李珍

[摘 要]概念的教學貫穿于數(shù)學教學過程的始終，充分經歷概念形成過程，突出概念本質，豐富概念外延是當前新課程下概念教學的根本要求，這樣的概念教學才是扎實有效的。本文結合案例，反思當前概念教學的現(xiàn)狀，結合自己的教學經驗，從“創(chuàng)設情境，感知概念”、“自主探索，生成概念”、“步步為營，理解概念”、“螺旋上升，內化概念”、“返璞歸真，升華概念”五個方面具體闡述了一個普通教師在高中數(shù)學概念教學中如何實施有效性的策略研究，并期以拋磚引玉，喚起更多的教師能聚焦概念教學，探索概念教學的基本規(guī)律。

[關鍵詞]數(shù)學概念；有效性；策略研究

一、問題的提出

數(shù)學概念教學是“雙基”教學的核心，是數(shù)學教學的重要組成部分。有些教師往往用例題教學替代概念的概括過程，認為“應用概念的過程就是理解概念的過程”。殊不知沒有概括過程必然導致概念理解的先天不足，沒有理解的應用是盲目的應用。數(shù)學素養(yǎng)差的關鍵是在對數(shù)學概念的理解、應用和轉化等方面的差異，因此抓好概念教學是提高數(shù)學教學質量的帶有根本性意義的一環(huán)。那么在新課標下如何幫助學生更有效地理解數(shù)學概念，如何才能靈活地應用數(shù)學概念解決數(shù)學問題？我想關鍵的環(huán)節(jié)還是在于教師如何提升數(shù)學概念教學的有效性，通過有效的概念教學，使學生順利地獲取有關概念。教學時提供豐富的感性材料讓學生觀察，在觀察的基礎上通過教師的啟發(fā)引導，對感性材料進行比較、分析、綜合，最后再抽象概括出概念的本質屬性，通過一系列的判斷、推理使概念得到鞏固和運用，從而使學生的初步邏輯思維能力逐步得到提高。為此“高中數(shù)學概念教學有效性的研究”具有現(xiàn)實意義。

二、概念教學現(xiàn)狀分析

當前，不重視概念教學是一個比較普遍的現(xiàn)象，“一個定義，三個注意項”式的概念教學比比皆是，讓學生覺得學習數(shù)學概念枯燥乏味，影響了對數(shù)學概念的理解。我們有必要靜下心來對當前數(shù)學概念教學作一番審視，先看我校高一備課組舉行的“同課異構”教研活動中2位教師執(zhí)教的關于“函數(shù)的奇偶性”一課的案例片斷。

【案例1】

師：前面我們研究了函數(shù)的單調性，同學們已經知道函數(shù)的單調性是函數(shù)的一個重要性質，它在解決函數(shù)的問題中有著十分廣泛的應用。今天這節(jié)課，我們要學習函數(shù)的另一個重要性質——奇偶性。（板書課題：函數(shù)的奇偶性）

師：什么是函數(shù)的奇偶性呢？請大家打開課本第33和35頁，看教材中是怎么闡述的。（大約2分鐘后）

師：哪位同學說說看。

生1：設函數(shù)y=f（x）的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x），那么稱函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x），那么稱函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)。（學生口述，教師板書）

師：很好！如果函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)或偶函數(shù)，它的定義域A應該具有怎樣的特點？

生2：關于原點對稱。

師：說說你的理由。

生2：因為如果x∈A，則只有-x∈A，才能計算f（-x）。

師：真不錯！如果函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)或偶函數(shù)，它的圖象又具有怎樣的特點呢？

生3：奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱。

師：非常好！看來同學們已經作了很好的預習。如果函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說函數(shù)y=f（x）具有奇偶性。函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的又一重要性質，它在解決函數(shù)問題時有著十分廣泛的應用。請大家看下面的問題。（投影顯示問題1、問題2、問題3和問題4）

（師生共同探討上述問題的解題思路和解題過程，深化對函數(shù)奇偶性的認識和理解。）

從案例中不難看出當前概念教學的現(xiàn)狀：

現(xiàn)狀一：一個定義三項注意。案例1中令人感到遺憾的是，這節(jié)課的教學，從上課開始到給出定義，總共花了不到10分鐘的時間，接著進行的就是運用函數(shù)奇偶性的概念進行解題的訓練。對函數(shù)奇偶性這一概念建立的過程沒能很好地展開，為什么要研究函數(shù)的奇偶性？函數(shù)的奇偶性的定義為什么要這樣給出？…當前的數(shù)學課堂中，教師不舍得在概念、定義的發(fā)生發(fā)展過程上花時間，認為這樣“太虛”，不如讓學生多做幾個題目實在。因而概念教學常常用“一個定義三項注意”的方式，告訴學生定義的內容，強調幾個注意事項（例如強調“要注意，必須是‘任意的”），然后就講例題、做練習。實踐表明，這樣的教學對學生把握和應用概念都產生了不利影響，學生沒有基本把握概念內涵的時候就要求學生用概念解決問題，結果只能是機械模仿，不可能有理想的解題質量和效率。

