唐劍飛，劉勝道，王 勇，鄭永良

(1.中國艦船研究設(shè)計中心軍事代表室，武漢 430064；2.海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院，武漢 430033；3.中國人民解放軍92267部隊，山東青島 266102)

0 引言

支持向量機（Support Vector Machines,SVM）是 Vapnik等人根據(jù)統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論中結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化來實現(xiàn)實際風(fēng)險的最小化原則提出的[1]。本文將支持向量機回歸的理論和方法應(yīng)用于船舶磁場推算，建立了關(guān)于船舶磁場的支持向量機預(yù)測模型，通過實驗室有限點的測量磁場來推算其它位置的磁場，取得了很好的效果，且有很強的推廣能力。

1 支持向量機

支持向量機最開始是用來解決關(guān)于模式識別的有關(guān)問題的。在模式識別中，選擇訓(xùn)練數(shù)據(jù)的一些子集稱為支持向量，從而發(fā)現(xiàn)具有推廣能力的決策規(guī)則。最佳的支持向量等效于所有數(shù)據(jù)的分離。線性可分情況下的最優(yōu)分類面衍生出支持向量機，其基本思想在形式上類似于一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，輸出是中間節(jié)點的線性組合，每個支持向量對應(yīng)于一個中間節(jié)點。

1.1 支持向量機基本思想

某線性函數(shù)存在于N維空間，在≤A的約束下，其VC維可能大大減小。即使在高維空間也可以得到較小VC維的函數(shù)集，從而能夠有較好的推廣性。當(dāng)把原問題轉(zhuǎn)換成其對偶問題后，計算的復(fù)雜度主要由樣本數(shù)決定而不再取決于空間維數(shù)，這樣，高維問題就能得到更好的解決[2]。

對非線性問題而言，通過一定的非線性變換x→φ(x)，將原問題轉(zhuǎn)換成高維空間的線性問題，如圖1所示。雖然這種變換比較復(fù)雜不易實現(xiàn)，但是在上述對偶問題中，對于尋優(yōu)函數(shù)或者分類函數(shù)都只涉及到樣本之間的內(nèi)積運算，這種內(nèi)積運算可通過原空間的函數(shù)實現(xiàn)，我們不需要知道其變換的形式。只要一種核函數(shù)k（xi,xj）滿足Mercer條件，就能對應(yīng)某變換空間的內(nèi)積。

1.2 核函數(shù)

目前，最常用的核函數(shù)有：

1）多項式核函數(shù)：

2）徑向基（RBF）函數(shù)：

3）Sigmoid函數(shù)：

2 支持向量機回歸算法

對于某未知函數(shù)y＝f(x),x∈Rd,y∈R而言，要求函數(shù)f':Rd→R時，f和f'之間的距離

最小，則稱為函數(shù)的逼近問題。其中L為懲罰函數(shù)。f未知，因此我們只能通過測量得到的樣本回歸來求得f'。

用線性回歸函數(shù)f(x)＝＜ω,x＞+b擬合樣本數(shù)據(jù)，設(shè)所有訓(xùn)練樣本在精度ε下無誤差線性函數(shù)擬合，即：

回歸的估計問題即轉(zhuǎn)換成約束條件下的最小化函數(shù)

式（7）的最小化是一個凸二次優(yōu)化問題，引入拉格朗日函數(shù)：

其中α,α*≥ 0,γ,γ*≥ 0,i＝1,2,...,k。式（7）的最優(yōu)解即為（8）的鞍點，在此點L是關(guān)于ω，b,ξ,ξ*的極小點，是關(guān)于α,α*,γ,γ*的極大點，求（8）的最小即可轉(zhuǎn)換為求

的最大問題。

L在鞍點處是關(guān)于ω，b,ξ,ξ*的極小點，故可得到：

將（10）代入到（8），可得：

對于非線性回歸，用一個非線性映射x→φ(x)將樣本數(shù)據(jù)映射到一個高維特征空間，從而進(jìn)行線性回歸，從而得到原空間非線性回歸的效果，式（11）轉(zhuǎn)化為：

引入符合 Mercer條件的核函數(shù)

其中：

記 ＜ω,x＞＝ω0,函數(shù)f(x)可表示為

由K-T條件，鞍點處下式成立：

由(18)知，當(dāng)＝C或＝C時，f()與的誤差可能大于ε，對應(yīng)∈(0,C)或者∈(0,C)的f()與的差等于ε即＝0或者＝0，因此有：

支持向量即與0、0對應(yīng)的樣本，也就是在不靈敏區(qū)域邊界上或外面的樣本，有：

其中SVs表示支持向量集。

基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化的支持向量回歸預(yù)測方法，不但考慮了樣本的復(fù)雜性同時也考慮了樣本的擬合性，有很好的外推預(yù)測能力。但是在整個建模的過程中，損失函數(shù)參數(shù)ε、懲罰因子C、核函數(shù)等模型參數(shù)的選擇比較困難，一般依靠經(jīng)驗及測試[3]。

