馬文朋，張俊紅，馬 梁，劉 昱，賈曉杰（.天津大學內燃機燃燒學國家重點實驗室 天津，300072）（2.天津理工大學機械工程學院 天津，300384）（3.天津大學仁愛學院 天津，30636）

改進的經驗模式分解在機械故障診斷中的應用*

馬文朋1，2，張俊紅1，3，馬 梁1，3，劉 昱1，賈曉杰1
（1.天津大學內燃機燃燒學國家重點實驗室 天津，300072）
（2.天津理工大學機械工程學院 天津，300384）（3.天津大學仁愛學院 天津，301636）

針對經驗模式分解（empirical mode decomposition，簡稱EMD）在工程應用中存在的端點效應和模式混疊問題，提出了一種改進的EMD方法。首先，利用遺傳支持向量回歸對短信號進行延拓；然后，采用改進的包絡擬合方法并結合總體經驗模式分解（ensemble empirical mode decomposition，簡稱EEMD）處理信號，數(shù)值仿真結果驗證了該方法能夠有效抑制端點效應和模式混疊；最后，利用該方法并結合包絡解調對滾動軸承內圈故障信號進行實驗與分析。結果表明，與EMD相比，該方法可以更有效地提取故障特征，滿足機械設備故障診斷工程實際需求。

經驗模式分解；端點效應；遺傳支持向量回歸；模式混疊；包絡擬合；故障診斷

引 言

振動分析是機械設備故障診斷的重要技術手段，機械設備通常激勵源較多，傳遞路徑復雜，當故障發(fā)生發(fā)展時，其振動信號受故障的作用和多種激勵的調制，一方面表現(xiàn)出非平穩(wěn)、非線性特性，另一方面經多層傳遞后部分故障信息衰減較為嚴重，故障特征不明顯。能否從非平穩(wěn)振動信號中提取故障特征是機械故障診斷的關鍵。EMD及相應的Hilbert-Huang變換（Hilbert-Huang transform，簡稱H HT）［1］是一種非平穩(wěn)、非線性信號分析方法，由于其良好的自適應性及優(yōu)秀的時頻分辨力，在機械故障診斷中得到了廣泛應用［2-4］。雖然EMD，H HT比傅里葉變換和小波分析等有較大的優(yōu)勢，但EMD本質上是基于算法的方法，基礎理論不完善，在實際應用中還存在一些問題，限制了其應用范圍，其中比較突出的是端點效應和模式混疊問題。國內外學者針對這些問題進行了廣泛研究，筆者將目前解決端點效應的主要方法總結為3類。

1）極值點延拓法包括多項式擬合延拓［5］、極值斜率延拓［3］和極值鏡像延拓［6］等，其思想是在每次平滑時對信號極值進行延拓，為擬合上下包絡線提供邊界條件。該方法簡單易行，但僅以信號端點處的極值點為依據(jù)，當信號波動較大時不能準確反映信號的趨勢，極值點信息不準確。

2）信號時間序列延拓法包括波形匹配延拓［7］、波形鏡像延拓［8］、神經網(wǎng)絡預測［9］、自回歸模型預測［10］、支持向量回歸（support vector regression，簡稱SVR）預測［11］和最大Lyapunov指數(shù)預測［12］等。這類方法的思想是對待分解的信號時間序列進行延拓，再對延拓后的信號進行分解，將端點效應抑制在原序列之外，分解完成后舍棄延拓部分。該類方法可同時解決Hilbert變換時的端點效應問題，是當前較實用的方法，但上述幾種方法也存在不足和待改進之處。波形匹配延拓適于處理周期或循環(huán)平穩(wěn)信號，對于其他信號可能找不到匹配波形；波形鏡像延拓對信號的對稱性要求較高；神經網(wǎng)絡的預測精度依賴于樣本容量和網(wǎng)絡結構，且容易陷入局部極小，實際應用中效果欠佳；自回歸或時變自回歸模型只適用于平穩(wěn)信號或弱非平穩(wěn)信號的延拓；基于SVR和最大Lyapunov指數(shù)的延拓方法表現(xiàn)出了較好的應用前景，但模型的參數(shù)還有待優(yōu)化。

3）窗函數(shù)法［13］的思想是用合適的窗函數(shù)對信號加窗，將端點效應控制在信號兩端，保證信號中部數(shù)據(jù)分解的正確性；但該方法同樣會導致分解結果兩端數(shù)據(jù)畸變，不適用于過短的信號。

