謝書童 郭隱彪

1.集美大學(xué)，廈門，361021 2.廈門大學(xué)，廈門，361005

0 引言

制造領(lǐng)域中，數(shù)控加工切削參數(shù)的選擇直接關(guān)系到加工成本、加工效率，以及加工質(zhì)量。因此，在一定加工約束條件下，選擇合理的切削參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)特定的加工目標(biāo)，例如降低加工成本、提高加工效率等，這就是切削參數(shù)優(yōu)化問題［1－3］。

早期的切削參數(shù)優(yōu)化研究主要集中在單刀車削加工，即多把刀具輪流車削，但每一時(shí)刻只有一把刀具在車削。常見的切削參數(shù)尋優(yōu)算法有模擬退火 算 法［4］、遺 傳 算 法［5－7］、蟻 群 算 法［8－10］、粒子群 算 法［11］、差 分 進(jìn) 化 算 法［12］、分 布 估 計(jì) 算法［13－14］等。

近些年，人們開始把切削參數(shù)優(yōu)化的研究重心從單刀車削逐漸轉(zhuǎn)向雙刀并行車削。雙刀并行車削中的切削參數(shù)優(yōu)化是多刀具同時(shí)優(yōu)化問題，它的數(shù)學(xué)模型更復(fù)雜，求解難度更大，目前相關(guān)的研究工作還很少。Tang等［15］以最小化加工時(shí)間為目標(biāo)，用粒子群算法對雙刀車削中的多種加工方式進(jìn)行優(yōu)化。Xie等［16］在雙刀并行車削中以最小化加工成本為優(yōu)化目標(biāo)，用分布估計(jì)算法優(yōu)化加工參數(shù)。這些方法能得到一些優(yōu)化解，但難以保證尋到全局最優(yōu)解，且運(yùn)算效率較低，不利于集成到車床的CAPP系統(tǒng)中。

針對對稱式雙刀并行車削中的切削參數(shù)優(yōu)化問題，本文建立以最小化加工成本為目標(biāo)的雙刀并行車削參數(shù)優(yōu)化模型。針對該模型提出一種混合優(yōu)化算法，通過把蟻群算法（ant colony optimization，ACO）和子問題枚舉算法（enumeration algorithm of sub－problems，EAS）相結(jié)合的方式，使得最終的優(yōu)化算法具有尋優(yōu)能力強(qiáng)、運(yùn)算效率高的優(yōu)點(diǎn)。

1 雙刀并行車削參數(shù)優(yōu)化模型

對稱式雙刀并行車削加工方式如圖1所示。文獻(xiàn)［4］建立的單刀車削參數(shù)優(yōu)化模型接近實(shí)際車削加工，因此本文以它為基礎(chǔ)，建立雙刀車削參數(shù)優(yōu)化模型。待優(yōu)化的車削參數(shù)包括粗車、精車兩個(gè)階段的切削速度、進(jìn)給量、切削深度、粗車次數(shù)，將工件加工成本作為優(yōu)化目標(biāo)，它由以下4個(gè)部分組成。

圖1 雙刀并行車削加工示意圖

（1）實(shí)際切削過程中的加工成本CM。雙刀車削的實(shí)際車削時(shí)間比單刀的車削時(shí)間［4］減少約一半，所以粗車時(shí)間為

精車時(shí)間為

式中，tmr、tms分別為粗車時(shí)間和精車時(shí)間，min；n為粗車次數(shù)，n＝ （dt－ds）／dr；L、D 分別為工件的長度和直徑，mm；vr、vs分別為粗車和精車的切削速度，m／min；fr、fs分別為粗車和精車的進(jìn)給量，mm／r；dt、dr、ds分別為車削總余量、粗車和精車的切削量，mm。

因此切削加工成本為

式中，k0為單位時(shí)間的管理成本和工人成本之和，＄／min。

（2）刀具空走和工件裝卸操作所用成本CI。刀具空走和工件裝卸操作成本與單刀車削的情況一致［4］：

式中，h1、h2分別為與車刀空走時(shí)間和進(jìn)刀／退刀時(shí)間有關(guān)的常量；tc為換刀時(shí)間，min。

（3）換刀操作成本CR。雙刀并行車削加工共有4把刀，粗車刀和精車刀各2把，2把粗（精）車刀同時(shí)進(jìn)行車削加工。刀具壽命由Taylor公式確定，粗車刀的壽命為

