☉江蘇省南通市啟秀中學(xué) 吳 敏

深刻理解教學(xué)內(nèi)容，預(yù)設(shè)追問促進(jìn)生成
——以“勾股定理”教學(xué)設(shè)計(jì)為例

☉江蘇省南通市啟秀中學(xué) 吳 敏

文1、文2分別從實(shí)驗(yàn)教學(xué)、操作拼圖的角度對勾股定理起始課教學(xué)給出富有啟發(fā)的教學(xué)設(shè)計(jì)，受此啟發(fā)，筆者也將近期執(zhí)教的一節(jié)“勾股定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)梳理如下，并解讀各欄目的設(shè)計(jì)意圖，提供研討．

一、勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)

1.結(jié)合歷史，引出特例

情境引入：古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在朋友聚會時(shí)，發(fā)現(xiàn)腳下的地磚具有某種性質(zhì)（如圖1）．

預(yù)設(shè)：畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系．

板書：命題1：如果直角三角形的兩直角邊分別為a和a，斜邊長為c，那么a2+a2=c2.

2.探究發(fā)現(xiàn)，形成猜想

問題：畢達(dá)哥拉斯在發(fā)現(xiàn)了等腰直角三角形的三邊具有這樣的關(guān)系后，又進(jìn)一步地往下思考．同學(xué)們，你們知道畢達(dá)哥拉斯又在思考什么嗎？

預(yù)設(shè)：等腰直角三角形是特殊的直角三角形，應(yīng)該考慮一般的直角三角形是否也有這樣的結(jié)論．

板書：命題2：如果直角三角形的兩直角邊分別為a和b，斜邊長為c，則有a2+b2=c2.

預(yù)設(shè)：如圖2，提供方格紙（每個(gè)小正方形方格的面積均為1），在方格紙上有一個(gè)非等腰的直角三角形．設(shè)它的兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，那么我們現(xiàn)在仍然用面積法來證c2=a2+b2，也就是要證明什么？（SA+SB=SC）

問題1：你如何計(jì)算圖2中正方形A、B的面積？（數(shù)格子即可）

問題2：你如何計(jì)算圖2中正方形C的面積？由此可知什么結(jié)論？（兩種方法：割或補(bǔ)．其中割法即為弦圖，可由學(xué)生討論）

追問：這樣我們能不能說這個(gè)命題得到證明了呢？如果是另外的情況，能否也用剛才的方法來說明呢？（不行，因?yàn)闊o法利用方格圖了）

3.利用弦圖，證明命題

介紹勾股弦圖，為了研究的需要，標(biāo)注一些字母，即兩個(gè)邊長分別為a和b的正方形拼成一個(gè)圖形.

問題1：如圖3，這時(shí)圖形的面積為多少？（a2+b2）

如圖4所示，割出兩個(gè)邊長均為a和b的長方形；將這兩個(gè)長方形分割成兩個(gè)全等的直角三角形，這些直角三角形都是全等的，并且它們的直角邊均為a和b，斜邊我們設(shè)為c；將其中的兩個(gè)直角三角形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖5位置．

問題2：這時(shí)形成了什么圖形？（正方形，并簡要證明，并說明這個(gè)圖形就叫“弦圖”）邊長是什么？（c）面積是多少？（c2）

預(yù)設(shè)：可以得出什么結(jié)論？（拼成的正方形面積等于原邊長為a、b的兩個(gè)正方形面積之和，即a2+b2=c2）于是我們通過對圖形割補(bǔ)拼的方法，利用面積的關(guān)系，證明了命題1是真命題．我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，因此我國將其稱為“勾股定理”．

板書：將“命題2”改成“勾股定理”．

勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊分別為a和b，斜邊長為c，則有a2+b2=c2.

4.討論交流畢達(dá)哥拉斯證法

介紹：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派也用類似的方法證明過勾股定理，他們是利用四個(gè)以a和b為直角邊，c為斜邊的直角三角形（如圖6），三個(gè)分別以a、b、c為邊的正方形（如圖7）.拼成兩個(gè)面積相等的正方形（如圖8、9）.