EMD模式混疊現(xiàn)象有兩類：a.由間歇信號、異常擾動等間斷事件引起的模式混疊；b.分解頻率相近或振幅比過低的信號時產生的模式混疊［14］。針對前者，Li等提出了間斷檢測［15］的方法，將信號中的間斷成分剔除后再進行分解。Huang等［16］利用白噪聲的統(tǒng)計特性，在EMD的基礎上提出了總體經驗模式分解方法，但該方法中參數(shù)的選取是個問題。第2類現(xiàn)象的解決方法主要有利用輔助信號［17］、改進包絡擬合方法［18-21］結合其他方法對混疊分量進行后續(xù)處理［22］等。

通過對比分析，筆者認為采用改進的包絡或均值擬合方法僅需對標準EMD算法進行稍許改變，繼承了EMD自適應的優(yōu)點，操作易行，但擬合方法的選擇與設計是個難點。筆者采用遺傳支持向量回歸（genetic support vector regression，簡稱GSVR）方法對待分解信號進行延拓以克服端點效應，改進包絡擬合方法并結合EEMD以改善模式混疊。通過數(shù)值仿真對改進的方法進行了驗證，將其應用于軸承故障診斷，并對實驗結果進行了分析。

1 改進的經驗模式分解

1.1 基于GSVR的端點效應處理

支持向量機是建立在統(tǒng)計學習理論基礎上的一種通用機器學習方法，在解決小樣本、非線性和高維問題中有優(yōu)勢，具有良好的泛化能力。SVR的基本思想是采用一非線性映射將輸入空間映射到高維空間，并在高維空間構建最優(yōu)回歸超平面，使所有樣本到最優(yōu)超平面的距離最小。

給定樣本集D=｛（yi，xi），i=1，2，…，l｝；l為樣本數(shù)；xi∈RN為輸入值；N為輸入空間維數(shù)；yi為輸出值。令z=Φ（x）表示低維空間RN到高維空間Z的映射，SVR模型為

其中：ω為最優(yōu)超平面的權系數(shù)向量；b為偏置。

最優(yōu)超平面的求解歸結為如下優(yōu)化問題

其中：C為懲罰因子，表示對樣本偏離不敏感區(qū)域的懲罰程度，可看作對模型置信范圍和經驗風險的折中；ξ，ξ*為松弛因子，表示樣本偏離不敏感區(qū)域的程度；ε為不敏感損失因子，表示允許的訓練損失，可看作對解的稀疏性和回歸精度的折中。

引入拉格朗日乘子α，α*，β，β*，將式（2）轉化為拉格朗日對偶問題

根據(jù)極值條件求得minL（ω，b，ξ，ξ*，α，α*，β，

ω，b，ξ，ξ* β*）的最優(yōu)解，將其帶入式（4）和式（3），得到優(yōu)化問題

引入核函數(shù)K（xi，xj）=zTizj，將高維空間的內積轉化為低維空間的函數(shù)，大大降低了計算復雜度。由于徑向基函數(shù)（radial basis function，簡稱RBF）良好的非線性映射能力和較少的參數(shù)，筆者選用RBF作為回歸模型的核函數(shù)，RBF的形式為

回歸模型中參數(shù)C，ε，γ的大小對回歸精度及模型的泛化能力有重要影響，筆者采用遺傳算法以最小化交叉驗證誤差為準則對參數(shù)進行優(yōu)化。交叉驗證誤差是泛化誤差的一種近似無偏估計，通過交叉驗證，樣本中的所有樣本點都被預測一次，準確率比較穩(wěn)定。參數(shù)自適應優(yōu)化過程如下：a.采用實數(shù)編碼將C，ε，γ編制為染色體，設定搜索空間和種群規(guī)模，隨機初始化種群；b.設定適應度函數(shù)f=1-E，E為訓練樣本交叉驗證均方誤差；c.采用比例選擇、算數(shù)交叉和均勻變異算子，配合最優(yōu)保存策略遺傳進化，將末代最優(yōu)個體解碼獲得最優(yōu)參數(shù)。

利用GSVR對信號時間序列進行延拓以抑制端點效應，以向后延拓為例，按一定的規(guī)則產生訓練樣本集。給定信號序列S=｛s1，s2，…，sn｝，其中：n為采樣點數(shù)；xi=｛si，si+1，…，si+m-1｝T為一訓練樣本點的輸入；yi=si+m為輸出；m（m＜n）為嵌入維數(shù)，一般取包含信號的若干個震蕩即可。構造訓練樣本集T=｛（yi，xi），i=1，2，…，n-m｝，結合遺傳

算法訓練獲得GSVR模型。利用該模型對樣本點xn-m+1=｛sn-m+1，sn-m+2，…，sn｝T進行回歸可得邊界外的第1個延拓點sn+1，再將sn+1作為新的邊界點再次構造樣本進行回歸可得第2個延拓點sn+2，依次類推，直至得到所需的延拓點數(shù)。要求延拓的信號至少要包含兩個極值。向前延拓時，可將信號反向，再執(zhí)行上述過程，延拓完成后再將延拓信號反向。

