夏軍劍++劉俊峰++張新巍

摘 要：重積分的數(shù)值算法比較多見，但針對曲面積分的數(shù)值算法幾乎沒有。本文利用積分中值定理，并結(jié)合三點(diǎn)數(shù)值微分計算公式建立了一種高效的計算曲面表面積的數(shù)值計算公式，并推導(dǎo)給出了復(fù)化計算公式，最后利用matlab軟件舉例進(jìn)行仿真，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，結(jié)果證明本文的方法比傳統(tǒng)的方法具有更高的精度和計算效率，程序結(jié)構(gòu)更簡單，易于編制和調(diào)試，更具實(shí)用性。不足之處就是與傳統(tǒng)算法的精度在數(shù)量級上一致。

關(guān)鍵詞：曲面面積 數(shù)值計算 數(shù)值微分 積分

中圖分類號：O172 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（c）-0238-02

二重積分的數(shù)值計算方法有很多，但是在實(shí)際應(yīng)用中，曲面面積的很重要，而曲面面積計算的數(shù)值方法卻不多，目前還沒有找到一種高效、精確的計算其表面積方法。文獻(xiàn)[1][2]模型的建立是基于多網(wǎng)格化下小區(qū)域內(nèi)曲面積近似等于平面面積，因此計算結(jié)果存在一定誤差，且計算精度不易分析。為了減小誤差，提高精度，我們建立利用積分中值定理和數(shù)值微分公式，建立一個新的計算表面積的數(shù)值計算公式—— “四點(diǎn)”插值算法。

1 單元構(gòu)造和數(shù)值計算公式

已知曲面函數(shù)為，則考慮曲面在矩形區(qū)域內(nèi)的表面積。對區(qū)域進(jìn)行分割，首先考慮如圖1網(wǎng)格單元區(qū)域：

利用積分中值定理[3]

則

若，充分小，則由偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性有：

，

于是

由三點(diǎn)數(shù)值微分公式[4]

，

于是

2 誤差估計

其中

由三點(diǎn)數(shù)值微分公式[4]

，其中

由二階泰勒展開：

，其中

于是

其中

同理

所以

3 復(fù)化公式

計算矩形區(qū)域內(nèi)函數(shù)的表面積，在格網(wǎng)化區(qū)域計算表面積。首先對區(qū)域進(jìn)行劃分，把目標(biāo)區(qū)域劃分成個方格，則有：

，

取如圖2的方格，則在每個方格上應(yīng)用表面積的近似計算公式，只需計算4個信息點(diǎn)。

4 算例分析

例：曲面函數(shù)在矩形區(qū)域內(nèi)的表面積。

其表面積計算的精確值為：

在相同的分割網(wǎng)格下：

“四點(diǎn)”插值算法節(jié)點(diǎn)數(shù)：

三角形法需要的節(jié)點(diǎn)數(shù)：

數(shù)值計算結(jié)果如表1。

5 結(jié)語

通過實(shí)驗(yàn)的matlab仿真，可知基于本文的方法求解曲面面積的算法誤差和傳統(tǒng)的“三角形法”誤差雖然都是，但本文方法的誤差是“三角形法”的，計算時間是“三角形法”的二十分之一。由此可以看出本算法需要信息點(diǎn)少，精度較好，運(yùn)算速度快，具有較大的實(shí)用價值。

參考文獻(xiàn)

[1] 陳吉龍，武偉，劉洪斌.DEM在林地表面積計算中的應(yīng)用研究[J].西南農(nóng)業(yè)學(xué)報，2008，21（5）.

[2] 魏東，張秀程.基于遞歸算法的三維地形面積計算方法研究[J].沈陽：沈陽工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，2007（3）.

[3] 同濟(jì)大學(xué).微積分[M].3版.北京：高等教育出版社，122.

[4] 數(shù)值分析[M].endprint

摘 要：重積分的數(shù)值算法比較多見，但針對曲面積分的數(shù)值算法幾乎沒有。本文利用積分中值定理，并結(jié)合三點(diǎn)數(shù)值微分計算公式建立了一種高效的計算曲面表面積的數(shù)值計算公式，并推導(dǎo)給出了復(fù)化計算公式，最后利用matlab軟件舉例進(jìn)行仿真，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，結(jié)果證明本文的方法比傳統(tǒng)的方法具有更高的精度和計算效率，程序結(jié)構(gòu)更簡單，易于編制和調(diào)試，更具實(shí)用性。不足之處就是與傳統(tǒng)算法的精度在數(shù)量級上一致。

關(guān)鍵詞：曲面面積 數(shù)值計算 數(shù)值微分 積分

中圖分類號：O172 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（c）-0238-02

二重積分的數(shù)值計算方法有很多，但是在實(shí)際應(yīng)用中，曲面面積的很重要，而曲面面積計算的數(shù)值方法卻不多，目前還沒有找到一種高效、精確的計算其表面積方法。文獻(xiàn)[1][2]模型的建立是基于多網(wǎng)格化下小區(qū)域內(nèi)曲面積近似等于平面面積，因此計算結(jié)果存在一定誤差，且計算精度不易分析。為了減小誤差，提高精度，我們建立利用積分中值定理和數(shù)值微分公式，建立一個新的計算表面積的數(shù)值計算公式—— “四點(diǎn)”插值算法。

1 單元構(gòu)造和數(shù)值計算公式

已知曲面函數(shù)為，則考慮曲面在矩形區(qū)域內(nèi)的表面積。對區(qū)域進(jìn)行分割，首先考慮如圖1網(wǎng)格單元區(qū)域：

利用積分中值定理[3]

則

若，充分小，則由偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性有：

，

于是

由三點(diǎn)數(shù)值微分公式[4]

