劉志強(qiáng)　伏志瑛

數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”的價(jià)值不是常規(guī)的數(shù)學(xué)課所能實(shí)現(xiàn)的，也不是普通的數(shù)學(xué)測(cè)試所能評(píng)價(jià)的。在日常教學(xué)中，由于教師對(duì)數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”的認(rèn)識(shí)不夠，目標(biāo)定位、實(shí)施難度相對(duì)較大，活動(dòng)顯性成效較難呈現(xiàn)與評(píng)價(jià)，因此常常被教師視作雞肋一帶而過(guò)，甚至有教師把“綜合與實(shí)踐”理解成了綜合數(shù)學(xué)練習(xí)。如何有效開(kāi)展“綜合與實(shí)踐”教學(xué)，成為當(dāng)務(wù)之急。在這樣的背景下，我們選擇杯琴為素材進(jìn)行了研究。

仔細(xì)研讀教材并查閱相關(guān)資料可知，杯琴與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系，不僅僅體現(xiàn)在水量不一導(dǎo)致聲音不同這一現(xiàn)象上，杯琴所呈現(xiàn)的，是音律的一種外在形式，它是抽象數(shù)學(xué)的一個(gè)現(xiàn)實(shí)背景。因此，借助于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)及音樂(lè)的知識(shí)背景，利用杯琴素材引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)并提出研究問(wèn)題，通過(guò)實(shí)驗(yàn)、思考、再實(shí)驗(yàn)，用數(shù)學(xué)的方法去研究和感受數(shù)學(xué)與音律的關(guān)系，使學(xué)生在完整經(jīng)歷不斷推進(jìn)的研究活動(dòng)中能獲得一些數(shù)學(xué)研究、思考的方法，成為《美妙的杯琴》教學(xué)的目標(biāo)追求。

如何讓作為研究主體的學(xué)生真正地經(jīng)歷完整的研究過(guò)程？很顯然從現(xiàn)象的引入，問(wèn)題的提出，實(shí)驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)，實(shí)驗(yàn)過(guò)程的調(diào)整，研究問(wèn)題的遞進(jìn)直至初步結(jié)論的得出，這樣一個(gè)循序遞進(jìn)的研究性過(guò)程不是40分鐘所能承載的，首先要打破的就是課時(shí)的限制。由此我們把《美妙的杯琴》的研究過(guò)程進(jìn)行了分段處理，把整個(gè)過(guò)程從課堂40分鐘延伸到課前與課后，精心設(shè)計(jì)，旨在引導(dǎo)學(xué)生真實(shí)、完整地進(jìn)行數(shù)學(xué)研究。

一、調(diào)查閱讀，提出問(wèn)題

我們的研究從學(xué)生熟悉的樂(lè)器開(kāi)始。課前三次遞進(jìn)性的問(wèn)卷和兩個(gè)小實(shí)驗(yàn)讓我們很清楚地看到學(xué)生主動(dòng)參與度的變化，看到研究問(wèn)題的產(chǎn)生、提出與提煉的過(guò)程。

1.亦步亦趨。

問(wèn)卷一：你了解自己樂(lè)器的發(fā)聲原理嗎？音的高低和哪些因素有關(guān)？從反饋看，90%的孩子是通過(guò)百度進(jìn)行簡(jiǎn)單摘抄，10%的孩子憑經(jīng)驗(yàn)寫(xiě)了自己的答案。之后我們組織學(xué)生觀看了視頻《聲音的產(chǎn)生》。問(wèn)卷二：不局限于自己的樂(lè)器，提出自己想要了解的問(wèn)題。44.1%的學(xué)生通過(guò)查閱資料，對(duì)聲音的產(chǎn)生有了進(jìn)一步了解，而且關(guān)注到聲音的傳播介質(zhì)、共振等多方面的知識(shí)；41.2%的學(xué)生動(dòng)手進(jìn)行了嘗試，發(fā)現(xiàn)“不同材質(zhì)的容器裝一樣多的水會(huì)發(fā)出不同的聲音”、“同樣的容器水量不一聲音也不同”。

