董鋒斌， 皇金鋒

(陜西理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

電機(jī)是以磁場(chǎng)作為平臺(tái)進(jìn)行機(jī)電能量轉(zhuǎn)換或傳輸?shù)脑O(shè)備，對(duì)電機(jī)中磁場(chǎng)的理解影響著對(duì)電機(jī)機(jī)理的理解。磁動(dòng)勢(shì)是磁場(chǎng)中很重要的一個(gè)概念，電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩是定子、轉(zhuǎn)子磁動(dòng)勢(shì)相互作用的結(jié)果，磁動(dòng)勢(shì)是產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的直接原因[1]。交流電機(jī)電樞繞組的磁動(dòng)勢(shì)既與時(shí)間有關(guān)[2]，又與空間有關(guān)。在文獻(xiàn)[3-5]中描述m相對(duì)稱繞組流入m相對(duì)稱電流，會(huì)在空間產(chǎn)生一個(gè)幅值為常數(shù)、轉(zhuǎn)速恒定的圓形旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)。如果繞組不對(duì)稱或電流不對(duì)稱，會(huì)在空間產(chǎn)生一個(gè)幅值變化、轉(zhuǎn)速不定的橢圓形旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)。但如何證明其幅值按照橢圓規(guī)律變化,并未給出。文獻(xiàn)[6-7]雖然討論了電壓不對(duì)稱的工況下電機(jī)旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)的特點(diǎn)，但主要針對(duì)缺相而展開的。文獻(xiàn)[8]利用三相不對(duì)稱系統(tǒng)的對(duì)稱分量法將三相不對(duì)稱電流分解為正序，負(fù)序和零序三組對(duì)稱矢量，討論了基波合成磁勢(shì)的特點(diǎn)，但未分析各個(gè)區(qū)間轉(zhuǎn)速變化規(guī)律。為了更清楚地分析三相交流電動(dòng)機(jī)對(duì)稱繞組不對(duì)稱供電工況下磁動(dòng)勢(shì)特點(diǎn)，本文針對(duì)不對(duì)稱供電工況下磁動(dòng)勢(shì)的空間運(yùn)動(dòng)軌跡、磁動(dòng)勢(shì)角速度的變化特點(diǎn)和磁動(dòng)勢(shì)角加速度的變化趨勢(shì)等進(jìn)行討論，研究不同區(qū)間磁動(dòng)勢(shì)的變化規(guī)律，期望能給交流電機(jī)學(xué)習(xí)或研究人員提供一些思路。

1 三相交流電動(dòng)機(jī)對(duì)稱繞組不對(duì)稱供電工況

三相交流電動(dòng)機(jī)包括異步電動(dòng)機(jī)和同步電動(dòng)機(jī)，其定子繞組在制造工藝上一般能保證三相繞組對(duì)稱，即匝數(shù)、分布系數(shù)、短距系數(shù)相同，在空間相差120°電角度。在低壓配電網(wǎng)中，輸電線路一般采用三相四線制，實(shí)際運(yùn)行時(shí)三相系統(tǒng)各相負(fù)載很難平衡時(shí)，因內(nèi)阻抗的不同，供給三相交流電機(jī)的電壓實(shí)際上是不對(duì)稱的，也就是說(shuō)產(chǎn)生嚴(yán)格意義上的圓形旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)的條件很難滿足。如圖1所示，三相對(duì)稱的復(fù)雜繞組可以用等效的整距繞組來(lái)代替，三相空間分布繞組的坐標(biāo)用同一個(gè)坐標(biāo)，原點(diǎn)選在A相繞組的中心軸線上。

圖1 等效的三相繞組

三相繞組對(duì)稱，但供電電源不對(duì)稱，三相繞組流過(guò)的電流依次為

其中I1、I2、I3分別為電流有效值。

三相電流在電機(jī)氣隙圓周方向上產(chǎn)生的基波磁動(dòng)勢(shì)依次為

(1)

FφBcos(ωt-120°)cos(α-120°),

(2)

(3)

其中N為每相繞組串聯(lián)的匝數(shù)，kdp1為繞組系數(shù)，p為電機(jī)極對(duì)數(shù)，ωt為時(shí)間電角度，α為空間電角度，F(xiàn)φA、FφB、FφC分別為三相基波磁動(dòng)勢(shì)的幅值。

2 三相交流電機(jī)對(duì)稱繞組電流磁動(dòng)勢(shì)分析

2.1 三相交流電機(jī)基波磁動(dòng)勢(shì)合成

將三個(gè)單相的脈振磁動(dòng)勢(shì)利用三角積化和差公式、和角公式、差角公式分別分解為

(4)

(5)

(6)

則三相合成基波磁動(dòng)勢(shì)為

f=(FφA+FφB+FφC)cos(α-ωt)+

F1cos(α-ωt)+F2cos(α+ωt)+F3sin(α+ωt)=f1+f2+f3,

(7)

由式(7)知，合成基波磁動(dòng)勢(shì)由三個(gè)分量組成，f1為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的磁動(dòng)勢(shì)，f2為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的磁動(dòng)勢(shì)，f3為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的磁動(dòng)勢(shì)。

當(dāng)三相電源為對(duì)稱電源時(shí)，有I1=I2=I3則f=f1=F1cos(α-ωt)=1.5FφAcos(α-ωt)合成基波磁動(dòng)勢(shì)為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)圓形的磁動(dòng)勢(shì),此時(shí)F2=F3=0。

