楊 帆，楊曉光，云美萍

（同濟(jì)大學(xué) 道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201804）

行程時(shí)間是表征路段服務(wù)水平的重要特征之一，城市道路間斷流行程時(shí)間由于受到信號(hào)交叉口延誤等因素的影響，呈現(xiàn)與連續(xù)流行程時(shí)間不同的特征.一般而言，連續(xù)流行程時(shí)間分布呈現(xiàn)單峰、右偏的分布特征，多以對(duì)數(shù)正態(tài)分布或Burr分布作為連續(xù)流的行程時(shí)間擬合分布［1-5］.單峰分布模型已經(jīng)被驗(yàn)證能夠很好地描述高速公路及快速路的行程時(shí)間特征.在城市內(nèi)部道路網(wǎng)中，定義上游交叉口出口道至下游交叉口出口道為典型路段，則路段的行程時(shí)間會(huì)受到道路線型設(shè)計(jì)，以及交叉口延誤等待而呈現(xiàn)出間斷流的特征，主要體現(xiàn)在：在相似的外界交通環(huán)境條件下，路段行程時(shí)間分布方差較大.從宏觀統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度而言，必然有一定概率的出行者由于延誤而以較長(zhǎng)時(shí)間通過(guò)路段，因此，間斷流的行程時(shí)間通常呈現(xiàn)出雙波峰特征.Taylor等［6］進(jìn)一步對(duì)澳大利亞阿德萊德市兩條城市主干道的行程時(shí)間數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得出該行程時(shí)間表征出正偏、長(zhǎng)尾的特征，并存在雙波峰（bimodality）的特性，并在此基礎(chǔ)上用Burr XII型分布來(lái)對(duì)路段形成時(shí)間和路徑行程時(shí)間進(jìn)行了擬合模型研究.同時(shí)，通過(guò)用兩個(gè)單波峰（unimodal）分布的加權(quán)模型來(lái)推導(dǎo)出路段行程時(shí)間的雙波峰分布，取得了不錯(cuò)的擬合效果.其研究成果表明，即使在連續(xù)流狀態(tài)下，行程時(shí)間分布也是有一定概率呈現(xiàn)出雙峰分布的特征.Jintanakul等［7］利用貝葉斯混合模型對(duì)高速公路行程時(shí)間分布進(jìn)行了研究.其假設(shè)行程時(shí)間由兩個(gè)正態(tài)分布的混合分布組成，用“快速部分”和“慢速部分”來(lái)歸類快速行程時(shí)間樣本及慢速行程時(shí)間樣本.Ji等［8］利用美國(guó)CABS（the campus area bus service） 的 公 交 AVL（automatic vehicle location）數(shù)據(jù)，在Jintanakul等人的研究基礎(chǔ)上，利用分層貝葉斯混合模型對(duì)城市路段行程時(shí)間進(jìn)行估計(jì).結(jié)果表明，該模型可以較好地描述路段行程時(shí)間的雙波峰特性.但總體而言，對(duì)于城市間斷流行程時(shí)間特征分布的研究目前還較少.更重要的是，間斷流的行程時(shí)間受到如路段交通狀況、下游交叉口延誤以及高峰平峰等因素的影響，并非一個(gè)固定的雙波峰聯(lián)合分布的情況.因此，本文將以南京市RFID（radio frequency identification）數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，分析城市間斷流路段行程時(shí)間宏觀分布特征，針對(duì)具體的交通流特征選擇合理的聯(lián)合分布模型.本文仍以較為公認(rèn)的正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)行程時(shí)間分布進(jìn)行擬合，用最小二乘法擬合分布參數(shù)，最后對(duì)路段行程時(shí)間特性進(jìn)行定性定量分析.

本文采用最小二乘法對(duì)城市間斷流行程時(shí)間分布進(jìn)行擬合，建立凸規(guī)劃問(wèn)題，利用Frank-Wolfe算法得到路段雙峰行程時(shí)間分布函數(shù)及各參數(shù).在此基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)這些參數(shù)的分析研究對(duì)路段交通狀態(tài)進(jìn)行評(píng)估.

1 間斷流行程時(shí)間概率分布參數(shù)擬合

1.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

RFID數(shù)據(jù)是以無(wú)線射頻技術(shù)為基礎(chǔ)，以射頻標(biāo)簽與路側(cè)接收器的通訊來(lái)獲取車(chē)輛的信息數(shù)據(jù).目前在南京主城區(qū)已經(jīng)有超過(guò)55個(gè)主干道路段布設(shè)有RFID檢測(cè)器，全市有超過(guò)70萬(wàn)輛汽車(chē)安裝有RFID標(biāo)簽（南京市汽車(chē)保有量為117萬(wàn)輛），對(duì)于每個(gè)路段的車(chē)輛采樣率均在80%以上.圖1為RFID設(shè)備布設(shè)的示意圖及RFID行程時(shí)間樣本分布圖.RFID設(shè)備可以采集通過(guò)該斷面的所有裝有RFID標(biāo)簽的車(chē)輛的信息，包括加密后的車(chē)牌信息、通過(guò)該斷面的時(shí)間、車(chē)輛信息等.對(duì)于本研究而言，車(chē)輛連續(xù)通過(guò)上下游兩個(gè)斷面的時(shí)間是主要參數(shù)，通過(guò)該數(shù)據(jù)可以推出該車(chē)輛通過(guò)該路段所花費(fèi)的行程時(shí)間.行程時(shí)間樣本分布也明顯體現(xiàn)出雙波峰特性，并且呈現(xiàn)出不同的雙峰分布形狀.本文對(duì)不同的分布進(jìn)行參數(shù)擬合，以更好地表述每一個(gè)路段的行程時(shí)間分布函數(shù).