2.漸入佳境。

問(wèn)卷三：你還想研究什么？孩子幾乎迫不及待地提出，想制作一組杯琴，定出音階來(lái)演奏樂(lè)曲。隨后教師播放了《最強(qiáng)大腦》的片段《聽(tīng)音定水量》，學(xué)生若有所悟，提出確定音階的時(shí)候水量必須十分精確，并設(shè)計(jì)了詳細(xì)的實(shí)驗(yàn)方案。

盡管方案的設(shè)計(jì)耗費(fèi)了不少的課余時(shí)間，但是學(xué)生專(zhuān)注于設(shè)計(jì)本身，根本沒(méi)有計(jì)較時(shí)間問(wèn)題?？梢?jiàn)，學(xué)生不是沒(méi)有提出問(wèn)題的能力，多數(shù)時(shí)候是沒(méi)有這樣的機(jī)會(huì)和時(shí)間。最終學(xué)生們確定了相對(duì)較為合理的方案，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出了結(jié)果。對(duì)于我們來(lái)說(shuō)，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是預(yù)料之中的，而提出問(wèn)題和制訂方案才是更值得重視的活動(dòng)。培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、提高學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力是“綜合與實(shí)踐”著力達(dá)成的目標(biāo)，給學(xué)生一定的時(shí)間和嘗試的機(jī)會(huì)，他們會(huì)獲得相應(yīng)的成功。這種成功的體驗(yàn)，是讓“經(jīng)歷”內(nèi)化為“經(jīng)驗(yàn)”的上佳途徑，一旦學(xué)生具備相當(dāng)?shù)拇祟?lèi)經(jīng)驗(yàn)，即可促進(jìn)其進(jìn)一步的學(xué)習(xí)。

二、實(shí)驗(yàn)調(diào)整，突出“數(shù)學(xué)”

從知道“玻璃杯里水量不同，則音高不同”，到自己制作杯琴演奏，再到研究音律與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，恰似兩個(gè)臺(tái)階，中間有著很大的跨度。也正是這種跨度，讓孩子有了應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)。

片段1：

師：制作杯琴先要“定音階”，先定哪個(gè)音？怎么定？

生：先定do，并且水滿(mǎn)為do。因?yàn)樗缴?，音越高?/p>

師：re怎么定呢？請(qǐng)音樂(lè)老師來(lái)聽(tīng)聽(tīng)空杯是什么音……（空杯是so）

生1：我先假設(shè)re要260毫升水，然后再聽(tīng)音高調(diào)整。

生2：我們是從滿(mǎn)杯開(kāi)始，先減掉一些水，不斷減少，直到調(diào)出re。

生3：我們小組認(rèn)為可以計(jì)算。滿(mǎn)杯為do，空杯子是so，然后……

師：你們知道他們小組是怎么算的嗎？

生4（邊畫(huà)圖邊說(shuō)）：do、re、mi、fa、so之間有三個(gè)全音，一個(gè)半音，如果兩個(gè)全音之間的距離是1份，那么do和so之間的距離就是3.5份?？毡繛?，每一個(gè)全音的水量應(yīng)該是總毫升數(shù)÷3.5，re音只要減少這樣一份的水量。

師：真厲害，由音程之間的關(guān)系想到了水量之間的關(guān)系，借助于線(xiàn)段圖使它們的關(guān)系一目了然，果然是有理有據(jù)。

要讓學(xué)生思維觸及數(shù)學(xué)內(nèi)涵，就需要指向數(shù)學(xué)背景的問(wèn)題。定好do之后，定其他的幾個(gè)音，生3主動(dòng)嘗試從數(shù)學(xué)的角度尋求解決問(wèn)題的方法，利用音程之間的關(guān)系來(lái)確定水量，可以看出面對(duì)實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生已初步具有了將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)，它需要教師進(jìn)一步的引導(dǎo)與呵護(hù)。