3 支持向量機的回歸建模在船舶磁場推算中的應(yīng)用

近年來，磁場建模方法在船舶磁場推算中得到了廣泛研究且取得了較多成果。用于船舶磁場推算的數(shù)學(xué)模型主要有兩類：一類是依據(jù)嚴(yán)格的理論推導(dǎo)出來的，如大平面法、邊界元法等，其計算精度高，但需要整個場域邊界上的磁場數(shù)據(jù)，對測量要求較高；另一類是磁體模擬法，它基于在物體若干測量點處產(chǎn)生磁場的相似性，將整個物體磁場等效為若干分布于船舶所占空間內(nèi)的模擬體的磁場，其只需少量的磁場測量數(shù)據(jù)，但缺乏理論上的嚴(yán)密性[4-7]。SVM 對于船舶周圍磁場的推算在實際運用中還是第一次，取得了一定的效果。

實驗過程如下：

1）選取合適的船舶模型、若干磁探頭及磁場測量設(shè)備?？紤]到小艇與船舶的大小的相對比例問題，選擇的測量點少了，得到的數(shù)據(jù)較少，那么通過計算最后得出的結(jié)果可能誤差偏大。而選擇的測量點過多，可能對實船測量造成比較大的困難。因此，我們選擇兩舷外共2*23點以及艦首艦尾共2*3個點進(jìn)行測量，最終得到52個點的三分量磁場數(shù)據(jù)。

2）將8、9兩個磁探頭放置于船舶兩舷外距離船體中心L處，測量舷外磁場，模擬小艇的測量位置。 1、2、3三個磁探頭放置于船舶正下方一船舯寬處，測量標(biāo)準(zhǔn)測量面上的磁場強度。10、11兩個磁探頭放在離實驗器材較遠(yuǎn)且周邊沒有磁性物體位置，以監(jiān)測周邊環(huán)境磁場變化。

3）由南至北推動船舶，隨著第一個點到最后一個點，由相對位置的變化模擬小艇的旋轉(zhuǎn)一圈的測量過程。隨后，將三個磁探頭置于艦首，三個磁探頭置于艦尾，模擬小艇繞船舶轉(zhuǎn)圈時，轉(zhuǎn)到艦首艦尾位置后對船舶磁場的測量過程，測量示意圖如圖2和圖3所示。

4）繼續(xù)進(jìn)行兩次實驗，兩次實驗過程中將兩個舷外的磁探頭調(diào)整距離，從而模擬當(dāng)轉(zhuǎn)圈半徑變大時，小艇上測量設(shè)備對船舶三分量磁場的測量過程。

5）數(shù)據(jù)處理，將兩個監(jiān)測磁探頭所測得的干擾磁場消除。

以船舶幾何中心為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，艦尾指向艦首方向為X軸正方向，左舷指向右舷方向為Y軸正方向，豎直向下方向為Z軸正方向，如圖4所示。

通過測量的數(shù)據(jù)，使用支持多變量回歸的支持向量機回歸軟件，對船舶下一倍船舯寬的面的磁場強度進(jìn)行推算。

選擇BSVM工具箱，因為我們這里用到三個變量的回歸，使用 EXCEL的宏工具將數(shù)據(jù)設(shè)置成label index:value index2: value index3: value index4格式并保存到 TXT里，保存文件名“train.txt”點擊“input file”把數(shù)據(jù)導(dǎo)入BSVR軟件，輸入 100的運行數(shù)，點擊“Optimize”，檢查“input-opt.csv”并注意哪些參數(shù)產(chǎn)生的MSE較低。計算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)松弛因子C為1，epsilon為0.1，選擇dot為核函數(shù)時，相對誤差最小。

使用這些參數(shù)對標(biāo)準(zhǔn)測量面上的磁場值進(jìn)行回歸預(yù)測，得到的預(yù)測值與測量值比較曲線如圖5所示，圖中數(shù)據(jù)作了歸一化處理。其相對均方根誤差如表1所示。

4 結(jié)束語

本文通過支持多變量回歸的支持向量機回歸軟件，以實驗室得到的磁場數(shù)據(jù)為樣本，通過不斷的測試找到最優(yōu)的參數(shù)。設(shè)置好軟件參數(shù)，再通過樣本預(yù)測船舶下一舯寬距離的面的磁場。將預(yù)測磁場與實際測量磁場相比較，預(yù)測誤差在10%以下，滿足工程應(yīng)用要求，這對于未來支持向量機在船舶磁場推算上的研究有著重要意義。

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