呂長朋

（武漢船用電力推進研究所，武漢 430064）

0 引言

分?jǐn)?shù)槽集中繞組永磁電機的設(shè)計靈感，最先來自于研究學(xué)者對定子裝有永磁體的開關(guān)磁阻電機的研究，作為一種新穎的徑向磁通電機拓撲，正越來越多的引起全球電機工程師的關(guān)注，該拓撲永磁電機在低速直驅(qū)場合得到廣泛的應(yīng)用。分?jǐn)?shù)槽集中繞組永磁電機具有如下特點：如高功率密度、高效率、繞組端部短、低齒槽轉(zhuǎn)矩、容錯性能好等[1]。

盡管具有諸多好處，但由于分?jǐn)?shù)槽集中繞組永磁電機氣隙磁場復(fù)雜，存在低模數(shù)的電磁力諧波，更容易引起電機的共振，其振動水平一般比整數(shù)槽大。文獻[2]系統(tǒng)的分析了不同極槽匹配下表貼式分?jǐn)?shù)槽集中繞組永磁電機的徑向力和振動模數(shù)，指出，對于q=1的整數(shù)槽電機，主要徑向電磁力由主極磁場自身引起，主振模數(shù)等于極數(shù)，通常較高，而對于分?jǐn)?shù)槽永磁電機，主要徑向電磁力是由轉(zhuǎn)子永磁磁場諧波和定子電樞反應(yīng)磁場諧波共同作用產(chǎn)生，因此主振模數(shù)低，振動和噪聲明顯較整數(shù)槽高。文獻[3]提供了一種預(yù)測分?jǐn)?shù)槽集中繞組永磁電機振動的計算方法：基于二維電磁場有限元分析結(jié)果，用麥克斯韋應(yīng)力法計算出作用在單齒上的電磁力，進而用徑向電磁力去預(yù)估定子振動。文獻[4]針對一臺12槽10極的外轉(zhuǎn)子分?jǐn)?shù)槽集中繞組永磁電機，指出徑向電磁力的高頻諧波會在外轉(zhuǎn)子永磁電機中產(chǎn)生可觀的共振和噪聲，并指出，高頻諧波受磁極和定子齒形狀的影響顯著。

本文針對一臺六相48槽44極表貼式分?jǐn)?shù)槽集中繞組永磁電機，構(gòu)建了氣隙中單位面積徑向電磁力的瞬時值的二維傅里葉級數(shù)形式，然后利用二維有限元軟件和數(shù)據(jù)分析工具，提取出了空載和負載工況下氣隙徑向電磁力密度的FFT分析結(jié)果，最后利用機械阻抗法計算出了定子鐵心表面主振頻率2f對應(yīng)的4階和44階力波對應(yīng)的振動速度。通過該方法，可以清楚地分析出定子鐵心電磁振動產(chǎn)生的主要因素，有利于振動的分析和優(yōu)化。

1 永磁電機徑向電磁力分析

氣隙中產(chǎn)生的電磁力波是引起永磁電機電磁振動的主要原因，它主要是由定、轉(zhuǎn)子氣隙磁場的徑向分量（常見的徑向磁通永磁電機）相互作用所產(chǎn)生的電磁激振力。根據(jù)麥克斯韋定律，在電機氣隙中單位面積徑向電磁力的瞬時值可表示為：

式中：μ0為空氣磁導(dǎo)率，b（θ,t）為電機氣隙磁密，θ為機械角位移，t為時間。

當(dāng)忽略鐵心磁阻和飽和的影響，永磁電機氣隙磁密可以表示為氣隙磁動勢和氣隙磁導(dǎo)乘積。因此，式（1）又可表示為：

式中：f（θ,t）為氣隙磁動勢，Λ（θ,t）為氣隙磁導(dǎo)。

空載時，定子繞組不通電，定子電樞反應(yīng)磁動勢為零，氣隙徑向電磁力由轉(zhuǎn)子磁動勢和氣隙磁導(dǎo)產(chǎn)生；負載時，則由定子電樞反應(yīng)磁動勢、轉(zhuǎn)子磁動勢及氣隙磁導(dǎo)相互作用合成。