片段2：

師：我們已猜出re音的水量。究竟是不是這樣呢？需要實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證。

（學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作。）

師：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和估計(jì)數(shù)據(jù)怎么不一致呢？

生1：我們只是耳朵聽(tīng)，do和re不一定是最準(zhǔn)確的音高。

生2：杯子上面大些，下面小些，會(huì)不會(huì)有影響？

師：那么，實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合音變高而水減少的規(guī)律嗎？

生：是的。

師：面對(duì)猜想，我們要學(xué)會(huì)驗(yàn)證；面對(duì)結(jié)果，我們還要學(xué)會(huì)反思。

師：我們剛才通過(guò)估、驗(yàn)、思的步驟確定了re音。接下來(lái)，猜想mi、fa、so各應(yīng)該是多少毫升呢？能驗(yàn)證嗎？

（學(xué)生按照步驟繼續(xù)試驗(yàn)，調(diào)出后面的音，教師在excel表格中輸入數(shù)據(jù)。）

師：各組的數(shù)據(jù)都在這里了，有辦法清楚地比較這些數(shù)據(jù)嗎？

生：用折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖。

（教師將表格轉(zhuǎn)換為折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖。）

師：你能看出什么？

生1：每個(gè)小組的折線(xiàn)都是依次下降的。

生2：所有的實(shí)驗(yàn)都符合水越多音越低，水越少音越高的規(guī)律。

首先應(yīng)注意到，孩子是愿意通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證猜想的。學(xué)生在活動(dòng)中，既發(fā)現(xiàn)了猜想和結(jié)果之間符合的部分，又能反思差異出現(xiàn)的原因。在分析問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生還綜合了統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，合理地解釋了杯琴的制作原理。教師所要做的仍然是提供一定時(shí)間和空間。此外，教師和學(xué)生沒(méi)有避諱猜想與實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的差異，這就是數(shù)學(xué)求真的一面。同時(shí)我們也可將整個(gè)活動(dòng)看作一種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。數(shù)學(xué)作為一門(mén)科學(xué)，理應(yīng)包含猜想和實(shí)驗(yàn)等實(shí)踐內(nèi)容。但現(xiàn)實(shí)是，學(xué)生獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)意識(shí)并不強(qiáng)，不得不說(shuō)這與以往的數(shù)學(xué)教學(xué)方式有關(guān)。培養(yǎng)學(xué)生以實(shí)驗(yàn)佐證猜想的意識(shí)，需要在整個(gè)數(shù)學(xué)教育的過(guò)程中予以重視。同時(shí)，實(shí)驗(yàn)并不等同于操作，預(yù)先的估計(jì)，實(shí)驗(yàn)后的分析，都應(yīng)當(dāng)是實(shí)驗(yàn)中要關(guān)注的內(nèi)容。

三、文化滲透，拓寬思路

當(dāng)學(xué)生成功地制作出杯琴，并用杯琴演奏出一些簡(jiǎn)單的樂(lè)曲后，研究至此結(jié)束嗎？不，杯琴只是我們研究數(shù)學(xué)和音律關(guān)系的一個(gè)引子，更重要的是通過(guò)杯琴打開(kāi)一扇研究的門(mén)。歷史上有很多關(guān)于數(shù)學(xué)家研究音樂(lè)的小故事，我們把畢達(dá)哥拉斯研究音律的故事在活動(dòng)中介紹給學(xué)生，以此來(lái)引導(dǎo)學(xué)生的后續(xù)思考、研究。

片段3：

師：其實(shí)人們很早就相信，音樂(lè)的背后肯定有數(shù)學(xué)規(guī)律可循，并一直在努力尋找。畢達(dá)哥拉斯是我們所知?dú)v史上最早研究音律的數(shù)學(xué)家，請(qǐng)同學(xué)們一起閱讀《畢達(dá)哥拉斯琴弦律》。

