考試題)

分析 1)過(guò)程略，解得an=n(n+1)，bn=(n+1)2.

所以

反思 待定出來(lái)的系數(shù)一定要經(jīng)得住檢驗(yàn)；如果前幾項(xiàng)不放縮的話,一定要注意n的范圍變化；待定系數(shù)的過(guò)程可以在草稿紙上進(jìn)行，書寫出來(lái)的答案應(yīng)該是想法成熟以后的結(jié)果.

例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn=an+1-2n+1+1，且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列.

1)求a1的值；

2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

分析 1),2)過(guò)程略.求得a1=1,an=3n-2n.

得

反思 放縮成等比數(shù)列的公比應(yīng)該0

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

2)要證Sn>n-2，等價(jià)于證明∑(1-an)<2.左邊根據(jù)條件中的遞推式是可以用裂項(xiàng)相消法直接求和的，不需要放縮(證明過(guò)程略).

反思 若要證明的不等式2邊含有n，則相對(duì)簡(jiǎn)單，因?yàn)槿魏魏衝的式子f(n)，都能求出通項(xiàng)an=f(n)-f(n-1)(其中n≥2),所以只要比較通項(xiàng)的大小即可.麻煩的就是“常數(shù)”，因?yàn)橥?xiàng)求和以后通常不是一個(gè)常數(shù)，所以需要我們?nèi)ふ夷膫€(gè)通項(xiàng)求和以后去掉含有n的部分就是那個(gè)待證的常數(shù)，這是需要技巧的.這就是筆者為何只介紹證明“Sn<正常數(shù)”題型的方法策略的原因.

例5 數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a5=6；數(shù)列{bn}滿足：b1=3,bn+1=b1b2b3…bn+1.

2)當(dāng)a3>1且a3∈N*時(shí)，a3，a5，ak1，ak2，…，akn，…為等比數(shù)列．

①求a3；

分析 1),2)①略.

(注：若遇到“Sn>正常數(shù)”的情形，其實(shí)不用求和，一般可利用通項(xiàng)an>0，Sn遞增，只要Sn≥S1即可.)