整理（2）式可將其表示為二維傅里葉級數(shù)形式：

式中：v為力波階數(shù)；μ為v階力波角頻率;為力波幅值。

由式（3）可知，通過電磁場提取出徑向電磁力隨時間與空間的離散變化數(shù)據(jù)，然后利用二維離散傅里葉變換，即可一一求出v次力波對應(yīng)μ次頻率下的徑向電磁力，該結(jié)果對計算永磁電機振動具有至關(guān)重要的作用。

2 徑向電磁力仿真及分析

表1是永磁電機的主要設(shè)計參數(shù)表。

注：樣機定子為雙層繞組，轉(zhuǎn)子磁極為表貼式結(jié)構(gòu)，永磁磁極進行了優(yōu)化修形。

2.1 空載氣隙徑向電磁力仿真及分析

樣機包含兩個單元電機，仿真計算時，在空間上選擇一個單元電機（1/2模型，24S/22P），在時間上選擇一個電周期。則該單元電機的氣隙徑向電磁力密度隨時間及空間的變化見下圖1所示。

對通過電磁場計算得到的氣隙徑向電磁力密度隨時間和空間變化的離散數(shù)據(jù)結(jié)果進行二維FFT分析，即，分別沿時間軸和空間軸進行FFT分析，可得到氣隙徑向電磁力波幅值與力波次數(shù)和倍頻（基頻倍數(shù)）之間的對應(yīng)關(guān)系，如圖2所示。

將單元電機氣隙徑向電磁力時空二維FFT分析得到的主要結(jié)果進行整理，如下表2所示。

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二維 FFT分解結(jié)果表明，空載時，單元電機（0階，0 Hz）徑向電磁力盡管較大，但為恒定分量，不產(chǎn)生振動，可忽略；除此之外，單元電機基波（-22階，2 f）電磁激振力幅值最大，約為 282.4 kN/m2，與基波旋轉(zhuǎn)方向相反的（+2階、2 f）力波，其幅值為3.1 kN/m2，，雖然較前者相差較大，但由于其力波次數(shù)遠低于基波，考慮到鐵心振動時動態(tài)變形的振幅大約與力波次數(shù)的4次方成反比，因此，該低次力波引起的振動要大于前者。由公式（2）分析可知，此時的+2階力波是由永磁體磁動勢和氣隙磁導(dǎo)（主要為定子磁導(dǎo)）相互作用產(chǎn)生。

由于分析是針對單元電機開展的，即空間上只取了樣機一半的模型，因此，對于整個樣機而言，上述分析中的力波次數(shù)應(yīng)乘以2。

2.2 負載氣隙徑向電磁力分析

采用Id=0的控制策略，仿真時，每相繞組中通入17A有效電流。單元電機一個電周期內(nèi)氣隙徑向電磁力的時空仿真結(jié)果如下圖3所示，二維FFT分析結(jié)果見下圖4。

負載時，單元電機氣隙徑向電磁力時空二維FFT分析結(jié)果如下表3所示。

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負載二維FFT分析結(jié)果表明，通入電流后，單元電機的基波（-22階，2f）變化不明顯，而（+2階、2f）對應(yīng)的力波幅值變化明顯，從3.1 kN/m2增加到33.6 kN/m2，顯然，該階力波引起的振動得到了明顯加強。由公式（2）分析可知，此時的+2階力波是主要由永磁體磁動勢和定子電樞反應(yīng)磁動勢與氣隙磁導(dǎo)共同相互作用產(chǎn)生。同時，由于定子電樞反應(yīng)磁動勢的引入，也引起了其它次低級力波幅值發(fā)生變化，如（+4階、4f），（+6階、6f）等。

