吳汝萍
一、概念的引入,源于數(shù)學(xué)化的需要
數(shù)學(xué)的基本概念一般都具有豐富的現(xiàn)實(shí)原型,用數(shù)學(xué)概念來描述與刻畫這些現(xiàn)實(shí)原型,是源于數(shù)學(xué)化的需要,是數(shù)學(xué)發(fā)展的需求,也是人類認(rèn)知的需要。在數(shù)學(xué)概念引入時(shí),如果能將數(shù)學(xué)化的需要與學(xué)生的認(rèn)知需要并軌,學(xué)生認(rèn)知的需要越迫切,自主創(chuàng)造的積極性就越高,教學(xué)的效果也就越好。
例如,人教版五上“確定位置”第一課時(shí),是學(xué)習(xí)用數(shù)對(duì)表示具體情境中物體的位置。教學(xué)時(shí),先出示學(xué)生熟悉的橫成行、豎成列的教室座位場(chǎng)景,讓學(xué)生根據(jù)“橫成行,豎成列”的生活語境明確“列”與“行”的含義。接著設(shè)置一個(gè)找人的問題情境:“李紅坐在第2列、第4行,那李紅是哪一位?”讓學(xué)生從圖中指認(rèn)出李紅所在的位置。因?yàn)闆]有規(guī)定數(shù)的方向,學(xué)生指認(rèn)出4個(gè)不同位置上的人,其中大部分學(xué)生指認(rèn)的是從左往右第2列,從前往后第4行上的同學(xué)。此時(shí)教師引導(dǎo)質(zhì)疑:“李紅只有一位,你們?cè)趺磿?huì)找出4人?”學(xué)生認(rèn)識(shí)到不規(guī)定數(shù)行和列的方向,就難以確定李紅的位置。接著明確指出坐在第2列,第4行座位上的李紅,讓學(xué)生明白,這里的“第2列”是從左往右數(shù)的,“第4行”是從前往后數(shù)的。按“李紅坐在從左往右數(shù)的第2列,從前往后數(shù)的第4行”的形式敘述就不會(huì)有歧義。學(xué)生立即又認(rèn)識(shí)到這樣敘說一個(gè)人的位置,雖然準(zhǔn)確無誤,但顯得太啰嗦,學(xué)生意識(shí)到應(yīng)該有簡單的方式。這時(shí)教師告訴學(xué)生,數(shù)學(xué)家的確創(chuàng)造了一種既準(zhǔn)確又簡潔的方法,這就使學(xué)生產(chǎn)生了學(xué)習(xí)這種新方法的內(nèi)在需求。此時(shí)教師問:“是老師直接把這種方法告訴你們,還是你們當(dāng)一回?cái)?shù)學(xué)家,自己把這種方法創(chuàng)造出來呢?”學(xué)生自然不希望教師直接告知,而是喜歡嘗試創(chuàng)造。
二、概念的形成,經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程
用“數(shù)對(duì)”確定位置,是約定俗成后的“規(guī)定”,它包含了三個(gè)方面的內(nèi)容,一是“數(shù)對(duì)”指兩個(gè)數(shù),即列數(shù)與行數(shù);二是數(shù)對(duì)中前面的數(shù)表示列數(shù),后面的數(shù)表示行數(shù),且確定第幾列規(guī)定從左往右數(shù),確定第幾行規(guī)定從前往后數(shù),它和直角坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的位置,要先寫出橫軸上的數(shù)量,再寫出縱軸上的數(shù)量的次序是一致的;三是用數(shù)對(duì)確定位置有專屬的書寫格式。教學(xué)這樣“規(guī)定”性的數(shù)學(xué)概念,并不是直接告訴學(xué)生,并讓學(xué)生能模仿就萬事大吉了。
其實(shí),好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是一個(gè)被動(dòng)吸收的過程,而是一個(gè)以學(xué)習(xí)者已有的認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)理解、建構(gòu)的過程。數(shù)學(xué)概念從產(chǎn)生到約定俗成都有其內(nèi)在的合理性,教學(xué)過程中,教師需要引導(dǎo)學(xué)生去體會(huì)、去理解其內(nèi)在原因,讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家“創(chuàng)造規(guī)定”的心路歷程,也就是經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程,學(xué)生才能真正理解和掌握相關(guān)數(shù)學(xué)概念。
為探索“規(guī)定”內(nèi)在的合理性,先讓學(xué)生數(shù)出這個(gè)班級(jí)的人數(shù),然后讓學(xué)生回憶數(shù)的過程:(1)你是先橫著數(shù)出一行的人數(shù),還是先豎著數(shù)出一列的人數(shù)?(2)橫著數(shù)一行的人數(shù)時(shí),你是從左往右數(shù)的,還是從右往左數(shù)的?(3)豎著數(shù)一列的人數(shù)時(shí),你是從前往后數(shù)的,還是從后往前數(shù)的?并分別用舉手表決的方法來統(tǒng)計(jì)出各種數(shù)法的人數(shù)。通過三次操作,讓學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到大部分人的觀察習(xí)慣的一致性。再讓學(xué)生對(duì)照情境圖認(rèn)識(shí)到“橫著從左往右數(shù)”數(shù)出的就是列數(shù),“豎著從前往后數(shù)”數(shù)出的就是行數(shù)。
接著,讓學(xué)生猜想:“既然有這樣的習(xí)慣,數(shù)學(xué)家規(guī)定用行列確定位置時(shí),會(huì)做出怎樣的規(guī)定?”學(xué)生自然意識(shí)到數(shù)學(xué)家會(huì)這樣規(guī)定:先列,后行,且數(shù)列數(shù)從左往右,數(shù)行數(shù)從前往后。有了這樣的規(guī)定,李紅的位置用“第2列、第4行”來述說也就不會(huì)產(chǎn)生歧義。這時(shí),再讓學(xué)生回顧最初指認(rèn)李紅位置的情況,雖然大家當(dāng)時(shí)不知道數(shù)學(xué)家的具體規(guī)定,但大部分同學(xué)也正確指認(rèn)出李紅的具體位置,讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)家這樣規(guī)定的合理性。