現(xiàn)狀二：重視內涵忽視外延。概念只要將內涵按一定規(guī)律擴大或縮小便可形成一類概念，再根據(jù)這些概念的外延及相互關系，便可確定一個概念系統(tǒng)。但是概念教學中往往只重視概念的內涵而忽視概念的外延，結果導致外延被擴大或縮小。比如，學生把非本質屬性包括到概念的內涵中，如此就會不合理地縮小了概念，消除這種錯誤的有效方法是多提供包括非本質特征的變式。當概念的內涵中包含的不是事物的本質而是其他特征時，如此就有可能不合理地擴大概念，消除這種錯誤的有效方法是提供具有本質特征的變式。

對上述概念教學現(xiàn)狀的分析，事實上也是對現(xiàn)有高中數(shù)學概念教學模式的一種深刻反思，有效的數(shù)學概念教學，決不是以讓學生學會概念為終極目標，而是讓學生在參與數(shù)學活動的過程中生成和建構數(shù)學概念，更要讓學生在知識和能力上獲得全面的發(fā)展，從而促進數(shù)學素養(yǎng)的有效提升。如何創(chuàng)造一種更加適合高中學生的概念教學方式，如何提高概念教學的有效性，值得我們努力探究。

三、概念教學有效性的理性認識

1.課題研究的理論依據(jù)

一般來說，數(shù)學概念要經歷感知、理解、鞏固和應用四種心理過程。數(shù)學概念教學主要依據(jù)有如下理論。（1）奧蘇貝爾（當代美國的著名教育心里學家）概念學習理論。 在奧蘇貝爾的理論中，所謂概念亦即同類事物的共同關鍵特征，它是類與類，類與事物相區(qū)別的關鍵。而概念學習則是指學習者通過學習概念既掌握同類事物的關鍵特征，同時也區(qū)分概念的有關特征與無關特征，概念的肯定例證與否定例證。在奧蘇貝爾的概念學習理論中，他將概念的習得分作了概念的形成與概念的同化兩種形式，這兩種形式也較深刻的揭示出了學生知識形成的過程。（2）皮亞杰的建構理論。皮亞杰的認識理論形成的四階段：感知運動階段、前運演階段、具體運演階段、形式運演階段。這四個階段在概念的形成過程中表現(xiàn)為：隱概念、前概念、初概念和邏輯數(shù)學概念。皮亞杰認為，發(fā)生認識的發(fā)展涉及到圖式、同化、順應和平衡四個方面。在涉及概念形成的條件時，皮亞杰認為，概念的形成正是基本知覺材料與超越知覺范圍的邏輯數(shù)學結構的結合、因此知識是一種結構，然而離開了主體的建構活動，就不能有知識的產生。皮亞杰認為，概念的掌握過程無非是經歷了一個同化與順應的過程；所謂同化，就是把新概念、新知識接納入到一個已知的認知結構中去；所謂順應，就是當原有的認知結構不能納入新概念時，必須改變已有的認知結構，以適應新概念。

2.課題概念的界定。（1）數(shù)學概念。概念是反映對象的特有屬性的思維形式。人們通過實踐，從對象的許多屬性中，抽出其特有屬性概括而成。概念的形成，標志人的認識已從感性認識上升到理性認識。科學認識的成果，都是通過形成各種概念來總結和概括的。數(shù)學概念，是對客觀事物或思想事物的數(shù)量關系、空間形式或結構形式的特征概括及其本質屬性在人們頭腦中的反映。一個數(shù)學概念通常用一個詞（名稱）或符號表示。（2）數(shù)學概念教學。有關數(shù)學概念教學的定義很多。結合小學生的年齡特征，筆者認為是在一個具體的情境下，學生通過感知概念的表象等方式，進而理解概念的本質，初步建立新的知識結構的過程。重點指向的是學生學習概念內核，最后達成運用概念，鞏固、拓展的環(huán)節(jié)。（3）有效教學。從教學投入與教學產出的關系來看，有效教學是有效率的教學；是指在一定的教學投入內（時間、精力、努力）帶來最好教學效果的教學；是指教師遵循教學活動的客觀規(guī)律，以盡可能少的投入，取得盡可能多的教學效果，從而實現(xiàn)特定的教學目標，滿足社會和個人的教育價值需求。從學生的學習出發(fā)點來看，有效教學就是促進學生有效學習，使學生學好；是指成功實現(xiàn)了教學目的――學生愿意學習和在教學后能夠從事教學前所不能從事的學習的教學。從“教學”的內涵來看，有效教學是教師教的活動即教學過程的有效性。從“有效”來看，它表現(xiàn)為教學有效果、有效率和有效益。有效果指學生的學習進步與發(fā)展；有效率指單位教學投入內所獲得的產出高；有效益指教學目標與特定的社會與個人的教育需求相吻合。

