☉江蘇省無(wú)錫市新城中學(xué) 浦?jǐn)⒌?/p>

教學(xué)爭(zhēng)議放在“教材深度解讀”下去定論
——以“一元一次不等式解決問(wèn)題”中對(duì)“最多（少）”類問(wèn)法的設(shè)元為例

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一、提出問(wèn)題

義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》（蘇科版七年級(jí)下冊(cè)）“第11章：一元一次不等式”之“11.5用一元一次不等式解決問(wèn)題”中的問(wèn)題1引用了章前圖提出問(wèn)題：“一只紙箱質(zhì)量為1kg，放入一些蘋果后，紙箱和蘋果的總質(zhì)量不超過(guò)10kg.假設(shè)每個(gè)蘋果的質(zhì)量為0.25kg，這只紙箱內(nèi)最多能裝多少個(gè)蘋果？

2004年11月第1版、2012年11月第3版、2013年11月第10次印刷的教材對(duì)上題的解答過(guò)程如下.解：設(shè)這只紙箱內(nèi)裝了x個(gè)蘋果.根據(jù)題意，得0.25x+1≤10.解這個(gè)不等式，得x≤36.答：這只紙箱內(nèi)最多能裝36個(gè)蘋果.

2014年11月第11次印刷的教材對(duì)上題的解答過(guò)程如下.解：設(shè)這只紙箱內(nèi)最多能裝x個(gè)蘋果.根據(jù)題意，……（下同上解法）.

同一版本的教材，在相差一年的時(shí)間里，出現(xiàn)兩種不同的設(shè)元方法，不僅引起了廣大數(shù)學(xué)教師的爭(zhēng)論，更促使數(shù)學(xué)研究者深入的思考.是編者的粗心還是有意更改？是兩種設(shè)元方法都行還是都有問(wèn)題？哪個(gè)更接近數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是否有深層次內(nèi)涵在里面？教學(xué)何去何從？帶著這個(gè)問(wèn)題，筆者進(jìn)行了分析思考.

二、分析思考

仔細(xì)閱讀本節(jié)內(nèi)容的四個(gè)例題，發(fā)現(xiàn)在“用一元一次不等式解決問(wèn)題”中會(huì)遇到兩類問(wèn)題.一類是題目條件中有“不等關(guān)系”關(guān)鍵詞，求解中沒(méi)有“不等關(guān)系”關(guān)鍵詞，如本節(jié)例2：條件為“杜鵑花適宜在氣溫為17℃到20℃之間的山區(qū)”，問(wèn)法為“求山區(qū)適宜種植這種杜鵑花的山坡的高度”，對(duì)于這類問(wèn)題，可以直接設(shè)山坡高度為x，列出不等式求解，最后求出的x也是一個(gè)范圍，而不是一個(gè)確定的值，答要根據(jù)實(shí)際意義作出相應(yīng)的結(jié)論；另一類就是如上題目條件中有“不等關(guān)系”關(guān)鍵詞，求解中也有“不等關(guān)系”關(guān)鍵詞.第一類問(wèn)題設(shè)元不存在任何問(wèn)題，第二類問(wèn)題由于教材的不同解法，顯然會(huì)令教師和學(xué)生都產(chǎn)生疑問(wèn)，那么遇到這類問(wèn)題，究竟該如何設(shè)元呢？

首先，我們從“知識(shí)線”的微觀層面解讀一下教材，進(jìn)而對(duì)“一元一次不等式”知識(shí)線產(chǎn)生深層次的本質(zhì)理解.一元一次不等式是表示不相等關(guān)系的式子，它有無(wú)數(shù)個(gè)解（無(wú)限），所有這些解組成了這個(gè)不等式的解集.在這個(gè)解集中，含有“最大、最小”或“有限個(gè)”特殊的解（有限）.實(shí)際上，列一元一次不等式解應(yīng)用題，更多的是求解集中這些特解的過(guò)程.