（學(xué)生閱讀材料并討論單弦琴調(diào)音和杯琴的異同以及畢達(dá)哥拉斯的研究方法。）

生1：杯琴是通過(guò)調(diào)節(jié)水量來(lái)調(diào)音的，畢達(dá)哥拉斯是通過(guò)調(diào)節(jié)弦長(zhǎng)短調(diào)音的。

生2：水量多少和琴弦長(zhǎng)短，其實(shí)都是我們常說(shuō)的數(shù)量。

師：真厲害，又看到數(shù)學(xué)了。那么畢達(dá)哥拉斯是如何研究的呢？

生：其實(shí)和我們差不多，先猜測(cè)，再驗(yàn)證。

師：看來(lái)我們研究的方法確實(shí)是有點(diǎn)道理的。再來(lái)看這些樂(lè)器是怎么調(diào)音的？出示：木琴、豎琴、長(zhǎng)笛發(fā)聲原理的介紹。

師：你又有什么感想？

生1：這幾樣樂(lè)器調(diào)音方法好像和杯琴以及琴弦類(lèi)似。

生2：它們應(yīng)該也有數(shù)學(xué)規(guī)律。

就杯琴這一內(nèi)容而言，與數(shù)學(xué)文化的聯(lián)系至少可以體現(xiàn)為兩個(gè)方面：一是音樂(lè)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，二是眾多數(shù)學(xué)家在音律方面付諸的大量研究。合理地使用這些素材，是拓展數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的必要手段。

四、回顧反思，延伸研究

經(jīng)歷活動(dòng)的過(guò)程之后，教師理應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行回顧和反思，這是促使學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)會(huì)理性思考的重要途徑?？v觀整個(gè)研究的過(guò)程，學(xué)生的回顧和反思至少出現(xiàn)了三次，首先在學(xué)生制訂實(shí)驗(yàn)方案后，教師引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)研究問(wèn)題進(jìn)行調(diào)整；其次在學(xué)生通過(guò)“估、驗(yàn)、思”的步驟確定了re音后，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生明確操作方法，展開(kāi)實(shí)驗(yàn)操作；最后在學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)，明確了杯琴的原理并敲出曲子之后。

師：我們終于聽(tīng)到了自己的樂(lè)器發(fā)出美妙的音樂(lè)?，F(xiàn)在，讓我們找一些關(guān)鍵詞，來(lái)回顧這段時(shí)間的研究。

生簡(jiǎn)單討論后給出：?jiǎn)栴}、猜想、分析，驗(yàn)證、規(guī)律……

師（小結(jié)）：我們?cè)诂F(xiàn)象、實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出猜想。通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析，有時(shí)猜想獲到驗(yàn)證，得到了規(guī)律；有時(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與猜想不符，需要分析原因，調(diào)整思路；有時(shí)又會(huì)在實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生新的問(wèn)題，促使我們進(jìn)一步深入研究。

回顧和反思，一方面是完整的活動(dòng)過(guò)程的一部分，另一方面更多地是為了進(jìn)一步理解知識(shí)和方法，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。反思的內(nèi)容，主要是明確“發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，分析和解決問(wèn)題”的策略和方法，以及活動(dòng)過(guò)程中需要改進(jìn)的問(wèn)題、可供借鑒的經(jīng)驗(yàn)等。

回顧整個(gè)活動(dòng)的過(guò)程，始于樂(lè)器和聲音的表象，終于器樂(lè)發(fā)聲和數(shù)學(xué)的原理，并延伸至數(shù)學(xué)音樂(lè)之間的文化紐帶。教師嘗試以綜合的視野組織學(xué)習(xí)，讓學(xué)生真正經(jīng)歷了實(shí)踐活動(dòng)的完整過(guò)程，獲得了實(shí)實(shí)在在的基本研究經(jīng)驗(yàn)和大量的真實(shí)體驗(yàn)。至此《美妙的杯琴》教學(xué)讓我們深切地感受到“真經(jīng)歷”是開(kāi)展數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”的有效手段。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市揚(yáng)名中心小學(xué)，江蘇省無(wú)錫市南長(zhǎng)區(qū)教研室）