3.數(shù)學概念教學的一般原則。（1）現(xiàn)實性原則——重視概念的引入。在教學中，既應注意從學生的生活經驗出發(fā)，也應該注意從解決數(shù)學內部的運算問題出發(fā)來引入概念，引導他們抽象出相應的數(shù)學概念，才能使學生較好地掌握概念的實質。（2）科學性原則——揭示概念內涵和外延。為準確、深刻地理解概念，教師在提供感性認識的基礎上，必須作出辯證分析，用不同方法揭示不同概念的本質，這樣，把握了概念的外延和內涵，也就能進一步掌握了概念的本質。（3）比較性原則——注意概念之間的對比。有些概念是成對出現(xiàn)的（如正數(shù)與負數(shù)等）；有些概念是由概念的逆反關系派生出來的（如指數(shù)與對數(shù)等）等等。注意對相近、對立、衍生概念之間的比較，特別是通過反例來糾正學生在理解概念中的錯誤，有利于學生準確理解概念。（4）應用性原則——加強概念的運用。高中數(shù)學的運算、推理、證明等都是以有關概念為依據(jù)的，在教學中，有時圍繞著一個概念要配備多種練習題，讓學生從多角度，多層次上去進行應用，在應用中達到切實掌握數(shù)學概念的目的。

四、概念教學有效性的策略研究

在概念的教學中如何引導學生自主建構，提高概念外化與內質抽象的思維質辨力度呢？為此，我們嘗試在概念形成的不同階段，選擇運用不同的教學策略，付之實踐檢驗。

策略1：創(chuàng)設情境，感知概念

概念的感知是形成概念的前提，學生對數(shù)學概念的感性認識是通過教師的直觀教學方法獲得的。概念的引入是概念教學的關鍵，概念是抽象的、概括的，由具體到抽象是人類認識的規(guī)律，每一個概念的產生都有豐富的知識背景，形成準確概念的首要條件是使學生獲得十分豐富和合乎實際的感性材料，在概念教學中，可以根據(jù)概念和學生的認知特點，創(chuàng)設數(shù)學概念形成的問題情景，體會到數(shù)學概念引進的必要性和必然性，讓學生有自己發(fā)現(xiàn)的感覺，幫助學生完成從感性認識到理性認識的過渡。

【案例1】“直線與平面垂直”的概念教學片斷

問題情境：首先請學生們觀察生活中的具體實例形成感性認識。給出以下實例：（1）將書打開直立于桌面，觀察書脊和各頁面與桌面的交線，顯然都是垂直的；（2）在開門的過程中，觀察門軸和門與地面的交線始終垂直的；（3）日光下，觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子，盡管隨著時間的變化，影子的位置會移動，但旗桿始終與影子垂直。

點評：從以上三個生活實例感悟直線與平面垂直的形象，從而形成直線與平面垂直的感性認識。然后通過動手實驗、自主探索上升為理性認識。

【案例2】“n次獨立重復實驗”的概念教學片斷

問題情境設計：

用動畫創(chuàng)設情境，丙丙和丁丁在公園里種了8棵樹，假設每棵樹的成活率都為0.75，請思考以下兩個問題：（1）他們種的第一棵樹的成活和第二棵樹的成活相互之間有沒有與影響？8棵樹各自的成活與否相互之間有沒有影響？（2）所種的每一棵樹，可能出現(xiàn)哪些不同的結果？

進一步創(chuàng)設情境，對比分析，感知概念。

在下列試驗中，與丙丙和丁丁種樹試驗具有共同特征的有（ ）

①某射手射擊一次，擊中目標的概率是0.9，他連續(xù)射擊4次。②姚明罰球的命中率是0.9，他連罰3次。③一枚硬幣連續(xù)扔5次。（5枚硬幣一起扔出）④袋中5個白球，3個紅球，有放回取球，每次取一個，連續(xù)3次。⑤袋中5個白球，3個紅球，無放回取球，每次取一個，連續(xù)3次。

點評：通過以上情境設置，學生思考，教師引導感知，形成概念。師生共同歸納得出現(xiàn)象的共同點：在同樣條件下重復的進行的一種試驗；各次試驗之間相互獨立，相互之間沒有影響；每一次試驗只有兩種結果，即某事發(fā)生或不發(fā)生，并且任意一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的，揭示概念。