問題：你能否利用這兩個(gè)圖形來證明勾股定理嗎？（用兩個(gè)圖形或只用右邊一個(gè)均可證明，用一個(gè)圖形證明需要有乘法公式的基礎(chǔ)）

5.定理分析，簡單運(yùn)用

問題1：定理的題設(shè)是什么？（直角三角形，∠C=90°：反映“形”）結(jié)論是什么？（a2+b2=c2：反映“數(shù)”）因此勾股定理是“數(shù)”“形”結(jié)合的一個(gè)數(shù)學(xué)模型.

勾股定理的公式：a2+b2=c2是一個(gè)不定方程，解有無數(shù)個(gè)，若知道直角三角形的兩條邊，就可以求第三邊.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)的整體解讀

1.深刻理解教學(xué)內(nèi)容，挖掘勾股定理的人文價(jià)值

本節(jié)課是人教版（義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書）八年級（下）“勾股定理”第1課時(shí)，是直角三角形相關(guān)知識的延續(xù)，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)解直角三角形和學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識承前啟后的緊密相關(guān)性、連續(xù)性.勾股定理是幾何中最重要的定理之一，揭示了直角三角形三邊之間的一種數(shù)量關(guān)系，為發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想提供了思維平臺.此外，歷史上勾股定理的發(fā)現(xiàn)反映了人類杰出的智慧，勾股定理在數(shù)學(xué)的發(fā)展與現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的作用，其中蘊(yùn)含著豐富的科學(xué)和人文價(jià)值，對于激勵學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣具有重要意義.從研究方法而言，勾股定理的探索發(fā)現(xiàn)過程，是從特殊到一般的認(rèn)識過程，學(xué)習(xí)用以“形”證“數(shù)”的方法證明勾股定理，是“數(shù)”與“形”相結(jié)合的一個(gè)數(shù)學(xué)模型，有利于培養(yǎng)學(xué)生的合理猜想能力，拓展學(xué)生推理論證的視野.

2.從理解學(xué)生的角度出發(fā)，預(yù)設(shè)教學(xué)活動和跟進(jìn)追問

八年級學(xué)生已經(jīng)具備一定的觀察、歸納、探索和推理的能力.在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾何圖形面積的計(jì)算方法——割補(bǔ)法，但運(yùn)用面積法和割補(bǔ)思想解決問題的意識和能力還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.部分學(xué)生聽說過“勾三股四弦五”，但并沒有真正認(rèn)識什么是“勾股定理”.本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)在于勾股定理的證明，而證明的思想大部分都基于面積的割補(bǔ)拼接，多媒體的作用即體現(xiàn)于此，利用形象的PPT動畫向?qū)W生演示弦圖的生成過程，有利于學(xué)生在自己的大腦中對思考內(nèi)容進(jìn)行比較和驗(yàn)證，加深對面積法的印象與理解.

3.加強(qiáng)教學(xué)對話、互動生成，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法滲透

從上面的教學(xué)設(shè)計(jì)來看，我們預(yù)設(shè)了大量的互動式的教學(xué)活動，并積極與學(xué)生對話，促進(jìn)教學(xué)生成；同時(shí)在與學(xué)生對話、追問之中，引導(dǎo)學(xué)生體會、感受數(shù)學(xué)思想方法，比如從等腰直角三角形到一般直角三角形，滲透了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.在勾股定理證明之后，引導(dǎo)學(xué)生思考勾股定理揭示出的“形”“數(shù)”之間的關(guān)系，滲透數(shù)形結(jié)合思想.

三、結(jié)束語

勾股定理是千古第一定理，她的教學(xué)更是很多同行研討的熱點(diǎn)，文2中曾說“要想看一個(gè)數(shù)學(xué)教師的基本功，就讓他教勾股定理”，此言不虛，我們對勾股定理教學(xué)的探索實(shí)踐只是開始，遠(yuǎn)未結(jié)束，將來的教學(xué)生活中還會碰到，還要加強(qiáng)研討，爭取更深刻地理解教學(xué)內(nèi)容，預(yù)設(shè)出既貼近學(xué)生實(shí)際，又過渡自然的教學(xué)設(shè)計(jì).

1.萬廣磊．基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的勾股定理教學(xué)實(shí)踐［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（4）.

2.冒劼．有效先學(xué)·踴躍展示·啟發(fā)思考——勾股定理（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)與解讀［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（7）.Z