3 定子電磁振動分析

電機內(nèi)部電磁力引起的定子鐵心機械振動過程可用如下的微分方程表示：

式中：m'為單位面積質(zhì)量；y為振動位移；Cm為電機的阻尼系數(shù)；λj為定子鐵心的柔度，與力波次數(shù)、定子軛半徑和軛部厚度有關(guān)的量；pm為作用在單位面積質(zhì)量m'上的電磁力幅值；w為電磁力角頻率。

當(dāng)忽略阻尼振動時，即Cm＝0 時，定子軛的振動速度有效值可按下式計算：

其中，prm為氣隙中的單位面積徑向電磁力幅值；R1為定子內(nèi)圓半徑；Rj為定子軛平均半徑。樣機的振動計算相關(guān)參數(shù)如下表4。

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電機運行轉(zhuǎn)速為300 r/min，對應(yīng)基波頻率f為110 Hz，將仿真得到的2倍頻下對應(yīng)的4階和44階力波幅值及表4中參數(shù)值帶入式（5），可得到空載和負載條件下定子鐵心表面對應(yīng)的振動速度計算結(jié)果，如下表5所示。

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計算結(jié)果表明：1）無論是空載還是負載，4階力波都是48槽44極分?jǐn)?shù)槽集中繞組永磁電機的主振力波；2）與空載相比，負載時，2倍頻下對應(yīng)的4階力波引起的振動速度增加明顯；3）44階力波幅值在加載前后變化不大，且盡管是幅值最大的力波，但由于其力波次數(shù)較高，與4階力波相比，其引起的振動速度卻相對較小，計算時基本上可忽略不計。

4 結(jié)論

對于q=1的整數(shù)槽永磁電機，其徑向電磁力主要由永磁體磁場自身引起，主振力波階數(shù)等于極數(shù)。從集中分?jǐn)?shù)槽繞組永磁電機的振動仿真分析結(jié)果來看，與整數(shù)槽電機相比，集中分?jǐn)?shù)槽繞組永磁電機內(nèi)部徑向電磁力波密，出現(xiàn)了低于極數(shù)次的空間諧波，這對分?jǐn)?shù)槽集中繞組永磁電機的振動極為不利，會造成集中分?jǐn)?shù)槽繞組永磁電機電磁振動變大，且更容易引起共振。另外，振動計算結(jié)果表明，盡管空載和負載工況下集中分?jǐn)?shù)槽繞組永磁電機的主振力波階數(shù)相同，但產(chǎn)生原因不同，空載時，主振力波是由永磁體磁動勢與定子磁導(dǎo)相互作用產(chǎn)生，而負載時，則主要由永磁體磁動勢、定子電樞反應(yīng)電動勢和定子磁導(dǎo)相互作用產(chǎn)生。負載前后，主振力波幅值發(fā)生了較為顯著的變化。

[1]Ayman.M.EL-Refaie.Fractional-slot concentrated-windings synchronous permanent magnet machines:opportunities and challenges．IEEE Transactions on Industrial Electronic，2010，57(1)：107-121．

[2]Z.Q.Zhu，Z.P.Xia，L.J.Wu，and G.W.Jewell．Influence of slot and pole number combination on radial force and vibration modes in fractional slot PM brushless machines having single-and double-layer windings.IEEE Energy Conversion Congress and Exposition Conference，San Jose，CA： IEEE，2009：3443-3450．

[3]Y.S.Chen,Z.Q.Zhu,and D.Howe.Vibration of permanent magnet brushless machines having a fractional number of slots per pole.IEEE Trans.Magnetics,2006,42（10）：3395-3397.

[4]Jens Krotsch,Bernhard Piepenbreier.Harmonic diversity and determining factors of radial forces in external rotor permanent magnet synchronous motors with concentrated windings.XIX International Conference on Electrical Machines-ICEM 2010,Rome.