【感悟】教學時不要生硬地拋出概念，讓學生死記硬背，應從實際出發(fā)，創(chuàng)設情景，提出問題，通過與概念有明顯聯(lián)系、直觀性強的例子，使學生在對具體問題的體驗中感知概念，形成感性認識。比如；我們在講圓柱、圓錐、球的概念時，由于圓柱、圓錐、球屬于三維圖形，用平面直觀圖難免會造成視覺上的失真，我們可以借助教具、利用幾何畫板動畫展示幫助學生理解；在講數(shù)學歸納法的概念時，為了幫助學生更好的理解“遞推”的含義，可以引進“多米諾”骨牌游戲。讓學生在活動中思考、感悟和體驗數(shù)學知識的萌芽以及發(fā)生、發(fā)展的全過程，以領悟數(shù)學思想方法的真諦，豐富學生的認知結構，應力求順乎自然、水到渠成。

策略2：自主探索，生成概念

概念的生成過程教學就是讓學生參與和經歷概念生成的整個思維過程。因此，在教學中，恰當?shù)倪M行教學設計，充分展示數(shù)學知識的形成過程，讓學生弄清概念的來龍去脈，認識它的必要性和合理性，讓學生在體驗中自主探究，生成概念，概念在其生成的過程中逐漸明朗化，可以更好的幫助學生深化對概念的理解，培養(yǎng)學生運用概念的意識和能力。

【案例3】“拋物線及其標準方程”概念教學片段

第一步：在學生已有認知基礎上設計問題，使學生體驗新概念的一個具體背景。

師：前面我們已經學習了橢圓和雙曲線的有關知識，請同學們試解決下面問題：

問題1：若點P（x， y）坐標滿足，則P點的軌跡是 。

（學生思考并動筆，教師巡視，個別指導。）

生1：我利用平方化簡，但還沒有做出來。

師：該同學平方化簡，肯定可以得到答案，只是還需要一些時間，相信他一定能成功。

生2：上面式子表示兩點距離之和，根據(jù)橢圓定義可知， 點軌跡是橢圓。

（學生紛紛表示生2的解法是正確的）

問題2：若點P（x， y）坐標滿足，則P點的軌跡是 。

（學生認為是雙曲線）

師：是雙曲線嗎？

生3：應該是雙曲線的上半支。（由于第1題的解決對第2題有著提示和啟發(fā)作用，所以第2題幾乎所有學生都不再化簡了，自然地聯(lián)想到利用定義的解法中來，于是教師順勢拋出第3題。）

問題3：若點P（x， y）坐標滿足，則P點的軌跡是 。

生4：從條件的含義看，似乎不是橢圓，也不像雙曲線。

師：到底軌跡是什么，生1解問題1的方法會給我們很好的啟示。

（學生再次化簡，片刻后，一直得到的軌跡是拋物線，因為它的方程是，初中已經學過。）第二步：剖析問題3條件的幾何意義，并推出是否具有一般性的結論。

師：若把條件中的“2”改成其他數(shù)字（非零），結果如何？

生5：軌跡仍然是拋物線，只是方程中的數(shù)字不同而已。

師：那么條件所表示的幾何意義又是什么呢？

生6：原方程即，左邊表示點P（x， y）到點（0，2）的距離，右邊表示點P（x， y）到直線y=-2的距離，等式表示兩個距離相等。

第三步：類比推廣，從具體實例中抽象出拋物線的概念。

師：從問題3的分析中我們可以看出，滿足這些條件的軌跡都是拋物線。于是我們拋棄這些具體的位置和數(shù)據(jù)外殼，得出拋物線的定義。請哪位同學根據(jù)上面的等式，說出拋物線的定義。

生7：到定點的距離和到定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線。

師：不太準確，應該是在“平面內”，接下來我們再用動畫來演示一下這個定義下的軌跡

……

點評：本案例從學生已有知識出發(fā)，由易到難設計了3個問題，讓學生在問題解決的過程中自主探究，對比發(fā)現(xiàn)，逆向生成拋物線的定義，再結合多媒體動畫演示，同學們經歷了一次“發(fā)現(xiàn)”，“創(chuàng)造”的過程，給學生留下較深刻的印象，對此概念的理解也將更準確更深刻。

【案例4】“函數(shù)零點存在條件”的教學片段

在對于函數(shù)零點概念的理解后，如何判斷函數(shù)零點的存在條件是本節(jié)課的重點，以下是我的課堂實錄：

師：問題2：函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有，那么函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上是否一定存在零點，請舉例說明。我特別強調“請舉例說明”。