其次，我們從“知識(shí)面”的宏觀層面解讀一下教材，把不等式知識(shí)線與方程知識(shí)線作個(gè)比較，以便深層次把握“不等式”宏觀研究的暗線和本質(zhì).“一元一次方程”是按照“定義—方程的解—解方程—運(yùn)用和應(yīng)用”的思路展開(kāi)，因?yàn)橐辉淮畏匠探獾奈ㄒ恍裕ㄒ话悖?，決定了這是一條單一的完整的知識(shí)線；而“二元一次方程”本來(lái)也可以按照上述思路展開(kāi)，但由于其解有無(wú)數(shù)個(gè)（不定方程），所以只能研究定義和解，進(jìn)而轉(zhuǎn)到“二元一次方程”的“特解”或“二元一次方程組”的研究上來(lái)，形成了“二元一次方程組”的“定義—方程組的解（解的唯一性，一般）—解方程組—運(yùn)用和應(yīng)用”這條知識(shí)線.由此可見(jiàn)，當(dāng)問(wèn)題的解出現(xiàn)“無(wú)限”時(shí)，從“面”的角度看，就會(huì)設(shè)法變成“有限”（特解），由一般到特殊，這完全符合初中生的身心特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律.

然后，回到“一元一次不等式”上來(lái).知識(shí)線是一元一次不等式的“定義—解（解集）—解不等式—運(yùn)用和應(yīng)用”，由于解是無(wú)限個(gè)（解集），所以要么走向“一元一次不等式的特解”，要么走向“一元一次不等式組”，都是由一般到特殊，變無(wú)限為有限.當(dāng)然后面“一元一次不等式組”的解也組成解集，再特殊化處理，此處不再展開(kāi).

最后，回到原始問(wèn)題上來(lái).條件“紙箱和蘋果的總質(zhì)量不超過(guò)10kg”，轉(zhuǎn)化成符號(hào)語(yǔ)言顯然是一個(gè)“一元一次不等式”，它應(yīng)該有無(wú)數(shù)個(gè)解，考慮到蘋果的個(gè)數(shù)是正整數(shù)，是特解，應(yīng)該是有限個(gè)，在這有限個(gè)特解中，必定有最大的一個(gè)，這就是問(wèn)題“這只紙箱內(nèi)最多能裝多少個(gè)蘋果？”因此，采用方法一的設(shè)元顯然是合情合理.而方法二“設(shè)這只紙箱內(nèi)最多能裝x個(gè)蘋果”的設(shè)元，x應(yīng)該是唯一的一個(gè)值，由于它依然符合不等式，所以設(shè)元和求解對(duì)最后的結(jié)果沒(méi)有任何影響，但求出的解集是x≤36（依然是無(wú)限個(gè)解）與x=36（唯一的特解）有重復(fù)之嫌.由上面的微觀和宏觀解讀教材可見(jiàn)，當(dāng)問(wèn)題中出現(xiàn)“最多、最少”等字眼時(shí)，設(shè)元沒(méi)必要把“最多、最少”等字眼放進(jìn)去，按一般x（字母表示數(shù)的廣泛含義）更符合數(shù)學(xué)的深層次內(nèi)涵.有教師認(rèn)為，如果設(shè)元如方法二，因?yàn)閤唯一確定，所以可以直接列成方程，這種“一般問(wèn)題特殊化”的認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的.此處列成方程求出x=36成立是巧合，如果題目改成“總質(zhì)量不超過(guò)10.2kg”，那么用不等式求解是x≤36.8，最后x=36；而用方程求解是x=36.8，由于x取正整數(shù)，顯然是錯(cuò)誤的.

事實(shí)上，“用一元一次不等式解決問(wèn)題”的題目條件中只要出現(xiàn)“不等關(guān)系”，那么求解出來(lái)的結(jié)論必定也是一個(gè)“不等關(guān)系”，就是已知“不等式”的“解集”.因此，無(wú)論問(wèn)法中是否含有“最多、最少”等字眼，考慮到字母表示數(shù)的一般性，設(shè)元都不必把“最多、最少”等字眼帶進(jìn)去，按照“不等式—解集—特解—最多（最少）一個(gè)解”的思路解決.

