喻 斌

（同濟大學(xué) 交通運輸工程學(xué)院，上海 201804）

行人流是交通流的重要組成部分.與汽車流不同，行人流沒有車道的概念.不同于汽車流僅在路口處混合的情形，不同方向的行人流可以任意地混合.因而行人移動呈現(xiàn)出雜亂性和無規(guī)律性的特點，在路徑選擇上也更靈活或者說更智能.通常行人會對周邊較大區(qū)域進行環(huán)境預(yù)評估并選擇一條他認為能在未來一段時間導(dǎo)致最佳移動效果的路徑.例如，在一定行人密度下，行人的跟隨與自己移動方向相同或相近行人的行為就是這種智能的具體表現(xiàn).這些特點導(dǎo)致傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)方法較難有效地分析行人流.

Gipps和Marksjo［1］在1985年提出一微觀行人流模型.他們使用Benefit-Cost的方法決定行人下一步移動的具體方向和距離，采用類似推力（repulsive force）的概念考慮周邊行人的影響，使用序列更新（sequence update）方式處理不同行人具有不同移動速度的情況.Lovas等［2-4］使用排隊網(wǎng)絡(luò)（queuing network）研究了行人流撤離并開發(fā)相應(yīng)的軟件EVACSIM.Hoogendoorn等［5-6］運用微積分提出將行人流比擬為氣體分子運動的中觀模型，并在單向和雙向行人流情況下論證該模型可給出合理的結(jié)果.Helbing等［7-8］提出基于牛頓力學(xué)定律的社會力（social force）模型.此模型將周邊環(huán)境（行人和障礙物）對行人的影響表述為引力和斥力，可以揭示行人流的一些特點，例如行人道自生成（automatic lane formation），近出口處振蕩（oscillation around doors），加熱凝固（freezing by heating）等等.丁青艷等［9］提出改進的社會力模型，并研究了軌道交通中的行人流.

當前最為常用的一類行人流模型是基于元胞自動機理論.元胞自動機模型本質(zhì)上是離散數(shù)學(xué)模型，使用局域規(guī)則（local rules）決定細胞的下一個狀態(tài).因此，與傳統(tǒng)的連續(xù)數(shù)學(xué)模型相比，在計算機上仿真時此類模型具有邏輯簡單明了和運算速度快的優(yōu)點.Nagel和Schreckenberg［10］首先將元胞自動機理論引入汽車流研究，提出NaSch模型.之后，諸多學(xué)者提出了多種基于元胞自動機理論的交通流模型，包括汽車流，行人流等［11-26］.這些模型的主要區(qū)別在于所采用的具體局域規(guī)則.值得指出的是，由于傳統(tǒng)的元胞自動機理論模型是基于局域規(guī)則，因此未必能有效描述周邊環(huán)境對行人的遠距作用或者說行人的智能.關(guān)于這方面，Burstedde等［17］進行了有益的嘗試.借鑒昆蟲學(xué)中的趨化效應(yīng)（chemotaxis effect），他們引入地面場（floor field）動態(tài)地修改行人移動至相鄰位置的轉(zhuǎn)換率.

本文在Helbing和Burstedde等人的研究基礎(chǔ)上直接使用矢量場概念系統(tǒng)地建立行人流理論，將行人的智能轉(zhuǎn)化為由假想的場施加于行人所處位置的場強，可克服之前的行人流模型不能較好描述遠距周邊環(huán)境影響的缺點.

1 行人流的場論框架

為了描述復(fù)雜環(huán)境下的行人移動，采用場論的觀點，即假設(shè)行人是在一個動態(tài)變化的場中移動.在某一時刻行人的下一個移動是由這一時刻該行人的預(yù)期移動和所處位置的行人場強共同決定.現(xiàn)實中行人會遇到各種不同的阻礙和吸引.例如，行人會主動地繞開比如柱子之類的固定障礙物.再者，兩個相向行駛的行人通常視對方為臨時障礙物，會采取或立于原地等對方繞過自己，或主動地改變移動方向以繞行.另外，許多學(xué)者都觀察到在一定的行人流密度下行人具有跟隨與自己移動方向相同或相近的行人的行為，這種行為導(dǎo)致了行人道的自生成.

1.1 行人引力場和行人斥力場

行人的實際移動受多種因素的影響，為了量化這些因素，假設(shè)行人場是一個由多個引力子和斥力子產(chǎn)生的引力場和斥力場疊加而成的混合動態(tài)場.其中，斥力場分為兩種，全向斥力場（圖1）和有向斥力場（圖2）.如無特殊說明，圖中出現(xiàn)的字母R和A將分別代表斥力子與引力子.