眾生：議論紛紛，很快就有人說“不一定”。

師：請舉個例子。

生1：，在區(qū)間（-1，1）上有，但是在（-1，1）上沒有實數(shù)根。

師：大家都覺得這個例子很精彩。確實，舉反例常常不是件容易的事。（即時評價）

師：問題3：函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有，且有零點，那么一定只有一個嗎？請舉例說明。

有學生在黑板上畫出了圖1，還有學生畫出圖2。

師：（故意地）數(shù)了數(shù)“3個，5個，…”

圖1 圖2 圖3 圖4

生2：不一定是奇數(shù)個。（有學生聽出我的話外音）

師：老師是說一定有奇數(shù)個嗎？”

生2：到黑板上畫出圖3。

生4：老師我還有另外的圖形（圖4）。

師：我真沒有想到你會想出這個點子來，還有嗎？

眾生：學生們認真思考，積極參與，又畫出間斷不連續(xù)的圖象來。

師：問題4：函數(shù)f（x）在區(qū)間（a， b）上有，還需要滿足什么條件？就一定有且只一個實數(shù)根?！?/p>

師生熱烈討論，最后得到要滿足3個條件：（1）函數(shù)f（x）（的圖象）在區(qū)間[a，b]上“連續(xù)不斷”；（2）；（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調。

這就已經獲得了函數(shù)零點存在條件：函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間[a，b]上有零點。即存在，使得，這個c就是方程的根。

點評：本節(jié)課的重點就是讓學生通過函數(shù)圖象，直觀感受零點存在的條件。如何讓學生尋找這個條件呢？當然不要直接把結論拋給學生，這就需要設計一個過程，設計“問題鏈”，“問題”會引起學生的思考，讓學生對這些問題進行討論，參與到尋找條件的過程中來。

【感悟】在教學中需要教師通過問題努力揭示數(shù)學概念、法則、結論的發(fā)展過程和本質，問題可以把學生帶入“憤”與“悱”的境地，幫助學生自主探究，理解數(shù)學概念的生成過程，數(shù)學法則的發(fā)展過程。事實上，在自主探究的過程中，蘊含著數(shù)學最基本的思想和方法，如歸納、類比、抽象等。

策略3：步步為營，理解概念

學生對數(shù)學概念的理性認識是否初步形成，首先反映在對該概念的定義是否理解。 學生認識事物的過程，總是從具體到抽象，從個別到一般，這也是人類認識事物的規(guī)律，因此，我們要遵照這一規(guī)律，通過問題串的設計，引導學生辨析，解剖概念，從而理解概念的內涵和外延。

【案例5】函數(shù)概念的理解

函數(shù)在高中數(shù)學中占有非常重要的地位，因此深刻理解函數(shù)概念顯得尤為重要，在通過實例分析，討論，歸納出函數(shù)定義后，我又設計了以下兩個問題，學生思考。

問題1：（1）y=1（x∈R）是函數(shù)嗎？

（2）是函數(shù)嗎？

（3）是函數(shù)嗎？

問題2：在三個實例中，按照一定的對應關系，能看作從B到A 的函數(shù)嗎？你能舉出函數(shù)的實例嗎？

點評：通過幾個實例，引導學生利用定義判斷給定的兩個變量間是否具有函數(shù)關系？總結函數(shù)概念中的關鍵詞，使學生更深刻理解函數(shù)的概念。

【案例6】函數(shù)周期的理解

函數(shù)的周期性和最小正周期是學生難以理解的概念，在學生了解其概念后，為了幫助學生準確把握函數(shù)的函數(shù)周期性和最小正周期的外延，我設計了以下問題鏈，讓學生討論：

（1）函數(shù)y=a（a為常數(shù)）是周期函數(shù)嗎？y=a（）呢？y=a（）呢？

（2）函數(shù)是周期函數(shù)嗎？最小正周期是多少？

函數(shù)呢？

（3）函數(shù)y=sinx，，對（x∈R）都有，則的最小值是多少？

（4）作出函數(shù)與的圖像。

點評：通過上述問題的研究，可以幫助學生弄清以下問題：（1）周期函數(shù)定義域的結構特征；（2）最小正周期的存在狀況；（3）周期函數(shù)函數(shù)值的分布規(guī)律；（4）周期函數(shù)的圖像特征.在此基礎上，學生才能真正弄清周期函數(shù)、最小正周期的概念，

【感悟】在概念形成后，如何讓學生深入理解概念，在教學中，可以結合具體的事例詮釋概念的內涵與外延。這里既可以設計“形似而神非”的個案來校正；也可以巧設“問題鏈”。在對“問題鏈”的辨析中，通過歸納、抽象、概括、提煉，循序漸進，步步緊逼，使學生的認識結構從“了解”上升到“理清并掌握”的層面，讓學生經歷著好奇、驚喜、迷惑、困頓，最后茅塞頓開，使學生體驗一個‘自我否定的過程，從而喚醒學生的悟性和靈感，以達到對數(shù)學概念真正的理解。