，

于是

2 誤差估計

其中

由三點(diǎn)數(shù)值微分公式[4]

，其中

由二階泰勒展開：

，其中

于是

其中

同理

所以

3 復(fù)化公式

計算矩形區(qū)域內(nèi)函數(shù)的表面積，在格網(wǎng)化區(qū)域計算表面積。首先對區(qū)域進(jìn)行劃分，把目標(biāo)區(qū)域劃分成個方格，則有：

，

取如圖2的方格，則在每個方格上應(yīng)用表面積的近似計算公式，只需計算4個信息點(diǎn)。

4 算例分析

例：曲面函數(shù)在矩形區(qū)域內(nèi)的表面積。

其表面積計算的精確值為：

在相同的分割網(wǎng)格下：

“四點(diǎn)”插值算法節(jié)點(diǎn)數(shù)：

三角形法需要的節(jié)點(diǎn)數(shù)：

數(shù)值計算結(jié)果如表1。

5 結(jié)語

通過實(shí)驗(yàn)的matlab仿真，可知基于本文的方法求解曲面面積的算法誤差和傳統(tǒng)的“三角形法”誤差雖然都是，但本文方法的誤差是“三角形法”的，計算時間是“三角形法”的二十分之一。由此可以看出本算法需要信息點(diǎn)少，精度較好，運(yùn)算速度快，具有較大的實(shí)用價值。

參考文獻(xiàn)

[1] 陳吉龍，武偉，劉洪斌.DEM在林地表面積計算中的應(yīng)用研究[J].西南農(nóng)業(yè)學(xué)報，2008，21（5）.

[2] 魏東，張秀程.基于遞歸算法的三維地形面積計算方法研究[J].沈陽：沈陽工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，2007（3）.

[3] 同濟(jì)大學(xué).微積分[M].3版.北京：高等教育出版社，122.

[4] 數(shù)值分析[M].endprint

摘 要：重積分的數(shù)值算法比較多見，但針對曲面積分的數(shù)值算法幾乎沒有。本文利用積分中值定理，并結(jié)合三點(diǎn)數(shù)值微分計算公式建立了一種高效的計算曲面表面積的數(shù)值計算公式，并推導(dǎo)給出了復(fù)化計算公式，最后利用matlab軟件舉例進(jìn)行仿真，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，結(jié)果證明本文的方法比傳統(tǒng)的方法具有更高的精度和計算效率，程序結(jié)構(gòu)更簡單，易于編制和調(diào)試，更具實(shí)用性。不足之處就是與傳統(tǒng)算法的精度在數(shù)量級上一致。

關(guān)鍵詞：曲面面積 數(shù)值計算 數(shù)值微分 積分

中圖分類號：O172 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（c）-0238-02

二重積分的數(shù)值計算方法有很多，但是在實(shí)際應(yīng)用中，曲面面積的很重要，而曲面面積計算的數(shù)值方法卻不多，目前還沒有找到一種高效、精確的計算其表面積方法。文獻(xiàn)[1][2]模型的建立是基于多網(wǎng)格化下小區(qū)域內(nèi)曲面積近似等于平面面積，因此計算結(jié)果存在一定誤差，且計算精度不易分析。為了減小誤差，提高精度，我們建立利用積分中值定理和數(shù)值微分公式，建立一個新的計算表面積的數(shù)值計算公式—— “四點(diǎn)”插值算法。

1 單元構(gòu)造和數(shù)值計算公式

已知曲面函數(shù)為，則考慮曲面在矩形區(qū)域內(nèi)的表面積。對區(qū)域進(jìn)行分割，首先考慮如圖1網(wǎng)格單元區(qū)域：

利用積分中值定理[3]

則

若，充分小，則由偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性有：

，

于是

由三點(diǎn)數(shù)值微分公式[4]

，

于是

2 誤差估計

其中

由三點(diǎn)數(shù)值微分公式[4]

，其中

由二階泰勒展開：

，其中

于是

其中

同理

所以

3 復(fù)化公式

計算矩形區(qū)域內(nèi)函數(shù)的表面積，在格網(wǎng)化區(qū)域計算表面積。首先對區(qū)域進(jìn)行劃分，把目標(biāo)區(qū)域劃分成個方格，則有：

，

取如圖2的方格，則在每個方格上應(yīng)用表面積的近似計算公式，只需計算4個信息點(diǎn)。

4 算例分析

例：曲面函數(shù)在矩形區(qū)域內(nèi)的表面積。

其表面積計算的精確值為：

在相同的分割網(wǎng)格下：

“四點(diǎn)”插值算法節(jié)點(diǎn)數(shù)：

三角形法需要的節(jié)點(diǎn)數(shù)：

數(shù)值計算結(jié)果如表1。

5 結(jié)語

通過實(shí)驗(yàn)的matlab仿真，可知基于本文的方法求解曲面面積的算法誤差和傳統(tǒng)的“三角形法”誤差雖然都是，但本文方法的誤差是“三角形法”的，計算時間是“三角形法”的二十分之一。由此可以看出本算法需要信息點(diǎn)少，精度較好，運(yùn)算速度快，具有較大的實(shí)用價值。

參考文獻(xiàn)

[1] 陳吉龍，武偉，劉洪斌.DEM在林地表面積計算中的應(yīng)用研究[J].西南農(nóng)業(yè)學(xué)報，2008，21（5）.

[2] 魏東，張秀程.基于遞歸算法的三維地形面積計算方法研究[J].沈陽：沈陽工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，2007（3）.

[3] 同濟(jì)大學(xué).微積分[M].3版.北京：高等教育出版社，122.

[4] 數(shù)值分析[M].endprint