圖1 南京RFID數(shù)據(jù)行程時(shí)間概念圖及概率分布圖Fig.1 Figures of interrupted travel time and possibility distributions based on RFID data in Nanjing

根據(jù)行程時(shí)間分布的不同形狀特征，以及雙峰模型的概念，城市間斷流行程時(shí)間的概率分布通式如式（1）所示.

式中：f1（x）為第一概率密度函數(shù)（簡(jiǎn)稱第一子分布）；f2（x）為第二概率密度函數(shù)（簡(jiǎn)稱第二子分布）；f（x）為雙峰分布的概率分布函數(shù)；F1（x）為第一累積分布函數(shù)；F2（x）為第二累積分布函數(shù)；F（x）混合分布的累積分布函數(shù)；λ為權(quán)重系數(shù).

本文將具體地通過(guò)6種情形的分析，對(duì)行程時(shí)間分布參數(shù)進(jìn)行擬合.6種情形分別為：正態(tài)分布（用N表示）、對(duì)數(shù)正態(tài)分布（用LogN表示）、對(duì)數(shù)正態(tài)分布＋對(duì)數(shù)正態(tài)分布（用LogN＿LogN表示）、對(duì)數(shù)正態(tài)分布＋正態(tài)分布（用LogN＿N表示）、正態(tài)分布＋對(duì)數(shù)正態(tài)分布（用N＿LogN表示）和正態(tài)分布＋正態(tài)分布（用N＿N表示）.參數(shù)擬合的目標(biāo)是為了讓擬合后的函數(shù)與實(shí)測(cè)的樣本之間誤差最小，因此以最小二乘法的概念建立各擬合模型.

1.2 單一正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合模型

用正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布對(duì)行程時(shí)間分布進(jìn)行擬合較為簡(jiǎn)單.其模型如式（2）和式（3）所示.

式中：Tmax和Tmin分別表示行程時(shí)間樣本中的最大值和最小值；μ和σ2為概率分布的兩個(gè)參數(shù)，根據(jù)特定分布具有特定的含義；xi為行程時(shí)間樣本；p（xi）為xi所在的行程時(shí)間區(qū)間值在全樣本中所占的比例.

單一正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型是在式（1）中令λ＝0（或λ＝1）而得的特殊情況.區(qū)別在于，在對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型中，為了滿足概率密度函數(shù)為右偏曲線，σ2為0到1之間的數(shù).另外，對(duì)數(shù)正態(tài)分布中的均值μ為行程時(shí)間樣本統(tǒng)一取對(duì)數(shù)以后得到的正態(tài)分布樣本的均值，因此在約束集中需要在上下界處分別取自然對(duì)數(shù)值作為其約束范圍.

1.3 LogN＿N擬合模型

LogN＿N分布的擬合模型如式（4）所示.

式中：γ為權(quán)重系數(shù)；C2為雙峰模型的第二個(gè)波峰值.約束4是由正態(tài)分布的特性所得，如圖2所示.如樣本服從正態(tài)分布，則約68.3%數(shù)值分布在距離平均值有1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的范圍，約95.4%數(shù)值分布在距離平均值有2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的范圍，以及約99.7%數(shù)值分布在距離平均值有3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的范圍.稱為“68-95-99.7法則”或“經(jīng)驗(yàn)法則”.因此，以此約束來(lái)界定方差的范圍.

圖2 正態(tài)分布特性及其在行程時(shí)間分布中的應(yīng)用Fig.2 Normal distribution features and its application to travel time distribution

1.4 LogN＿LogN，N＿LogN以及N＿N模型

類似地，其他3類聯(lián)合分布模型，LogN＿LogN，N＿LogN以及N＿N模型也可以以此方式建模，如式（5）～（7）所示.如圖3所示，C1為雙峰分布的第一個(gè)波峰，C2為雙峰分布的第二個(gè)波峰，p1，p2分別是雙峰分布兩個(gè)模數(shù)處對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)的概率值，M1，M2分別兩個(gè)模數(shù)處對(duì)應(yīng)的累積分布函數(shù)的概率值.可以看出，此6種情形的模型均為凸規(guī)劃問(wèn)題.目標(biāo)函數(shù)為一個(gè)凸函數(shù)，而約束集為線性約束集（需適當(dāng)將變量進(jìn)行調(diào)整，如在式（6）中，需令y1＝lnμ1，則可以將約束轉(zhuǎn)化為線性約束）.因此，可以用凸規(guī)劃求解算法對(duì)其進(jìn)行求解.

