趙馨 石琳 翟麗麗

摘 要：一般的微積分教材均利用三角形和扇形的面積不等式關系證明上述極限，本文利用圓內(nèi)接三角形面積的計算，得到證明極限的一種新方法。

關鍵詞：重要極限 圓內(nèi)接三角形

中圖分類號：O171 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（a）-0238-01

A New Proof of the Limit

Zhao Xin Shi Lin Zhai Lili

（Inner Mongolia University of Science & Technology College of Science and Biological-engineering，Baotou Inner Mongolia 014010，China）

Abstract：In General calculus textbook triangle and fan-shaped area of inequality relations certify that the above limit， using the circle inscribed triangle area calculation，this paper get a new proof of the limits of .

Key Words：Important limit；Circle Inscribed Triangle

1 引言

兩個重要極限是高等數(shù)學極限理論中的經(jīng)典內(nèi)容，而第一個重要極限又是微積分極限理論中非常重要內(nèi)容，其極限的證明，現(xiàn)行教材通常采用在單位圓中利用面積關系構(gòu)造不等式，再用夾逼準則證明得到結(jié)論。用極限理論計算圓或扇形面積都涉及到的結(jié)論的運用，或者是用洛比達法則證明極限要利用導數(shù)公式，而這個公式恰是利用了，因此，這些利用三角形和扇形的面積不等式關系證明極限方法有所不妥；現(xiàn)在我們給出一種新的證明方法。

2 證明

在單位圓內(nèi)用圓心角平均分圓，做出圓的一個內(nèi)接多邊形，并將多邊形的頂點與圓心相連，得到一些等腰三角形.如果為正整數(shù)，就可以得到個內(nèi)接三角形，其中個三角形的圓心角均為；否則記，此時，可以得到個圓內(nèi)接三角形，其中個三角形的圓心角均為，剩下的一個內(nèi)接三角形的圓心角為：

由于當時即為為正整數(shù)的這種情況，我們可以將第一種情況看為第二種情況的一個特例，故只要考慮第二種情況即可.現(xiàn)在來計算圓內(nèi)接所有三角形的面積之和：

對于上式，為有界量，令時有，此時：

且當時，圓內(nèi)接所有三角形的圓心角均趨于零，即，此時由極限的基本思想可以知道，故有：

即

若令，則有：

由于函數(shù)為偶函數(shù)，故有，即：

而一個表達式的極限與自變量的記號無關，可以證明極限：

.

參考文獻

[1] M·克萊因.古今數(shù)學思想[M].上海：上?？茖W技術出版社，1979：135.

[2] 同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（六版）[M].北京：高等教育出版社，2007：74.

[3] 歐新元，李海英.由一個重要極限引發(fā)的問題[J].沈陽師范大學學報：自然科學版，2005，23（1）：27-29.

[4] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，1980：42.

[5] 趙明.關于重要極限的推證及應用[J].張家口職業(yè)技術學院學報，2008，31（3）：23-25.

[6] 紀東剛.數(shù)學分析[M].華東師范大學出版社，2002：84-87.

[7] 龔懷玉，等.數(shù)學分析[M].西安交通大學出版社，2001：48-53.

[8] 王延源.對一個重要極限的注記[J].臨沂師范學院學2001，23（6）：10-11.

[9] 烏云敖日格樂.一個極限公式的四個推廣命題[J].中國科教創(chuàng)刊，2008（24）：77-77.