策略4：螺旋上升，內化概念

教師在平時教學中，要在挖掘新概念的內涵與外延的基礎上，讓學生理解并鞏固概念。有些概念由于其內涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高。要通過概念間互相滲透，弄清概念間的內在聯(lián)系和區(qū)別，通過概念間的靈活變通，培養(yǎng)學生靈活解決問題的能力。

【案例7】“曲線與方程”教學片斷

在得出“曲線與方程”的關系后，如何進一步理解“曲線的方程”與“方程的曲線”這些概念的本質，進一步體驗“數(shù)”與“形”的轉化與結合的思想方法。為此，教學中使用下面的例子，設計問題啟發(fā)學生思考，從正、反兩方面認識一般

例1 下列哪條曲線是方程的曲線？請說明理由。

例2 下列哪個方程是下圖中曲線C（兩條相交直線：第一、三象限的直角平分線，第二、四象限的直角平分線）的方程？請說明理由。

A. B.

C. D.

【感悟】一個概念的形成往往是螺旋式上升的，逐步深化的，一般要經過具體到抽象，局部到整體，感性到理性的過程。教學中設計一些反例，讓學生通過正、反例的對比辨析、鑒別真?zhèn)?，從不同角度來認識定義文字所隱含的內容，從而達到“有比較才能鑒別，有鑒別才能深化認識”的學習效果。類似例1、例2這樣帶有反例的問題，其內容與學生的知識基礎很接近，但又容易形成認識上的誤區(qū)，具有一些思維上的挑戰(zhàn)性，可能會給學生留下較深刻的印象。它們具有單純正例所起不到的獨特作用，教學中對此應予以關注，這對核心概念和重要思想方法的教學尤為重要。

策略5：返璞歸真，升華概念

任何一門藝術的最高境界就是“返樸歸真”，張奠宙先生曾經說過：“數(shù)學教學的有效性關鍵在于對數(shù)學本質的把握、揭示和體驗”。這種“對數(shù)學本質的把握、揭示和體驗”只有在應用中才能得到驗證，在應用的同時使得概念學習得到“升華”，從而讓學生的思維變得更開闊，更活躍，更富有活力。在對所學概念進行系統(tǒng)化的過程中，要重視從概念間的關系（如從屬、合成、對應、對偶等）為基礎構建相關概念系統(tǒng)。

五、支撐與保障

1.“高屋建瓴”地深入理解概念。長期以來，我們只重視如何使學生理解數(shù)學概念，而忽略了教師本人如何“高屋建瓴”地深入理解這些概念，許多教師還缺乏對基本概念的真正實質上的深入理解。沒有教師自身概念知識廣度和深度的研究，生成的過程教學就無從談起。

2.“了如指掌”地熟悉學生學情。學生的已有知識，始于新知發(fā)生前，作為新知的起點，它決定了新知理解的角度、廣度、深度以及態(tài)度，在理解的每時每刻，都參與其中，在教學設計時要重點考慮處理新舊概念間的矛盾。教學中，教師只有全面了解學生以往的學習經驗的基礎上，才能開展有針對性這樣的預設，概念生成過程才是真實的、深入的。

3.“真真正正”地展開師生互動。教師與學生的互動，是概念課堂教學得以動態(tài)生成的形式要件。概念生成的課堂里，學生并不是知識的被動吸收者，而是積極主動的構建者，每個學生都以自己頭腦已有的知識和經驗為基礎，用個人特有的思維方式構建對事物的理解、檢驗，不同的人看到不同的方面，各個層次的學生都有收獲。

4.“扎扎實實”地展開探究活動。概念教學中，學生主動探究是是概念建立的一個重要環(huán)節(jié)，教師不僅要學生自主探究，更重要的是要讓學生掌握自主探究地方法，“授之以漁，不如授之以魚”，科學方法的掌握，科學思維的形成才能使學生終生受益，才能體現(xiàn)數(shù)學作為基礎學科的應有作用。

六、成效與展望

（一）顯著成效。在本課題運作的過程中，我們不斷地進行課題分析，以便隨時修正該課題、完善該課題。把課題落實到提高數(shù)學教學質量的實處。課題組經過一年的研究，發(fā)現(xiàn)學生在概念學習中提升了學習興趣，提高了學習效率；教師樹立了新的概念教學理念，在教學中有法可循、有事可做，并在實踐中不斷完善概念教學策略，以幫助學生有效地建構概念。

1.提高了課堂教學質量。概念教學中，強調重視過程教學，創(chuàng)造性的使用教材，巧妙的設置情境，讓學生通過各種活動，通過探究與合作，得出結論，認識概念。因為上課形式改變，大大激活了學生學習的興奮點，使學生的學習積極性得到釋放，提高了概念學習的效果。