全向斥力場場強只受距離影響.全向斥力場主要用于描述固定障礙物的影響，故全向斥力場是靜態(tài)疊加的，不隨時間變化.假設(shè)一全向斥力場中心位于（cx，cy）（圖3），則該場在位置（x，y）的場強由公式（1）給出.

圖1 全向斥力場Fig.1 Omni-directional repulsive field

圖2 有向斥力場Fig.2 Directional repulsive field

圖3 全向斥力場強Fig.3 Omni-directional repulsive field strength

有向斥力場強同時與距離和方向有關(guān)，其大小隨與主方向的偏離增大而減小.特別地，還假設(shè)該場強隨時間而衰弱，衰弱因子定義為.由引力子產(chǎn)生的引力場主要為有向引力場（圖4）.與有向斥力場類似，有向引力場強同時與距離和方向有關(guān)，其大小隨與主方向的偏離增大而減小，同時隨時間而衰弱，衰弱因子定義為.引入有向斥力場和有向引力場主要為描述由于周圍行人移動而產(chǎn)生的具有時效的影響.因此不同于全向斥力場，它們是動態(tài)疊加的.有向斥力場強主要作用于與該行人相向移動的行人，而有向引力場則主要作用于與該行人移動方向相似的行人.假定一行人在時間t從點（x，y）1移動至點（x，y）2，則該移動將產(chǎn)生一中心位于（x，y）1主方向為（x，y）1→（x，y）2的有向引力場和一中心位于（x，y）2主方向為（x，y）1→（x，y）2的有向斥力場（圖5）.除了需要考慮偏離角外，有向場強公式類似于公式（1）.假定一中心位于（cx，cy）主方向為（cx，cy）→（px，py）的有向斥力場（圖6），任意點（x，y）處的場強由公式（2）給出.

圖4 有向引力場Fig.4 Directional attractive fields

圖5 行人移動產(chǎn)生的有向場Fig.5 Directional fields caused by pedestrian move

圖6 有向斥力場強Fig.6 Directional repulsive field strength

圖7 有向引力場強Fig.7 Directional attractive field strength

1.2 行人場對行人移動的作用

引力子和斥力子的數(shù)目以及場強皆隨時間動態(tài)變化.假設(shè)在時刻t，行人p位于位置（x，y），其期望移動方向為f.設(shè)此時共有n個斥力子和m個引力子，它們將在位置（x，y）產(chǎn)生n個斥力場強和m 個引力場強.為了避免錯誤的矢量疊加，進一步假設(shè)斥力場只與斥力場疊加，引力場與引力場疊加.由此，位于（x，y）的場強λ將由兩部分構(gòu)成.

式中：λr為n個斥力場強疊加生成的場強矢量；λa為m 個引力場強λ疊加生成的場強矢量.

則行人p的下一個移動方向Φ可表示為

再次，考慮到位于行人移動方向之后或兩翼的阻礙或吸引對其移動并無明顯影響的事實，可進一步簡化公式（5）.對于行人p，依據(jù)該行人的期望移動方向f將斥力場疊加矢量λr表達為由位于正部的斥力子產(chǎn)生的和位于負部的斥力子產(chǎn)生的的疊加.如將之前n個斥力場強重新排序使得前n′個場強矢量由處于正部的斥力子產(chǎn)生，后n-n′個場強矢量處于負部的斥力子產(chǎn)生，則有公式（6）（圖8）.

圖8 斥力場強正負部分解圖Fig.8 Positive and negative decomposition of repulsive field strength

同理，對于引力場疊加矢量λa進行類似處理，可得公式（7）（圖9）.

圖9 引力場強正負部分解圖Fig.9 Positive and negative decomposition of attractive field strength

據(jù)此，最終將公式（5）表述為

2 行人流現(xiàn)象的仿真演示及分析

為了檢驗該行人流場論架構(gòu)的可行性，編寫了局域規(guī)則使用假想行人場強的元胞自動機計算機程序.特別地，公式（8）采用的是基于概率的數(shù)學(xué)公式.仿真結(jié)果顯示能夠較好地再現(xiàn)諸多實際觀測到的行人流現(xiàn)象，例如行人道的自生成，行人的靠右側(cè)移動，出口處雙向擺動等.

