潘大勇，陳忠

（長江大學信息與數(shù)學學院，湖北 荊州434023）

《線性代數(shù)》是高等院校普遍開設(shè)的一門重要的必修基礎(chǔ)課，在現(xiàn)代物理、化學、計算機科學、通訊技術(shù)、工商管理、資源勘查、石油工程等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛，發(fā)揮無可替代的重要作用。教學過程中，在傳授基礎(chǔ)知識、基本方法和基本技能的同時，如何著力培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神，是每個教師在教學中都應(yīng)當認真思考的重要課題。

1 在新舊知識的銜接處培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神

在講授知識過程中，要引導學生感受 《線性代數(shù)》中的一些概念和方法是如何產(chǎn)生出來的，感受學科發(fā)展過程中孕育的創(chuàng)新精神和力量。

解線性方程組是 《線性代數(shù)》的一個中心課題，是 《線性代數(shù)》發(fā)展的原動力之一。行列式的概念就是在求解二元一次線性方程組、三元一次線性方程組（方程的個數(shù)和未知數(shù)的個數(shù)相同）所使用的高斯消元法的基礎(chǔ)上引入的。如果只是簡單地告訴學生結(jié)論，而置知識產(chǎn)生的背景和萌生的思想而不顧，學生就難以理解要引入一個新的概念和方法的必要性。因此，讓學生感知創(chuàng)新意識的土壤在哪里是很重要的。如果理解了二階、三階行列式的實質(zhì)，學生自然而然就能理解一般意義的n階行列式了。

探究發(fā)現(xiàn)，克萊姆（Cramer）法則只能解決方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相同的線性方程組的情形，而且對于解不唯一時怎么表示通解等都有很大的局限性，這就會引發(fā)新的思考和探究，如何才能更一般地解決線性方程組的求解問題？引入矩陣及初等變換這個新的工具，學生就能理解這樣做的必要了。借助矩陣的初等變換和矩陣的秩，不僅可以判別一般的線性方程組的解的存在性，而且可以給出解的表達式。對于線性方程組有無窮多解的情形，解與解之間的關(guān)系如何呢？如何表示解之間的關(guān)系呢？換句話說，能否用有限多個解去表示無窮多個解呢？這樣的問題又可引發(fā)出向量組的線性相關(guān)性理論和線性方程組解的結(jié)構(gòu)理論。這樣一種在新舊知識交匯銜接處提出問題，滲透創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)新精神都是大有潛力可以發(fā)掘的。

2 在探究知識的過程中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神

在通常的教材中，《線性代數(shù)》都是演繹結(jié)構(gòu)，每章（節(jié)）大致上是按定義、性質(zhì)、定理或公式、求解等基本環(huán)節(jié)來呈現(xiàn)［1－2］。演繹體系邏輯性強，條理脈絡(luò)清晰，內(nèi)容緊湊精煉，但不可回避的是，學生往往覺得難以理解并有種壓迫感，和書本產(chǎn)生很強的距離感，總會有一個個問題縈繞在心頭：編著者為什么這樣寫呢？這些結(jié)果是怎么想到的呢？如果能夠?qū)?shù)學家在建構(gòu)相關(guān)知識時所作的 “火熱思考”［3］再現(xiàn)出來，學生學到的不僅僅是一些結(jié)果，而且能夠感受數(shù)學家的創(chuàng)新思維過程。