2.培養(yǎng)了學生數(shù)學素養(yǎng)。學生在學習科學的過程中體會數(shù)學的價值，初步學會運用數(shù)學的思維方式去觀察、分析和解決數(shù)學問題，把知識與生活實踐緊密地結合，進行探索性、研究性的學習活動，真正提高了他們的數(shù)學素養(yǎng)。教學中，教師對教材及課堂環(huán)節(jié)進行了個性化處理，訓練學生抓住事物本質思考問題，培養(yǎng)了學生健康的心理素質，同時也促進了學生對教學本質的深刻理解。

3.促進了教師業(yè)務水平。概念教學是否有效，教師就必須精心設計自己的課堂教學，認真進行教學行為的課前準備，課堂教學過程中如何創(chuàng)建師生互動的教學環(huán)境，鼓勵學生積極參與概念教學活動等，課后及時進行教學反思，不斷總結自己的教學得失。這就有力地促進了教師課堂教學方法技能的提高，促進了教師課堂教學的不斷優(yōu)化，教學效果也隨之不斷提高。

（二）展望。數(shù)學概念教學，不僅要讓學生明白一些原理，更要讓學生學會一種思維，一種對數(shù)學精神的領悟。成功的概念課，就如同一段美好的旋律，給人一種美好的體驗，要讓學生體會前輩的心路歷程，探索先哲的數(shù)學思想，這才是數(shù)學教學的真諦，這才是數(shù)學育人功能的最好注釋。

關于數(shù)學概念的教學，一直是教師們教學研究中的一個重要課題，可以說，對于不同定義方式揭示其本質屬性的數(shù)學概念，其教學的“程序”也不一樣，以上只是一種普遍策略，對有些概念的教學不一定適用。因此，在教學實踐中，應不斷加強教學研究，加強學術交流，不斷提高數(shù)學概念教學的有效性，從而提高數(shù)學素質教育的質量。本項目的研究雖然暫告一個段落，但概念教學的探究之路依然還需要我們持之以恒地走下去，這個話題永遠不老！

參考文獻：

[1]《普通高中數(shù)學課程標準》（2004）.

[2]劉淑珍.從皮亞杰的理論談數(shù)學概念教學.沙洋師范高等?？茖W校學報，2003年第5期.

[3]匡繼昌.數(shù)學教學要重視基本概念的深入理解.數(shù)學通報，2008，9.

[4]鄭步春. 談數(shù)學概念的特點、教學原則與方法.

[5]馬偉開.讓學生掌握數(shù)學概念的途徑.數(shù)學通報，2009（2）.

六、成效與展望

（一）顯著成效。在本課題運作的過程中，我們不斷地進行課題分析，以便隨時修正該課題、完善該課題。把課題落實到提高數(shù)學教學質量的實處。課題組經過一年的研究，發(fā)現(xiàn)學生在概念學習中提升了學習興趣，提高了學習效率；教師樹立了新的概念教學理念，在教學中有法可循、有事可做，并在實踐中不斷完善概念教學策略，以幫助學生有效地建構概念。

1.提高了課堂教學質量。概念教學中，強調重視過程教學，創(chuàng)造性的使用教材，巧妙的設置情境，讓學生通過各種活動，通過探究與合作，得出結論，認識概念。因為上課形式改變，大大激活了學生學習的興奮點，使學生的學習積極性得到釋放，提高了概念學習的效果。

2.培養(yǎng)了學生數(shù)學素養(yǎng)。學生在學習科學的過程中體會數(shù)學的價值，初步學會運用數(shù)學的思維方式去觀察、分析和解決數(shù)學問題，把知識與生活實踐緊密地結合，進行探索性、研究性的學習活動，真正提高了他們的數(shù)學素養(yǎng)。教學中，教師對教材及課堂環(huán)節(jié)進行了個性化處理，訓練學生抓住事物本質思考問題，培養(yǎng)了學生健康的心理素質，同時也促進了學生對教學本質的深刻理解。

3.促進了教師業(yè)務水平。概念教學是否有效，教師就必須精心設計自己的課堂教學，認真進行教學行為的課前準備，課堂教學過程中如何創(chuàng)建師生互動的教學環(huán)境，鼓勵學生積極參與概念教學活動等，課后及時進行教學反思，不斷總結自己的教學得失。這就有力地促進了教師課堂教學方法技能的提高，促進了教師課堂教學的不斷優(yōu)化，教學效果也隨之不斷提高。