精車刀的壽命為

式中，Tr、Ts分別為粗車刀和精 車刀的壽命，min；C01、C02、p、q、r均為 Taylor公式的系數(shù)［4］。

2把刀同時(shí)車削，換刀的時(shí)間為換2把刀的時(shí)間之和，粗車刀的換刀時(shí)間為2tetmr／Tr，精車刀的換刀時(shí)間為2tetms／Ts。其中，te為工件裝卸的時(shí)間，min。因此總的換刀時(shí)間為

所以換刀操作成本為

（4）刀具磨損成本CT。刀具在粗車、精車過程中的加工條件不同，粗精刀具的磨損程度也不同，因此2把粗車刀的磨損成本為2krtmr／Tr，2把精車刀的磨損成本為2kstms／Ts。其中，kr、ks分別為粗車、精車刀刃成本，＄／刀刃。所以刀具磨損成本為

因此最終車削加工的加工成本函數(shù)為

詳細(xì)加工約束條件見文獻(xiàn)［4，12］。本文目標(biāo)是在滿足車削加工約束條件下，最小化加工成本。

2 加工成本理論下限的計(jì)算方法

對稱式雙刀并行車削加工是由多次等進(jìn)刀量的粗車和一次精車組成。不同的粗車次數(shù)將產(chǎn)生不同的加工情況。因此，各種可行加工情況的總數(shù)為

式中，nU、nL分別為粗車次數(shù)的上下限［14］。

求解整個(gè)車削參數(shù)優(yōu)化問題就等效于求解m個(gè)較小的子問題。為了避免窮舉m個(gè)子問題，同時(shí)也為了評價(jià)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，先計(jì)算出每個(gè)子問題的加工成本的理論下限。例如，對于粗車次數(shù)為n0車削子問題，其加工成本理論下限的計(jì)算過程如下所述。

根據(jù)式（9）可得

那么

式中，（vrfr）U、（vsfs）U分別為vrfr、vsfs的上限值。因此，粗車次數(shù)為n0的車削子問題的加工成本的理論下限為

由于式（13）中的參數(shù)均已知，故只需通過約束條件的縮放處理計(jì)算出（vrfr）U和（vsfs）U，就可算出理論下限。通過上述計(jì)算方法，可計(jì)算出不同車削子問題的加工成本理論下限，最小的加工成本理論下限就是整個(gè)優(yōu)化問題的理論下限。

3 算法

針對復(fù)雜的車削參數(shù)優(yōu)化問題，先采用子問題枚舉算法對問題進(jìn)行分解、排序、預(yù)處理，再運(yùn)用蟻群算法對子問題進(jìn)行全局尋優(yōu)求解。由此提出的基于蟻群算法和子問題枚舉算法的混合優(yōu)化算法能更有效地解決切削參數(shù)優(yōu)化問題。

3.1 子問題枚舉算法

為了降低問題的復(fù)雜度，提高算法的效率，采用子問題枚舉算法對問題進(jìn)行分解、排序、預(yù)處理，算法的主要步驟如下：

（1）根據(jù)可能的加工情況數(shù)，把整個(gè)優(yōu)化問題等效分解成m個(gè)子問題。

（2）使用第2節(jié)的加工成本理論下限的計(jì)算方法，計(jì)算出每個(gè)子問題的加工成本理論下限CnL。

（3）按子問題的加工成本的理論下限CnL大小的升序排列所有子問題，依次為第1子問題，第2子問題，…，第m子問題，其相應(yīng)的粗車次數(shù)分別為N1，N2，…，Nm，理論下限分別為第一理論下限C1L，第二理論下限C2L，…，第m理論下限CmL，其中，C1L≤C2L≤ … ≤CmL。