矩陣是 《線性代數(shù)》的核心概念，那么為什么會有這樣一個概念呢？矩陣的本質(zhì)是什么？矩陣其實就是一個數(shù)表，存在于生活的方方面面。上課的課表、成績單（文字本質(zhì)上也可以數(shù)字化）、科研數(shù)據(jù)等各種表格以及照片（黑白照片從數(shù)學角度看其實是一個數(shù)表，每個點都可以用0～255中某個整數(shù)表示其灰度值，彩色照片則是由紅綠藍3種基色復合而成的三維的數(shù)表）等等都可以用矩陣表示。既然用矩陣表示數(shù)表，那么是否可以用矩陣來描述數(shù)表的運動變換呢？如把一張圖片放大2倍，或是把一張圖片逆時針旋轉(zhuǎn)90°，等等，這就涉及到矩陣的運算及其性質(zhì)了。這些內(nèi)容對于第一次接觸的學生而言，好比當年數(shù)學家們首先發(fā)現(xiàn)、探究一樣，是一種全新的挑戰(zhàn)，是一次創(chuàng)新之旅，無論是方法還是思想，無不深深闡發(fā)出創(chuàng)新的精神，這對學生的創(chuàng)新意識的影響是重要和深遠的。學生重走前人的路，并不是簡單的重復，其實也是一次發(fā)現(xiàn)之旅，探索之旅，創(chuàng)新體驗之旅，成長收獲之旅。從這個意義上講，老師的引導和啟迪是十分關(guān)鍵的，如果教師滿堂灌，學生缺少獨立思維活動，其實就是剝奪了學生的創(chuàng)新意識的產(chǎn)生。如果所有結(jié)論總是以完整的形式出現(xiàn)，學生知其然，而不知其所以然，體驗不到探索和發(fā)現(xiàn)的過程，長此以往，不利于學生發(fā)現(xiàn)、探索能力的培養(yǎng)，也不利于學生抽象、歸納、概括能力的培養(yǎng)，更不利于創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)。

3 在應(yīng)用知識解決問題的情境中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維意識

當前，《線性代數(shù)》的教學相對偏重自身的理論體系，強調(diào)基本定義、定理和基本思想，實際應(yīng)用講的較少，應(yīng)用類的課后習題也少得可憐.這導致大部分學生不了解線性代數(shù)對后續(xù)專業(yè)課學習，也在一定程度上影響專業(yè)課的學習質(zhì)量［4］。因此，《線性代數(shù)》的學習，不單是培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，而且還應(yīng)當重視它的廣泛應(yīng)用，在應(yīng)用中鍛煉學生的數(shù)學眼光和數(shù)學思考，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)并提出相應(yīng)的數(shù)學問題（或數(shù)學模型）的意識，應(yīng)用數(shù)學方法去解決問題的能力。教學中要秉承這樣的理念，提升應(yīng)用意識。

以矩陣乘法和線性變換這個知識點為例，在教學中可以結(jié)合具體問題來激發(fā)學生創(chuàng)新思維的 “火熱思考”。如：

還可以設(shè)計更多的類似問題，如旋轉(zhuǎn)變換：

進一步可以推廣到更一般的情形：即利用矩陣Am×n，將n維向量轉(zhuǎn)化為m向量（特別是在二維和三維向量之間進行轉(zhuǎn)換，即平面圖形和空間圖形之間的轉(zhuǎn)換）。

此外，還可以結(jié)合一些數(shù)學軟件（如Matlab）直觀再現(xiàn)上述的各種變換，這些應(yīng)用就把所學的知識變得生動而有趣，這也是 《線性代數(shù)》的魅力所在。

4 結(jié)語

在線性代數(shù)的教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神不是一朝一夕的事情，應(yīng)該有一個比較全面的教學安排，落實到教學的每一個環(huán)節(jié)。在教學內(nèi)容的起始處引導學生感悟新概念、新方法與其萌生的背景之間的關(guān)聯(lián)，感受創(chuàng)新意識的激發(fā)是內(nèi)在和外在需要的共同結(jié)果；在講授環(huán)節(jié)中探究相關(guān)知識的創(chuàng)新歷程，體會創(chuàng)新思維的某些特征和規(guī)律；在應(yīng)用知識的過程中培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識，提高學生解決問題的能力。

［1］同濟大學數(shù)學系.線性代數(shù) ［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［2］李克娥，吳海濤.線性代數(shù) ［M］.武漢：華中科技大學出版社，2013.

［3］張奠宙.微積分教學：從冰冷的美麗到火熱的思考 ［J］.高等數(shù)學研究，2006（2）：4－6.

［4］藍洋.吳香艷.電子信息學科中線性代數(shù)的教學方法探討 ［J］.電子設(shè)計工程，2012（13）：40－42.