1.2 新型包絡擬合方法

包絡或均值的擬合方法影響著EMD的全過程，關系到迭代過程的收斂性，是EMD的關鍵問題之一，然而從理論上嚴格確定包絡線仍是未解決的問題。標準EMD算法采用三次樣條曲線分別對信號的極大、極小值進行插值獲得上、下包絡，然后對上、下包絡求平均來擬合均值。由于三次樣條曲線光滑有余，柔性不足，實際應用中易出現(xiàn)過沖或欠沖問題，影響分解的精度。同時，EMD分解雙音信號時存在不可分區(qū)域［14］，當兩信號的頻率較為接近（0.67＜f1/f2＜1.5）或幅值比較?。ˋ2/A1≤（f1/f2）2）時，將出現(xiàn)模式混疊乃至不可分。

一些學者提出改進包絡擬合方法以提高擬合精度、擴大可分區(qū)域。Chen等［18］提出了基于B樣條插值的均值擬合方法，可以準確逼近信號實際均值，但樣條階數(shù)的選擇需人為確定。Qin等［19］提出了基于分段冪函數(shù)的包絡擬合方法，可以兼顧曲線的光滑性與柔性，但存在參數(shù)的確定問題。Hong等［20］提出了基于局部積分平均的均值擬合方法，首先根據(jù)兩相鄰極值點間的曲線積分求得均值點，再用三次樣條函數(shù)對均值點插值，但信號形式對結果準確性有重要影響，某些情況下與真實均值的差距較大。Xu等［21］提出了切觸包絡設計方法，從理論上證明了采用該包絡進行迭代時，信號的包絡波動會逐漸變小，最后收斂到恒包絡信號，具有較高的理論意義和應用價值。鑒于此，筆者選用三次切觸包絡取代標準算法中的三次樣條包絡。

三次切觸包絡均值與通過式（8）定義的節(jié)點分段三次Hermite插值結果相同。

其中：s（ti）為信號的極值；ti為極值對應時刻；xm（ti），x＇m（ti）分別為信號包絡均值及其一階導數(shù)。

采用分段三次Hermite多項式對xm（ti）進行插值即可直接獲得均值曲線。

1.3 改進算法的流程

為盡量保證每次分解IMF的個數(shù)和特性相同，固定每個IMF的篩分次數(shù)為10。參數(shù)M和σ對分解結果有重要影響。過小的σ難以影響信號極值點的分布，不能解決模式混疊問題；σ過大又會破壞信號中高頻成分的特性，會分解出多余的分量并使誤差增大。M增大可以提高分解精度，但也會增加計算量。筆者依據(jù)文獻［23］確定M和σ的取值。

2 數(shù)值仿真分析

進行仿真分析時，由于對仿真信號有足夠的先驗知識，為減少計算量，可僅對本研究方法的某一方面進行檢驗，也可對其整體效果進行驗證?？疾鞂Χ绦盘柕奶幚砟芰Γ越浀浞蔷€性動力系統(tǒng)Duffing方程為例進行分析，無量綱Duffing方程的表達式為

其中：ε為非線性參數(shù)；γ，ω分別為控制函數(shù)的幅值和角頻率，取ε=-1，γ=0.05，ω=0.5 rad/s。

采用Runge-Kutta方法進行求解，時間步長設為0.1 s，積分區(qū)間為［0，1 000s］，初值｛x（0）；x＇（0）｝=｛0.25；0｝，求得系統(tǒng)響應如圖1所示。根據(jù)相軌跡和Poincare映射可知系統(tǒng)處于擬周期狀態(tài)。結合極值鏡像延拓對［100，200s］間的信號進行EMD及Hilbert變換，如圖2（a），（b）所示。可見，IMF的端點和Hilbert譜的端點處都出現(xiàn)了明顯失真。

圖1 無量綱Duffing方程響應Fig.1 Responses of the dimensionless Duffing equation

采用筆者提出的GSVR模型對信號進行延拓，遺傳算法的參數(shù)及回歸模型的優(yōu)化參數(shù)如表1所示。延拓結果如圖3所示。延拓信號與真實信號基本吻合，得益于其優(yōu)良的非線性映射能力，GSVR對擬周期信號也有較好的預測效果。對延拓后的信號進行EMD及Hilbert變換，結果如圖2（c），（d）所示。對比圖2（a），（b）可見，端點效應基本被消除，同時虛假IMF的波動與能量也顯著減小。

表1 遺傳算法參數(shù)及優(yōu)化結果Tab.1 Parameters in genetic algorithm and the optimization results