當(dāng)三相電源為不對(duì)稱電源時(shí)，F(xiàn)2≠0,F3≠0，合成基波磁動(dòng)勢(shì)為圓形磁動(dòng)勢(shì)還是橢圓磁動(dòng)勢(shì)？對(duì)此情形將進(jìn)行下面的推演。

2.2 三相電源不對(duì)稱分析

實(shí)際工況中分兩種情況，第一種情況是有兩相電流近似相等或相等，第二種情況是有三相電流均不相等。

2.2.1 兩相電流近似相等或相等情形

針對(duì)第一種情況，為討論問(wèn)題方便，不妨以I1≠I2、I2=I3為例來(lái)分析合成基波磁動(dòng)勢(shì)的特點(diǎn)。

當(dāng)I1≠I2、I2=I3時(shí)，F(xiàn)2≠0,F3=0，此時(shí)有

f++f-=F+cos(α-ωt)+F-cos(α+ωt)，

(8)

圖2 磁動(dòng)勢(shì)向量圖

(9)

其中k為三角形外接圓的直徑。

f在α=0°軸線上的分量為Fcosθ1，在α=90°軸線上的分量為Fsinθ1。

由式(9)知，F(xiàn)+=ksin(θ+θ1),F-=ksin(θ-θ1)，F(xiàn)=ksin2θ。則

(10)

由式(10)知，f的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓，其長(zhǎng)軸為F++F-，短軸為F+-F-。用同樣的方法也可證明在α∈(90°,180°)、α∈(180°,270°)、α∈(270°,360°)時(shí)f的運(yùn)動(dòng)軌跡均為橢圓。

f的運(yùn)動(dòng)速度，在α∈(0°,90°)，有θ1<θ，所以ω1<ω。一般設(shè)磁動(dòng)勢(shì)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，則有ω>ω1>0。

下面討論速度的變化，由式(9)得

F+sin(θ-θ1)=F-sin(θ+θ1),

(11)

求導(dǎo)得

F+cos(θ-θ1)(ω-ω1)=F-cos(θ+θ1)(ω+ω1)。

(12)

在圖2中根據(jù)余弦定理有

(13)

(14)

將式(13)和(14)代入式(12)中可得

(15)

從式(15)可以看出，當(dāng)F+、F-、ω為定值時(shí)，磁動(dòng)勢(shì)的旋轉(zhuǎn)速度與合成磁動(dòng)勢(shì)幅值的平方成反比。在α=90°時(shí)最大，在α=0°時(shí)最小。磁動(dòng)勢(shì)的旋轉(zhuǎn)速度的最大值、最小值分別為

(16)

(17)

由式(15)知，當(dāng)F+2=F2-F-2時(shí)，ω1=ω。此時(shí)對(duì)應(yīng)的角度為

(18)

對(duì)式(12)求導(dǎo)得

(19)

因?yàn)棣厥嵌ㄖ?，則其導(dǎo)數(shù)為0，化簡(jiǎn)式(19)得到

(20)

由于F+>F-，θ>θ1，在θ∈(0°,90°)有cos(θ-θ1)>cos(θ+θ1)，sin(θ-θ1)>0，故dω1/dt>0。說(shuō)明在此區(qū)間，ω1是變化的，而且ω1是增加的。

用同樣的方法可以推導(dǎo)出在α∈(90°,180°)運(yùn)動(dòng)區(qū)間，當(dāng)ω1=ω對(duì)應(yīng)的角度為

(21)

在α∈(180°,270°)運(yùn)動(dòng)區(qū)間，當(dāng)ω1=ω對(duì)應(yīng)的角度為

(22)

在α∈(270°,360°)運(yùn)動(dòng)區(qū)間，當(dāng)ω1=ω對(duì)應(yīng)的角度為

(23)

在一個(gè)周期內(nèi)，磁動(dòng)勢(shì)旋轉(zhuǎn)速度的平均值和ω相等。綜上所述可得到不同區(qū)間磁動(dòng)勢(shì)的變化規(guī)律如表1的結(jié)論。

表1 不同區(qū)間磁動(dòng)勢(shì)的變化規(guī)律

2.2.2 三相電流均不等情形

對(duì)于第二種三相電流均不相等的情況，f2和f3是幅值固定且有相同速度的順時(shí)針旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)，其合成磁動(dòng)勢(shì)為幅值固定、速度恒定的順時(shí)針旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)，和第一種情況下的f-性質(zhì)類似。這種工況下的基波合成磁動(dòng)勢(shì)分析過(guò)程和第一種情況下雷同，這里不再討論。

3 結(jié)論

當(dāng)三相電源為不對(duì)稱電源時(shí)，其合成基波磁動(dòng)勢(shì)則為橢圓磁動(dòng)勢(shì)?；ù艅?dòng)勢(shì)的旋轉(zhuǎn)速度在變化，在不同的象限區(qū)間內(nèi)速度或增或減，但其轉(zhuǎn)速在一個(gè)周期的平均值和圓形旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)的速度有ω相等。雖然以I1≠I2、I2=I3為例來(lái)分析合成基波磁動(dòng)勢(shì)的特點(diǎn)，但對(duì)于I1≠I2≠I3的工況其上述結(jié)論仍然適用。三相電機(jī)在不對(duì)稱電壓下運(yùn)行，其合成基波磁動(dòng)勢(shì)則為橢圓磁動(dòng)勢(shì)會(huì)導(dǎo)致電機(jī)過(guò)載能力和效率降低，溫升提高，所以應(yīng)盡量使電機(jī)在對(duì)稱三相電壓下運(yùn)行。