（4）設(shè)定i＝0。

（5）i←i＋1。

（6）利用蟻群算法在第i個(gè)子問題的解空間中尋得優(yōu)化解CiO。

（7）若優(yōu)化解min（C1O，C2O，…，CiO）≤C（i＋1）L或i＝m，轉(zhuǎn)步驟（8）；否則轉(zhuǎn)步驟（5）。

（8）從已經(jīng)得到的優(yōu)化中選出最小解作為最優(yōu)解，算法終止。

子問題枚舉算法通過優(yōu)先求解少數(shù)子問題來解決整個(gè)車削參數(shù)優(yōu)化問題，從而大大縮短了算法的枚舉時(shí)間［14］。舉例說明，某一車削優(yōu)化問題被分解成8個(gè)子問題，每個(gè)子問題的加工成本理論下限均被計(jì)算出來。子問題的加工成本理論下限升序排列后為2.51＄、2.65＄、2.72＄、2.88＄、3.10＄、3.17＄、3.31＄、3.48＄。步驟（6）的蟻群算法在第1子問題（理論下限為2.51＄的子問題）處找到優(yōu)化解C1O（為2.68＄），由于C1O＞C2L（C2L為2.65＄），不滿足步驟（7）的條件，蟻群算法就轉(zhuǎn)到第2子問題處搜索優(yōu)化解，尋得優(yōu)化解為2.71＄，這時(shí) min（2.68＄，2.71＄）＜2.72＄，即 min（C1O，C2O）＜C3L，所 以 min（2.68＄，2.71＄）為整個(gè)優(yōu)化問題的最優(yōu)解，算法終止。其主要原因是：在后續(xù)子問題中找到的優(yōu)化解必大于或等于其相應(yīng)的理論下限，則必大于或等于C3L（為2.72＄），所以剩下的5個(gè)子問題均不必搜索，換句話說，子問題枚舉算法只需處理8個(gè)子問題中的2個(gè)就可解決整個(gè)復(fù)雜車削優(yōu)化問題。

3.2 基于蟻群算法與子問題枚舉算法的混合優(yōu)化算法

蟻群算法（ACO）和子問題枚舉算法（EAS）相結(jié)合的優(yōu)化算法（ACO－EAS）的主要步聚如下：

（1）令i＝0。

（2）令i←i＋1；以第i個(gè)車削子問題為出發(fā)點(diǎn)，開始搜索。

（3）初始化種群，在第i個(gè)車削子問題中進(jìn)行個(gè)體編碼與解碼（目標(biāo)函數(shù)計(jì)算）；設(shè)定迭代數(shù)l＝1。

（4）螞蟻數(shù)nant＝1。

（5）按輪盤概率法為當(dāng)前螞蟻選擇下一個(gè)城市（路徑）。

（6）用局部更新規(guī)則更新信息素，螞蟻數(shù)nant←nant＋1。

（7）判斷螞蟻數(shù)nant是否達(dá)到螞蟻總數(shù)，若沒達(dá)到，轉(zhuǎn)步驟（4）。

（8）用全局更新規(guī)則更新信息素，迭代數(shù)l←l＋1。

（9）判斷算法是否達(dá)到最大迭代數(shù)Gmax，若未達(dá)到，則轉(zhuǎn)步驟（3）。

（10）輸出當(dāng)前子問題的優(yōu)化解UiO；若優(yōu)化解 min（U1O，U2O，…，UiO）≤U（i＋1）L或i＝m，轉(zhuǎn)步驟（11）；否則轉(zhuǎn)步驟（2）。

（11）從已經(jīng)得到的優(yōu)化解中選出最小解作為最優(yōu)解，算法終止。

3.3 解的編碼和解碼

算法采用十進(jìn)制數(shù)串的編碼方式來表示問題的解［17-18］。具體的做法為：對于待優(yōu)化子問題的5個(gè)變量vr、fr、vs、fs、ds，用定義域設(shè)為［0，1］的5個(gè)變量x1、x2、x3、x4、x5與之建立一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。這樣只需優(yōu)化變量x1、x2、x3、x4、x5就可得到優(yōu)化的相應(yīng)加工參數(shù)vr、fr、vs、fs、ds。例如，對變量xi進(jìn)行編碼（要求精確到小數(shù)點(diǎn)后d位），則編碼后的變量xi可用d個(gè)十進(jìn)制數(shù)近似表示，于是構(gòu)造10d＋2個(gè)“城市”。這些“城市”分為d＋2層，首尾兩層各有1個(gè)“城市”（起始“城市”、終止“城市”），均為0（作為分隔層）。中間d層，從左往右分別表示變量的十分位、百分位等［18］。因此，5個(gè)變量就組成5d＋6層“城市”，兩變量之間用0作為輔助層隔開。解用56位十進(jìn)制表示，編碼方式如表1所示。解碼時(shí)，對各變量對應(yīng)的層分別解碼。