為了考察對頻率相近信號的分解能力，仍以Duffing方程為例，初值設為｛x（0）；x＇（0）｝=｛0.9；0｝，其他條件不變，系統(tǒng)響應如圖4所示。依據(jù)幅值譜可知，系統(tǒng)非線性響應的特征頻率f0≈0.117 2 Hz，ω/ω0≈0.679，分別采用改進的包絡擬合方法（記為PE-EMD）和三次樣條包絡擬合方法（記為SE-EMD）對信號進行分解。對信號進行延拓、分解與Hilbert變換，如圖5所示。SE-EMD分解結果中imf2的幅值遠小于真實情況，imf1調頻現(xiàn)象嚴重，且imf1與imf2的Hilbert譜出現(xiàn)了混疊。PEEMD分解結果中imf2的幅值和瞬時頻率已基本接近真實值，imf1的調制現(xiàn)象相對減弱，同時也消除了混疊，這與實際情況比較吻合。

沖擊和調制是機械設備故障信號常見的表現(xiàn)形式，筆者用一包含沖擊和調制成分的信號來模擬故障信號s，其波形及組成如圖6所示。s1～s3分別為沖擊、調制和正常旋轉成分。采用本研究方法（記為P-EEMD）對故障信號進行分解，設定加入噪聲的標準差為0.04，總體平均次數(shù)為100，如7（a）所示。作為對比，采用PE-EMD進行的分解結果如圖7（b）所示?？梢姡捎跊_擊信號這一間斷事件的影響，PE-EMD的結果出現(xiàn)模式混疊并不斷向后蔓延，各IMF喪失意義；P-EEMD的前3個IMF在誤差允許范圍內，與故障信號的3個成分基本對應，表現(xiàn)出了其優(yōu)勢，同時也說明了本研究方法可以應用于機械設備的故障診斷。

3 故障診斷實驗與分析

圖8為一深溝球軸承內圈故障的振動加速度信號［24］，信號具有明顯的沖擊與調制特性。軸承型號為SKF 6205-2RS，軸承內圈轉速為1 752 r/mim，采樣頻率為12 k Hz，內圈故障特征頻率約為158 Hz。采用本研究方法結合包絡分析對故障信號進行處理。首先，對信號進行分解，如圖9（a）所示；然后，對主要含高頻沖擊成分的第1個IMF求包絡譜，如圖9（b）所示，包絡譜中明顯可見故障特征頻率fi及其倍頻，其他比較明顯的峰值為軸承旋轉頻率及其倍頻。分解結果不夠理想，前幾階IMF之間出項了輕微的混疊現(xiàn)象，這是由于信號中某些位置的沖擊成分幅值過大且不對稱，不滿足成為IMF的條件，即使采用EEMD也不能完全消除模式混疊。采用EMD處理的結果如圖9（c）所示，各IMF間出現(xiàn)了更為嚴重的模式混疊，沖擊特征被分解至所有IMF中，這將導致故障特征不明顯，第1個IMF的包絡譜證明了這一點?？梢?，本研究方法的優(yōu)越性得以驗證，能夠滿足機械設備故障診斷工程實際的需求。

圖2 EMD及Hilbert-Huang變換結果Fig.2 Results of EMD and HHT

圖3 信號延拓結果Fig.3 Extension results of the signal

圖4 系統(tǒng)響應的時間歷程和幅值譜Fig.4 Time series and amplitude spectrum of the system response

4 結 論

1）針對EMD在工程應用中存在的兩個突出問題，提出了解決方法，利用GSVR對短信號進行延拓以克服端點效應，同時采用切觸包絡代替三次樣條包絡并結合EEMD以抑制模式混疊。

圖5 不同包絡擬合方法的EMD分解結果Fig.5 EMD results with different envelope fitting algorithms

圖6 模擬故障信號及其組成Fig.6 Fault signal simulated and its components

圖7 模擬故障信號的EEMD與EMD分解結果Fig.7 EEMD and EMD results of the simulated fault signal

圖8 軸承內圈故障信號Fig.8 Bearing signal with inner raceway defect

2）利用兩個非線性信號和一個故障模擬信號對本研究方法進行了研究，并與標準EMD進行對比，驗證了其有效性和優(yōu)越性。

3）將本研究方法用于機械故障診斷，結合包絡解調對軸承故障信號進行分析，結果表明該方法可以更準確提取故障特征。

圖9 軸承故障信號的分解結果Fig.9 Decomposition results of the bearing fault signal

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TH17；TP306+.3

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.04.006

馬文朋，男，1988年11月生，博士研究生。主要研究方向為轉子系統(tǒng)振動信號處理和故障診斷。曾發(fā)表《Fault diagnosis model based on fuzzy support vector machine combined with weighted fuzzy clustering》（《Transactions of Tianjin University》2013，Vol.19，No.3）等論文。

E-mail：wenpengma@tju.edu.cn

*國家自然科學基金委員會與中國民用航空局聯(lián)合資助項目（U1233201）

2013-09-13；

2013-12-05