在此基礎(chǔ)上,向?qū)W生提出更高的數(shù)學(xué)化要求:數(shù)學(xué)的魅力在于符號(hào)化,數(shù)學(xué)符號(hào)不分民族、國籍,全世界通用。你能否像數(shù)學(xué)家一樣,把這兩句話簡化一下,設(shè)計(jì)出一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào),表示的還是第2列、第4行,能讓全世界的人都看得懂?學(xué)生將眾多成果展現(xiàn)在黑板上,最后全班交流,概括得出這些符號(hào)的共性,最終達(dá)成共識(shí),像數(shù)學(xué)家一樣創(chuàng)造出“數(shù)對(duì)”。
用不同方式描述平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的位置,直至用“數(shù)對(duì)”來確定的過程,其實(shí)是一個(gè)符號(hào)化的過程。教學(xué)過程中,教師有意識(shí)地引領(lǐng)學(xué)生有效經(jīng)歷從文辭描述,到習(xí)慣縮寫,再到符號(hào)化的過程,目的就是讓學(xué)生感悟到“數(shù)對(duì)”概念符號(hào)化形成的三個(gè)層次(文辭階段,縮寫階段,符號(hào)階段)。學(xué)生如此經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程,自然能真正理解“數(shù)對(duì)”的內(nèi)涵,不僅知其然,更知其所以然。
三、概念的應(yīng)用,解決數(shù)學(xué)化的問題
概念的教學(xué)必須經(jīng)過由感性的具體發(fā)展到抽象的規(guī)定,再由抽象的規(guī)定發(fā)展到思維中的具體這兩個(gè)階段。所以數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用也是教學(xué)過程中不可或缺的,是鞏固與深化理解數(shù)學(xué)概念的重要環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用,重在解決生活中數(shù)學(xué)化的問題,在分析問題、解決問題的過程中,一方面讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延,拓展認(rèn)識(shí)的深度與廣度,另一方面讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)概念進(jìn)行思考,提高數(shù)學(xué)思維的能力。
本課開始,讓學(xué)生指認(rèn)李紅位置時(shí),學(xué)生指認(rèn)了不同的四個(gè)位置。學(xué)生創(chuàng)造出“數(shù)對(duì)”后,便讓學(xué)生用“數(shù)對(duì)”來表示另三個(gè)位置上的學(xué)生。學(xué)生寫出這三個(gè)數(shù)對(duì)后,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察李紅及其他三個(gè)位置,通過比較,學(xué)生進(jìn)一步理解了“數(shù)對(duì)”的內(nèi)涵,發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律,即同一列中,數(shù)對(duì)中的前一個(gè)數(shù)相同,同一行中,數(shù)對(duì)的后一個(gè)數(shù)相同。得出這樣的規(guī)律后,在沒有情境圖的情況下,讓學(xué)生根據(jù)小軍的位置(4,3),用數(shù)對(duì)表示出小軍前、后、左、右四個(gè)同學(xué)的位置。學(xué)生解決這個(gè)數(shù)學(xué)化的問題,需有理有序進(jìn)行推理,不僅有效磨礪了學(xué)生的思維,更培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念。
接著讓學(xué)生用數(shù)對(duì)表示自己的位置、好朋友的位置。然后,教師寫出數(shù)對(duì)(x,3),指出這個(gè)數(shù)對(duì)上的學(xué)生如能迅速站起來,就能成為今天的幸運(yùn)學(xué)生,得到教師的小禮品。并讓學(xué)生說出類似的數(shù)對(duì),讓更多的學(xué)生成為今天的幸運(yùn)學(xué)生,學(xué)生想到了(3,x)、(x,y)等數(shù)對(duì),讓學(xué)生進(jìn)一步關(guān)注到“數(shù)對(duì)”這一數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延。最后,讓學(xué)生將目光投向生活,找出生活中可以運(yùn)用數(shù)對(duì)(或類似于數(shù)對(duì))確定位置的地方,在學(xué)生的交流過程中,教師適時(shí)出示教材練習(xí)中的相關(guān)圖片及生活中的相關(guān)場(chǎng)景,如體操方陣、電影院里的座位、地球表面經(jīng)緯度等,讓學(xué)生體會(huì)到用數(shù)對(duì)確定位置所帶來的生產(chǎn)生活上的便捷。
引導(dǎo)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣“創(chuàng)造”數(shù)學(xué)概念,實(shí)際上是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的心路歷程,與其說是讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),不如說是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化。在經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程中,概念的形成是在教師的引導(dǎo)下“生發(fā)”的,這種“生發(fā)”是學(xué)生在探索的過程中自己“創(chuàng)造”出來的,而不是教師“強(qiáng)加”的。
(作者單位:江蘇省金湖實(shí)驗(yàn)小學(xué))