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        對(duì)課本一些例題解法的探討

        2014-10-27 04:12:56陜?nèi)?/span>
        文理導(dǎo)航 2014年29期
        關(guān)鍵詞:三項(xiàng)式求根移項(xiàng)

        陜?nèi)?/p>

        浙教版八年級(jí)(下)第二章《一元二次方程》中,如P35例7的解法筆者認(rèn)為值得商榷。

        例7已知4x2+8 (n+1)x+16n是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式,求常數(shù)n的值。

        解:4x2+8(n+1)x+16

        =4[x2+2(n+1)x]+16n

        =4[x2+2(n+1)x+(n+1)2]-4(n+1)2+16n

        已知4x2+8(n+1)x+16是一個(gè)完全平方式,則– 4(n+1)2+16n=0

        化簡(jiǎn),得n2-2n+1=0,

        解得n=n=1

        所以常數(shù)n的值為1

        本題已經(jīng)說明n為常數(shù),代數(shù)式4x2+8(n+1)x+16n是關(guān)于x一個(gè)完全平方式,也就是說它是關(guān)于x的一個(gè)二次三項(xiàng)式,二次項(xiàng)系數(shù)為4,一次項(xiàng)系數(shù)為8(n+1),常數(shù)項(xiàng)為16n,那么,這個(gè)二次三項(xiàng)式可以化為4(a±b)2的形式。而4=22,那么x2+2(n+1)x+4n一定是一個(gè)完全平方式,一個(gè)二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式應(yīng)該滿足:一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方等于常數(shù)項(xiàng),即(n+1)2=4n。

        筆者有以下解法:

        解:4x2+8(n+1)x+16

        =4[x2+2(n+1)x+4n]

        ∵4=22

        ∴x2+2(n+1)x+4n也是一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式

        ∴(n+1)2=4n(一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方等于常數(shù)項(xiàng))

        化簡(jiǎn),得n2-2n+1=0,

        解得n1=n2=1

        又如課本P36對(duì)一元二次方程求根公式是基于配方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行推導(dǎo),在這個(gè)過程中應(yīng)當(dāng)要進(jìn)行兩次討論,具體過程如下:

        對(duì)于ax2+bx+c=0(a≠0),兩邊同除以a,得x2+x+=0移項(xiàng)得x2+x=-;

        方程兩邊同時(shí)加上()2,得x2+x+()2=()2-即(x+)2=

        若b2-4ac≥0,可得x+=±

        ∴x+=±,由于前面有±號(hào),所以不管a取值如何,x+=±,

        ∴x=±,即x=

        很明顯,當(dāng)b=c=0時(shí),x=0;當(dāng)c=0時(shí),x1=0;x2=-;當(dāng)b=0時(shí),且a、c同號(hào)時(shí),此方程無實(shí)數(shù)根,a、c異號(hào)時(shí),此方程的解為x1=-;x2=。

        其實(shí),對(duì)一元二次方程求根公式的推導(dǎo)也可以從完全平方公式入手,比如:

        在ax2+bx+c=0(a≠0)兩邊同乘以4a,得到4a2x2+4abx+4ac=0(a≠0),移項(xiàng),得

        4a2x2+4abx=-4ac,兩邊同時(shí)加上b2,得

        4a2x2+4abx+b2=b2-4ac

        ∴(2ax+b)2=b2-4ac

        以下部分解法同上,這樣的推導(dǎo)對(duì)各項(xiàng)系數(shù)的討論可以減弱。

        實(shí)際上課本中有多處可以商討的地方,這些只是我個(gè)人的看法,有不周之處還望指正。

        (作者單位:浙江寧波七中)

        浙教版八年級(jí)(下)第二章《一元二次方程》中,如P35例7的解法筆者認(rèn)為值得商榷。

        例7已知4x2+8 (n+1)x+16n是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式,求常數(shù)n的值。

        解:4x2+8(n+1)x+16

        =4[x2+2(n+1)x]+16n

        =4[x2+2(n+1)x+(n+1)2]-4(n+1)2+16n

        已知4x2+8(n+1)x+16是一個(gè)完全平方式,則– 4(n+1)2+16n=0

        化簡(jiǎn),得n2-2n+1=0,

        解得n=n=1

        所以常數(shù)n的值為1

        本題已經(jīng)說明n為常數(shù),代數(shù)式4x2+8(n+1)x+16n是關(guān)于x一個(gè)完全平方式,也就是說它是關(guān)于x的一個(gè)二次三項(xiàng)式,二次項(xiàng)系數(shù)為4,一次項(xiàng)系數(shù)為8(n+1),常數(shù)項(xiàng)為16n,那么,這個(gè)二次三項(xiàng)式可以化為4(a±b)2的形式。而4=22,那么x2+2(n+1)x+4n一定是一個(gè)完全平方式,一個(gè)二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式應(yīng)該滿足:一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方等于常數(shù)項(xiàng),即(n+1)2=4n。

        筆者有以下解法:

        解:4x2+8(n+1)x+16

        =4[x2+2(n+1)x+4n]

        ∵4=22

        ∴x2+2(n+1)x+4n也是一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式

        ∴(n+1)2=4n(一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方等于常數(shù)項(xiàng))

