謝立平

摘 ?要：作為我國(guó)高等教育組成部分。自學(xué)考試倡導(dǎo)自學(xué)，鼓勵(lì)自學(xué)，推動(dòng)自學(xué)，為每一個(gè)自學(xué)者鋪就成才之路。文章在此背景下研究概念復(fù)習(xí)PK實(shí)戰(zhàn)演練，希望對(duì)后續(xù)研究有所幫助。

關(guān)鍵詞：概念;復(fù)習(xí);PK;實(shí)戰(zhàn)演練

復(fù)習(xí)鞏固是整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中最重要的一環(huán)。從一題多解中更能培養(yǎng)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)歸納，從而清晰地了解各知識(shí)點(diǎn)的相互滲透與聯(lián)系，將解決問(wèn)題的方案進(jìn)行比較歸納，選出最優(yōu)方案，從而培養(yǎng)學(xué)習(xí)者多途徑解決問(wèn)題的能力，善于從中進(jìn)行分析、歸納、總結(jié)出最優(yōu)解，進(jìn)而將解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的這種能力轉(zhuǎn)為解決其生活、工作問(wèn)題的能力。體會(huì)到：

①學(xué)會(huì)從不同角度出發(fā)，運(yùn)用不同的解決方案;

②知識(shí)多了，方案多了，就可以進(jìn)行比較選擇，從而得到最好方案。

例如：解矩陣方程：2 11 2X=1 ?2-1 1，其中X為二階方陣。

解法一：設(shè)矩陣X=x ? x x ? x ?，

由題設(shè)條件可得矩陣等式：2 11 2x ? x x ? x =1 ?2-1 1

即：2x +x ?2x +x x +2x ?x12+2x =1 ?2-1 1

由矩陣相等定義得2x +x =1x +2x =-1;2x +x =2x +2x =1

解這兩個(gè)方程組可得x =1;x =-1;x =1;x =0

所以矩陣X= 1 ?1-1 0

解題時(shí)所涉及到的知識(shí)點(diǎn)（1）矩陣乘法;（2）矩陣相等。

對(duì)各種方法進(jìn)行評(píng)點(diǎn)，將解題中所涉及的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行羅列。這樣可使學(xué)生所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)漸漸清晰起來(lái)，就能正確選擇方法解決問(wèn)題。隨著繼續(xù)學(xué)習(xí)矩陣，當(dāng)學(xué)過(guò)求矩陣的可逆矩陣后，又有兩種方法解決此題。

分析：矩陣方程有兩類(lèi)：

第一類(lèi)：矩陣方程AX=B的解為X=A-1B;

第二類(lèi)：矩陣方程XA=B的解為X=BA-1

通過(guò)分析可知，先求出矩陣A的逆矩陣A-1，然后求得方程的解。

解法二：用伴隨矩陣法求逆矩陣A-1

A=2 11 2=4-1=3

A =2;A =-1;A =-1;A =2

所以矩陣A的伴隨矩陣A =A ?A A ?A =2 -1-1 2

矩陣A的逆矩陣A-1= = = ?- -

所以方程的解為X=A B= ?- - ? ?1 ?2-1 1=1 ?1-1 0

此解法所涉及的知識(shí)點(diǎn)：

（1）求矩陣A的伴隨矩陣A =A ?A ?… A A ?A ?… A A ?A ?… A

（2）矩陣A的逆矩陣A =

解法三：用初等行變換求逆矩陣A

分析：先回顧矩陣的初等交換：

（1）交換矩陣A的某兩行（列）;

（2）用一個(gè)非零數(shù)k乘矩陣A的某一行（列）;

（3）把矩陣A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上。

解：設(shè)A=2 11 2;B=1 ?2-1 1

（A，E2）=2 1 1 01 2 0 1 1 2 0 12 1 1 0

→1 2 0 11 2 0 1→1 2 ?0 ?10 1 -

→1 0 ? - 0 1 - ? =E，A

所以A = ?- -

驗(yàn)證：A A= ?- - ? 2 ?11 ?2=1 ?00 ?1

所以方程的解為X=A B= ?- - ? 1 ?2-1 1=1 ?1-1 0

[點(diǎn)評(píng)]解法二，解法三，都是先求出可逆矩陣A ，然后求出方程AX=B的解為X=A B。特別是解法三，它是另一種常用的求解方法。不過(guò)，此時(shí)，它們都必須做復(fù)雜的矩陣乘法運(yùn)算。

為了簡(jiǎn)化求解過(guò)程，介紹解法四：對(duì)分塊矩陣（A，B）作初等行變換來(lái)求解。

解法四：（A，B）=2 1 ?1 21 2 -1 1 1 2 -1 12 1 ?1 2

→1 2 -1 10 -3 3 0→1 2 -1 10 1 -1 0

→1 0 ?1 10 1 -1 0=E，X

所以X=1 ?1-1 0

[點(diǎn)評(píng)]最常見(jiàn)的矩陣方程有以下兩類(lèi)：

（1）設(shè)A是n階可逆矩陣，B是n*m矩陣，求出矩陣X，使X滿足矩陣方程AX=B;通過(guò)解法四，用初等行變換把分塊矩陣（A，B）化成（E，A-1B），即（A，B） （E，X）， 這種方法更便捷，且正確率更高。

（2）設(shè)A是n階可逆矩陣，B是m*n矩陣，求出矩陣X，使X滿足矩陣方程XA=B，用初等行變換把分塊矩陣A ，B ?E ，BA ?化成 ，即A ，B ?E ，BA ?，從而得到x =BA ?，這種方法更便捷，且正確率更高。

通過(guò)此題引導(dǎo)學(xué)生去思考，及時(shí)歸納這題中涉及到哪些知識(shí)點(diǎn)，站在一個(gè)出題者的角度，他想讓你掌握的知識(shí)點(diǎn)有：①矩陣乘法;②矩陣相等;③求矩陣A的逆矩陣。其中求矩陣A的逆矩陣的方法又有：

a.A = ，A =A ?A ?… A A ?A ?… A A ?A ?… A 簡(jiǎn)稱伴隨矩陣法;

b.分塊法（A，E） （E，A ）簡(jiǎn)稱初等變換法;

通過(guò)解法一，復(fù)習(xí)了知識(shí)點(diǎn)：

（1）矩陣乘法;

（2）矩陣相乘的條件;

（3）用克拉默法則求線性方程組的解;

（4）行列式的計(jì)算（展開(kāi)法，對(duì)角法）。

通過(guò)解法二，求可逆矩陣A ，復(fù)習(xí)了知識(shí)點(diǎn)：

（1）行列式中元素的代數(shù)余子式;

（2）矩陣A的伴隨矩陣A =A ?A ?… A A ?A ?… A A ?A ?… A ;

（3）A 與A 的關(guān)系式，即A = ?;

參考文獻(xiàn)：

[1]陳榮基.淺談線性代數(shù)復(fù)習(xí)課的教學(xué)策略[J].南方論刊，2004.