三、建議對(duì)策

由教材引起的各類教學(xué)爭(zhēng)論自從新教材實(shí)施后一刻都沒(méi)有停止過(guò)，如“無(wú)理數(shù)在初一上學(xué)期第2章就介入是否恰當(dāng)”、“在4x2+1這個(gè)多項(xiàng)式上加上一個(gè)式子，使之成為完全平方式，答案是什么”、“勾股定理在拼圖等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的合情推理下就運(yùn)用之解決問(wèn)題是否可行”等問(wèn)題，有的爭(zhēng)議反反復(fù)復(fù)沒(méi)有定論.一方面，可能教材在編寫過(guò)程中確實(shí)存在疏漏，這是很容易下定論的；另一方面，主要是考慮學(xué)生當(dāng)前知識(shí)和認(rèn)知水平采用螺旋上升逐步提高認(rèn)識(shí)的方法編寫教材，此處的內(nèi)容往往以學(xué)生的可接受性為原則，對(duì)問(wèn)題的一般性或特殊性會(huì)存在歧義，這也是爭(zhēng)論最多、爭(zhēng)論不休的地方.

當(dāng)出現(xiàn)爭(zhēng)論、沒(méi)有定論的時(shí)候，作為教師可以從“教材深度解讀”方面去努力尋找結(jié)論，進(jìn)而找到有效的教學(xué)實(shí)施方法.具體可用“點(diǎn)全、線聯(lián)、面融”六字方針實(shí)施深度解讀，先進(jìn)行“點(diǎn)”的解讀，再進(jìn)行“線”的解讀，最后進(jìn)行“面”的解讀.“點(diǎn)全”就是研究這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的“前后左右”，數(shù)學(xué)中的每一個(gè)定義、定理、公式、法則等，都需要搞清楚“本知識(shí)點(diǎn)從哪里來(lái)？怎么形成的？學(xué)了這個(gè)知識(shí)有哪些作用？今后這個(gè)知識(shí)將向哪里發(fā)展？”如上述案例中的“一元一次不等式應(yīng)用”中的設(shè)元爭(zhēng)議，我們通過(guò)對(duì)“一元一次不等式”中每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的全面解讀，就可以找到定論.“線聯(lián)”就是研究由這個(gè)知識(shí)點(diǎn)形成的一條知識(shí)線，形成知識(shí)點(diǎn)之間的相互關(guān)聯(lián)，如上面的爭(zhēng)議問(wèn)題，實(shí)際上存在“定義—解—解集—解不等式—運(yùn)用和應(yīng)用”一條知識(shí)關(guān)聯(lián)線，通過(guò)線聯(lián)解讀就找到了應(yīng)用中“一元一次不等式—無(wú)數(shù)解組成解集—實(shí)際要求的有限個(gè)特解—符合這個(gè)具體問(wèn)題的一個(gè)解”這條暗線，進(jìn)一步確定定論的科學(xué)性.“面融”就是研究這條知識(shí)線與其他相關(guān)知識(shí)線的融合，從更宏觀的層面找到知識(shí)的共性和不同，加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).如上面爭(zhēng)論，對(duì)方程就不會(huì)出現(xiàn)，對(duì)不等式就會(huì)出現(xiàn)，面融解讀就可以充分體會(huì)方程與不等式之間特殊與一般的關(guān)系，既可以避免選擇方程的錯(cuò)誤解法，又可以得到方法一是最合情理的設(shè)元方法的定論.

綜上所述，當(dāng)教學(xué)中出現(xiàn)爭(zhēng)論時(shí)，首先，回到最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)上去解讀研究；然后，把知識(shí)點(diǎn)放在一條知識(shí)線上去全面分析思考；最后，把問(wèn)題放在知識(shí)層面上去宏觀考量，必定可以避免沒(méi)必要的教學(xué)爭(zhēng)論，即使做了上述解讀研究有些教學(xué)爭(zhēng)議依然無(wú)法下定論，也可以為自己的教學(xué)定下有效的基調(diào)和實(shí)施的路徑.

1.浦?jǐn)⒌?記一次公開(kāi)課的研究之旅［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（9）.

2.浦?jǐn)⒌?，謝潔紅.從知識(shí)整體性視角設(shè)計(jì)主問(wèn)題引領(lǐng)課堂教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（8）.

3.浦?jǐn)⒌?，馬雄偉.教材素材的基本處理策略［J］.教育研究與評(píng)論，2013（12）.H