圖3 雙峰分布模型及其參數(shù)Fig.3 Bimodal distribution and its parameters

2 模型求解

Frank-Wolfe算法是經(jīng)典的凸規(guī)劃問(wèn)題求解算法，其基本思路是從一個(gè)初始解出發(fā)，尋找目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)下降方向，并沿此最優(yōu)方向?qū)ふ易顑?yōu)步長(zhǎng)，進(jìn)行最優(yōu)解的優(yōu)化，直到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu).Frank-Wolfe算法多用于交通規(guī)劃中的用戶均衡分配問(wèn)題，而本問(wèn)題為普適性的凸規(guī)劃問(wèn)題，因此求解過(guò)程與交通規(guī)劃中的Frank-Wolfe算法略有不同.以LogN＿N模型為例，介紹具體的Frank-Wolfe算法的求解過(guò)程，其他模型求解與其基本相同.

步驟3（尋找最優(yōu)步長(zhǎng)）：建立線性模型如式（10）所示，用單純性法求該模型的最優(yōu)解為y（n）.該步驟與傳統(tǒng)交通規(guī)劃中的步驟不同.在傳統(tǒng)交通規(guī)劃中，在初始流量加載的基礎(chǔ)上，尋求到的最短路徑即為該線性模型的最優(yōu)解.但更廣泛意義上來(lái)說(shuō)，F(xiàn)rank-Wolfe算法需要對(duì)x（n）處進(jìn)行廣義線性規(guī)劃問(wèn)題求解，以得到最優(yōu)解的優(yōu)化方向.

用黃金分割法求最優(yōu)步長(zhǎng)α.求最優(yōu)步長(zhǎng)α使得目標(biāo)函數(shù)Z（x（n）＋αy（n））最大.

步驟4（迭代更新）.如果｜Z（x（n-1）＋αy（n-1））-Z（x（n）＋αy（n））｜＜ε（收斂閾值），則停止迭代，得到最優(yōu)解及最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)；否則更新最優(yōu)解，令x（n）＝x（n）＋αy（n），返回步驟2，重新更新計(jì)算.

3 數(shù)值分析

選取南京市若干個(gè)主要路段進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合分析，結(jié)果見(jiàn)表1，表2.表1為路段基本信息，其中B＿ID是路段上游RFID點(diǎn)位ID，E＿ID為路段下游RFID點(diǎn)位ID.表2為最優(yōu)擬合模型及參數(shù)，其中用SECTION＿ID來(lái)表述某一具體的路段，如“62456243”代表“中山南路南向北（金沙井到府西街）”.圖4是6種組合分布的具體擬合情況.

表1 路段基本信息Tab.1 Section_basic_information

表2 各路段行程時(shí)間最優(yōu)擬合模型及參數(shù)Tab.2 The optimized fitting model and its parameters of each section travel timefitting

圖4 6種不同類型的模型擬合曲線及樣本分布圖Fig.4 Fitting curves and sample distribution of six models

4 結(jié)語(yǔ)

圖5 雙正態(tài)分布及對(duì)應(yīng)的雙峰分布Fig.5 Two normal distributions and bimodal distributions

本文基于對(duì)數(shù)正態(tài)分布和正態(tài)分布，提出了6類不同的行程時(shí)間概率分布的單峰模型和雙峰模型.以南京市RFID數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，對(duì)實(shí)際行程時(shí)間分布進(jìn)行了模型和參數(shù)的擬合，并分析了雙峰模型對(duì)于城市行程時(shí)間描述的內(nèi)涵.從廣義的角度而言，本文提出的是一種理念和方法，并使用了正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布作為具體的分布函數(shù)進(jìn)行擬合，目的是利用這兩種合理并且擬合度較高的分布來(lái)印證本文對(duì)于間斷流行程時(shí)間雙峰分布的假設(shè)和研究，但并不表示所有的路段都可以用這兩種分布來(lái)描述.因此，在后續(xù)研究中，可以利用其他分布，如Burr分布等，尋求其他的組合，以提高擬合的精度.

間斷流雙峰分布特性為間斷流行程時(shí)間可靠性分析提供了新的思路.傳統(tǒng)的可靠性指標(biāo)，如BI（buffer index）等，均是基于連續(xù)流行程時(shí)間樣本獨(dú)立同分布的特性.在間斷流條件下，則需要區(qū)分快速流和慢速流部分的行程時(shí)間樣本，并重新定義符合間斷流行程時(shí)間可靠性的一些指標(biāo)，用以評(píng)估城市間斷流路段通行質(zhì)量.此外，本研究成果也驗(yàn)證了在城市道路路徑選擇、流量分配等環(huán)節(jié)中，不能簡(jiǎn)單地以傳統(tǒng)最短路徑算法來(lái)搜索路徑，而應(yīng)該基于城市間斷流行程時(shí)間概率函數(shù)來(lái)尋找可行路徑集，這將是本文的后續(xù)研究方向之一.

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