2.1 行人流的出口處雙向擺動

行人流的出口處雙向擺動現(xiàn)象發(fā)生在兩股逆向行駛的行人流試圖通過同一出口抵達對側(cè)時.在一定的行人流密度下，會出現(xiàn)一段時間內(nèi)一個方向的行人占據(jù)該出口并相繼通過.而這將使得該方向的行人施加給在出口另一側(cè)等待通過的另一方向行人的“壓力”逐漸減弱.繼而出現(xiàn)在接下來一段時間內(nèi)，在出口另一側(cè)另一方向的行人將占據(jù)該出口并相繼通過.該現(xiàn)象體現(xiàn)了行人流較典型的集體合作行為和考慮遠距周邊環(huán)境影響的特點.

所使用的仿真場景具有40×30格子（40為行數(shù)，30為列數(shù)）.同時進行了如下假設(shè)：行人的最大速度為1；同時有20個自上而下移動的行人和20個自下而上移動的行人企圖通過位于格子（20，13）和格子（20，15）的門洞.為了保持上行和下行的行人數(shù)恒定，采取了封閉的邊界條件，即上行行人抵達上邊界后自動挪至下邊界重新開始和下行行人抵達下邊界后自動挪至上邊界重新開始.為了方便識別，以實心箭頭表示上行行人，空心箭頭表示下行行人，如圖10所示.記錄下每一個仿真時刻上半?yún)^(qū)的下行行人數(shù)和下半?yún)^(qū)的上行行人數(shù)，并據(jù)此繪出上行和下行行人數(shù)隨時間變化的曲線.圖11顯示了仿真時刻3000至3180的上行和下行行人數(shù)的變化，顯示了非常明顯的擺動現(xiàn)象.

圖10 出口處雙向擺動仿真截圖Fig.10 Simulation screenshot for oscillation around outlet

在時刻3010至3075，上半?yún)^(qū)的下行行人在該出口處占據(jù)了主導(dǎo)地位，陸續(xù)通過該出口，從而導(dǎo)致上半?yún)^(qū)的下行行人數(shù)不斷減少.隨著出口處的下行行人不斷減少，位于出口處下側(cè)的上行行人逐漸占據(jù)主導(dǎo)地位，并最終在時刻3075開始陸續(xù)通過該出口直至時刻3110左右結(jié)束.之后位于出口處的上行和下行行人群將再次處于動態(tài)平衡狀態(tài)，相互推擠直至下一個擺動的到來.需注意的是，時刻3075到3140的上半?yún)^(qū)下行行人數(shù)增加和時刻3110到3170的下半?yún)^(qū)上行行人數(shù)增加只是由于采取封閉的邊界條件的原故.

圖11 上行和下行行人數(shù)時間變化圖Fig.11 Number of upward ＆downward pedestrians vs time

2.2 行人的靠右行駛

在行人密度不大的情形下，我國和一些國家的行人有靠右側(cè)行駛的習慣.這會導(dǎo)致上行和下行行人群較明顯地分為左右兩部分.為了在仿真中再現(xiàn)此現(xiàn)象，適當?shù)靥岣吣Ｐ椭行腥讼蛴覀?cè)擺動的概率.圖12是仿真截圖，非常明顯地顯示了由于行人靠右行駛而產(chǎn)生的人群分離現(xiàn)象.

圖12 行人靠右行駛仿真截圖Fig.12 Simulation screenshot for pedestrians’implicit right side moving

2.3 行人道的自生成

行人另一個經(jīng)常觀測到的現(xiàn)象是行人道的自生成.在一定行駛環(huán)境下，由于相向行人之間的相互推擠和行人的跟隨方向相近行人的特點，使行人流會依據(jù)移動方向自動地形成多條行人道.行人道的自生成是行人智能的具體體現(xiàn)，現(xiàn)有行人流模型較難重現(xiàn)該現(xiàn)象.在已有文獻中，只有 Helbing［7］和Burstedde［17］嘗試在各自的模型中再現(xiàn)行人道的自生成.然而，直觀地比較三者之后，本文的結(jié)果是三者中較貼近實際情況的.圖13為一仿真截圖.

圖13 行人道自生成仿真截圖Fig.13 Simulation screenshot for pedestrians automatic lane formation

3 結(jié)語

本文使用場論建立行人流框架，將行人在路徑選擇中展現(xiàn)的主動智能描述為由假想的行人場施加于行人所處位置的場強，如此便可在行人流模型中定量地考慮行人的智能.結(jié)果顯示，許多行人流現(xiàn)象，如出口處雙向擺動、靠右行駛產(chǎn)生的人群分離、行人道的自生成等，皆可在仿真層面得以重現(xiàn).這也從一個側(cè)面論證了使用場描述行人流的可行性和有效性.

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