        化簡(jiǎn),得n2-2n+1=0,

        解得n1=n2=1

        又如課本P36對(duì)一元二次方程求根公式是基于配方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行推導(dǎo),在這個(gè)過程中應(yīng)當(dāng)要進(jìn)行兩次討論,具體過程如下:

        對(duì)于ax2+bx+c=0(a≠0),兩邊同除以a,得x2+x+=0移項(xiàng)得x2+x=-;

        方程兩邊同時(shí)加上()2,得x2+x+()2=()2-即(x+)2=

        若b2-4ac≥0,可得x+=±

        ∴x+=±,由于前面有±號(hào),所以不管a取值如何,x+=±,

        ∴x=±,即x=

        很明顯,當(dāng)b=c=0時(shí),x=0;當(dāng)c=0時(shí),x1=0;x2=-;當(dāng)b=0時(shí),且a、c同號(hào)時(shí),此方程無實(shí)數(shù)根,a、c異號(hào)時(shí),此方程的解為x1=-;x2=。

        其實(shí),對(duì)一元二次方程求根公式的推導(dǎo)也可以從完全平方公式入手,比如:

        在ax2+bx+c=0(a≠0)兩邊同乘以4a,得到4a2x2+4abx+4ac=0(a≠0),移項(xiàng),得

        4a2x2+4abx=-4ac,兩邊同時(shí)加上b2,得

        4a2x2+4abx+b2=b2-4ac

        ∴(2ax+b)2=b2-4ac

        以下部分解法同上,這樣的推導(dǎo)對(duì)各項(xiàng)系數(shù)的討論可以減弱。

        實(shí)際上課本中有多處可以商討的地方,這些只是我個(gè)人的看法,有不周之處還望指正。

        (作者單位:浙江寧波七中)

        浙教版八年級(jí)(下)第二章《一元二次方程》中,如P35例7的解法筆者認(rèn)為值得商榷。

        例7已知4x2+8 (n+1)x+16n是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式,求常數(shù)n的值。

        解:4x2+8(n+1)x+16

        =4[x2+2(n+1)x]+16n

        =4[x2+2(n+1)x+(n+1)2]-4(n+1)2+16n

        已知4x2+8(n+1)x+16是一個(gè)完全平方式,則– 4(n+1)2+16n=0

        化簡(jiǎn),得n2-2n+1=0,

        解得n=n=1

        所以常數(shù)n的值為1

        本題已經(jīng)說明n為常數(shù),代數(shù)式4x2+8(n+1)x+16n是關(guān)于x一個(gè)完全平方式,也就是說它是關(guān)于x的一個(gè)二次三項(xiàng)式,二次項(xiàng)系數(shù)為4,一次項(xiàng)系數(shù)為8(n+1),常數(shù)項(xiàng)為16n,那么,這個(gè)二次三項(xiàng)式可以化為4(a±b)2的形式。而4=22,那么x2+2(n+1)x+4n一定是一個(gè)完全平方式,一個(gè)二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式應(yīng)該滿足:一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方等于常數(shù)項(xiàng),即(n+1)2=4n。

        筆者有以下解法:

        解:4x2+8(n+1)x+16

        =4[x2+2(n+1)x+4n]

        ∵4=22

        ∴x2+2(n+1)x+4n也是一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式

        ∴(n+1)2=4n(一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方等于常數(shù)項(xiàng))

        化簡(jiǎn),得n2-2n+1=0,

        解得n1=n2=1

        又如課本P36對(duì)一元二次方程求根公式是基于配方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行推導(dǎo),在這個(gè)過程中應(yīng)當(dāng)要進(jìn)行兩次討論,具體過程如下:

        對(duì)于ax2+bx+c=0(a≠0),兩邊同除以a,得x2+x+=0移項(xiàng)得x2+x=-;

        方程兩邊同時(shí)加上()2,得x2+x+()2=()2-即(x+)2=

        若b2-4ac≥0,可得x+=±

        ∴x+=±,由于前面有±號(hào),所以不管a取值如何,x+=±,

        ∴x=±,即x=

        很明顯,當(dāng)b=c=0時(shí),x=0;當(dāng)c=0時(shí),x1=0;x2=-;當(dāng)b=0時(shí),且a、c同號(hào)時(shí),此方程無實(shí)數(shù)根,a、c異號(hào)時(shí),此方程的解為x1=-;x2=。

        其實(shí),對(duì)一元二次方程求根公式的推導(dǎo)也可以從完全平方公式入手,比如:

        在ax2+bx+c=0(a≠0)兩邊同乘以4a,得到4a2x2+4abx+4ac=0(a≠0),移項(xiàng),得

        4a2x2+4abx=-4ac,兩邊同時(shí)加上b2,得

        4a2x2+4abx+b2=b2-4ac

        ∴(2ax+b)2=b2-4ac

        以下部分解法同上,這樣的推導(dǎo)對(duì)各項(xiàng)系數(shù)的討論可以減弱。

        實(shí)際上課本中有多處可以商討的地方,這些只是我個(gè)人的看法,有不周之處還望指正。

        (作者單位:浙江寧波七中)

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