（二）展望。數(shù)學概念教學，不僅要讓學生明白一些原理，更要讓學生學會一種思維，一種對數(shù)學精神的領悟。成功的概念課，就如同一段美好的旋律，給人一種美好的體驗，要讓學生體會前輩的心路歷程，探索先哲的數(shù)學思想，這才是數(shù)學教學的真諦，這才是數(shù)學育人功能的最好注釋。

關于數(shù)學概念的教學，一直是教師們教學研究中的一個重要課題，可以說，對于不同定義方式揭示其本質屬性的數(shù)學概念，其教學的“程序”也不一樣，以上只是一種普遍策略，對有些概念的教學不一定適用。因此，在教學實踐中，應不斷加強教學研究，加強學術交流，不斷提高數(shù)學概念教學的有效性，從而提高數(shù)學素質教育的質量。本項目的研究雖然暫告一個段落，但概念教學的探究之路依然還需要我們持之以恒地走下去，這個話題永遠不老！

參考文獻：

[1]《普通高中數(shù)學課程標準》（2004）.

[2]劉淑珍.從皮亞杰的理論談數(shù)學概念教學.沙洋師范高等專科學校學報，2003年第5期.

[3]匡繼昌.數(shù)學教學要重視基本概念的深入理解.數(shù)學通報，2008，9.

[4]鄭步春. 談數(shù)學概念的特點、教學原則與方法.

[5]馬偉開.讓學生掌握數(shù)學概念的途徑.數(shù)學通報，2009（2）.

六、成效與展望

（一）顯著成效。在本課題運作的過程中，我們不斷地進行課題分析，以便隨時修正該課題、完善該課題。把課題落實到提高數(shù)學教學質量的實處。課題組經過一年的研究，發(fā)現(xiàn)學生在概念學習中提升了學習興趣，提高了學習效率；教師樹立了新的概念教學理念，在教學中有法可循、有事可做，并在實踐中不斷完善概念教學策略，以幫助學生有效地建構概念。

1.提高了課堂教學質量。概念教學中，強調重視過程教學，創(chuàng)造性的使用教材，巧妙的設置情境，讓學生通過各種活動，通過探究與合作，得出結論，認識概念。因為上課形式改變，大大激活了學生學習的興奮點，使學生的學習積極性得到釋放，提高了概念學習的效果。

2.培養(yǎng)了學生數(shù)學素養(yǎng)。學生在學習科學的過程中體會數(shù)學的價值，初步學會運用數(shù)學的思維方式去觀察、分析和解決數(shù)學問題，把知識與生活實踐緊密地結合，進行探索性、研究性的學習活動，真正提高了他們的數(shù)學素養(yǎng)。教學中，教師對教材及課堂環(huán)節(jié)進行了個性化處理，訓練學生抓住事物本質思考問題，培養(yǎng)了學生健康的心理素質，同時也促進了學生對教學本質的深刻理解。

3.促進了教師業(yè)務水平。概念教學是否有效，教師就必須精心設計自己的課堂教學，認真進行教學行為的課前準備，課堂教學過程中如何創(chuàng)建師生互動的教學環(huán)境，鼓勵學生積極參與概念教學活動等，課后及時進行教學反思，不斷總結自己的教學得失。這就有力地促進了教師課堂教學方法技能的提高，促進了教師課堂教學的不斷優(yōu)化，教學效果也隨之不斷提高。

（二）展望。數(shù)學概念教學，不僅要讓學生明白一些原理，更要讓學生學會一種思維，一種對數(shù)學精神的領悟。成功的概念課，就如同一段美好的旋律，給人一種美好的體驗，要讓學生體會前輩的心路歷程，探索先哲的數(shù)學思想，這才是數(shù)學教學的真諦，這才是數(shù)學育人功能的最好注釋。

關于數(shù)學概念的教學，一直是教師們教學研究中的一個重要課題，可以說，對于不同定義方式揭示其本質屬性的數(shù)學概念，其教學的“程序”也不一樣，以上只是一種普遍策略，對有些概念的教學不一定適用。因此，在教學實踐中，應不斷加強教學研究，加強學術交流，不斷提高數(shù)學概念教學的有效性，從而提高數(shù)學素質教育的質量。本項目的研究雖然暫告一個段落，但概念教學的探究之路依然還需要我們持之以恒地走下去，這個話題永遠不老！

參考文獻：

[1]《普通高中數(shù)學課程標準》（2004）.

[2]劉淑珍.從皮亞杰的理論談數(shù)學概念教學.沙洋師范高等?？茖W校學報，2003年第5期.

[3]匡繼昌.數(shù)學教學要重視基本概念的深入理解.數(shù)學通報，2008，9.

[4]鄭步春. 談數(shù)學概念的特點、教學原則與方法.

[5]馬偉開.讓學生掌握數(shù)學概念的途徑.數(shù)學通報，2009（2）.