表1 解的編碼

在解碼處理中，通過一定的數(shù)學(xué)變換就可以把變量從定義域［0，1］變到原來的定義域。例如50≤vr≤500，那么對于0≤xi≤1，則由公式vr＝450xi＋50可得vr與xi的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系。其余變量fr、vs、fs、ds也做類似處理。

3.4 信息素更新規(guī)則和約束條件處理

蟻群算法中信息素的局部更新規(guī)則和全局更新規(guī)則采用文獻(xiàn)［18］的更新方式。

針對模型中的加工約束條件，在算法中使用罰函數(shù)對違反加工約束條件的個(gè)體進(jìn)行懲罰，以提高不滿足約束的個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值。違反不同的加工約束條件，將施以不同程度的懲罰。

4 模擬實(shí)驗(yàn)

算法用C＋＋實(shí)現(xiàn)，具體參數(shù)設(shè)定：蟻群大小為40，迭代總數(shù)為50，局部信息素更新系數(shù)ρ為0.2，全局信息素更新系數(shù)α為0.2，信息素初始化系數(shù)τ0為0.01。測試算法性能的加工實(shí)例的基本參數(shù)見文獻(xiàn)［4，12］。

算法在 Windows平臺（CPU為P4 2.0GHz、內(nèi)存為1GB）上運(yùn)行20次，運(yùn)算時(shí)間為算法運(yùn)行20次的時(shí)間總和。從表2可知，對于車削總余量不同的4個(gè)加工實(shí)例，算法運(yùn)行穩(wěn)定，所得結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差小，算法運(yùn)算效率高，約12s就可得到優(yōu)化結(jié)果。此外，隨著車削總余量的增加，相應(yīng)的車削工序數(shù)也增加，但算法的運(yùn)算時(shí)間沒有明顯增大。也就是，隨著優(yōu)化問題復(fù)雜度的增加，算法的時(shí)間花銷沒有明顯增大。這有利于算法集成到數(shù)控車床的CAPP系統(tǒng)中。通過與分布估計(jì)算法［16］的結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，在不同加工實(shí)例中，本文算法優(yōu)化后的加工成本平均值都明顯小于分布估計(jì)算法，同時(shí)運(yùn)算效率提高了8倍。

表2 不同算法的結(jié)果對比

最后，將2個(gè)算法所得的最優(yōu)解與加工成本的理論下限進(jìn)行對比，如圖2所示。本文算法在不同加工例子中所得最優(yōu)解均小于分布估計(jì)算法，非常接近理論下限，僅差4.9%，進(jìn)一步優(yōu)化的空間已經(jīng)很小。優(yōu)化的切削參數(shù)見表3。以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，ACO－EAS算法能找到優(yōu)化的切削參數(shù)集，有效地降低加工成本。

圖2 算法最優(yōu)解與加工成本理論下限的對比（算法1為本文算法；算法2為分布估計(jì)算法）

表3 優(yōu)化的切削參數(shù)

5 結(jié)語

為研究雙刀并行車削加工中的切削參數(shù)優(yōu)化問題，建立了雙刀并行車削的參數(shù)優(yōu)化模型，把蟻群算法與子問題枚舉算法相結(jié)合，提出了ACOEAS混合優(yōu)化算法。模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：ACOEAS算法具有較強(qiáng)的搜索能力、較高的運(yùn)算效率，能快速找到優(yōu)化的車削參數(shù)，以降低加工成本。此外，提出了雙刀并行車削的加工成本理論下限的計(jì)算方法，通過該方法算出的理論下限有助于提高算法的性能。

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