程俊芳 楚彥軍

【摘要】 高等數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計(jì)都是高等院校的重要基礎(chǔ)課程， 這兩門課的學(xué)習(xí)效果直接影響著理、工、經(jīng)、管等各專業(yè)后續(xù)課程的學(xué)習(xí).而概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)過程中， 又要頻繁地用到高等數(shù)學(xué)的知識(shí).本文結(jié)合自己多年的教學(xué)實(shí)踐， 通過認(rèn)真的理論思考，就隨機(jī)變量及概率密度方面系統(tǒng)闡述了概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過程中， 如何使學(xué)生能有效地結(jié)合所學(xué)的高等數(shù)學(xué)知識(shí).

【關(guān)鍵詞】概率統(tǒng)計(jì); 隨機(jī)變量; 概率密度函數(shù); 分布函數(shù)

高等數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計(jì)都是高等院校理、工、經(jīng)、管各專業(yè)重要的基礎(chǔ)課程，由于在概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)過程中要頻繁地用到高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)， 因此在我國目前幾門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程的開設(shè)中， 大部分院校都是習(xí)慣于本科第一學(xué)年學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)， 第一學(xué)年下學(xué)期或是第二學(xué)年上學(xué)期學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)課程.我之前長(zhǎng)期從事經(jīng)管類學(xué)生的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)工作， 發(fā)現(xiàn)經(jīng)管類學(xué)生中一部分學(xué)生因?yàn)楦咧须A段學(xué)的文科， 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般， 更有一些同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)有著天生的恐懼， 再加上高等數(shù)學(xué)底子相對(duì)薄弱， 在學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)過程中遇到了很大的障礙.近兩年， 我開始從事高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)工作， 更深切感受到學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)， 以及如何把高等數(shù)學(xué)中學(xué)到的知識(shí)靈活運(yùn)用到概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)當(dāng)中， 成為學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)必須要解決的問題.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思維方式及解題套路和高等數(shù)學(xué)是不盡相同的， 但實(shí)際本質(zhì)又是相同的.本文主要想探討一下在概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過程中， 如何講解能使學(xué)生把高等數(shù)學(xué)中所學(xué)內(nèi)容靈活運(yùn)用到概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)中.一維和多維連續(xù)型隨機(jī)變量的研究是概率統(tǒng)計(jì)中非常重要的內(nèi)容， 也是需要用到高等數(shù)學(xué)知識(shí)最多的地方.下面分別介紹一維和多維隨機(jī)變量如何有效地和高等數(shù)學(xué)相結(jié)合.

一、 一維連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度

在概率統(tǒng)計(jì)的各類教材中， 第一章一般都是古典概率， 這對(duì)高中階段學(xué)習(xí)過排列組合的同學(xué)容易理解和掌握.而從第二章開始學(xué)習(xí)一維隨機(jī)變量， 一維離散型隨機(jī)變量還是比較容易掌握的， 從開始學(xué)習(xí)一維連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度開始， 同學(xué)們遇到了概率統(tǒng)計(jì)的第一個(gè)障礙.對(duì)一維隨機(jī)變量的研究，一般會(huì)給出隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，從而研究隨機(jī)變量的其他性質(zhì)，我們很容易遇到如下一類題型：

例 已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=Ax，0

0，其他，求：

（1）未知常數(shù)A;（2）X的分布函數(shù)F（x）.

這種題型是概率統(tǒng)計(jì)中最基本的一種題型，同學(xué)們?cè)诟怕收撝幸埠苋菀讓W(xué)到做這種題分別要用到概率統(tǒng)計(jì)中兩個(gè)常用的公式：

（1）∫+∞-∞f（x）dx=1;

（2）F（x）=PX≤x=∫x-∞f（x）dx.

這類題目本身利用這兩個(gè)公式，然后運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中定積分的知識(shí)即可得到解決，但是，主要的問題在于高等數(shù)學(xué)中的定積分一般會(huì)直接求∫baf（x）dx，求這個(gè)定積分只需要直接運(yùn)用牛頓—萊布尼茨公式：

∫baf（x）dx=F（x）ba=F（b）-F（a），

其中F（x）為f（x）的一個(gè)原函數(shù).然而在此類題中， 積分的積分區(qū)間似乎都不是確定的區(qū)間[a，b].如何正確地在這類題中用牛頓—萊布尼茨公式對(duì)初學(xué)的同學(xué)們來說就不是那么容易了.如何讓學(xué)生靈活應(yīng)用呢？下面分別進(jìn)行解釋.

（1）求常數(shù)A

根據(jù)公式∫+∞-∞f（x）dx=1 求密度函數(shù)中的未知常數(shù)，主要是需要讓同學(xué)們理解， 雖然密度函數(shù)性質(zhì)是在整個(gè)數(shù)軸（-∞，+∞）上積分一定為1，但是我們所見到的概率密度函數(shù)很多情況下都是分段函數(shù)，所以此時(shí)主要得讓學(xué)生理解，要把密度函數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上的積分根據(jù)定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性， 轉(zhuǎn)化為密度函數(shù)在非零區(qū)間上的積分就可以了.如上述例子中先讓學(xué)生明白

∫∞-∞f（x）dx=∫0-∞f（x）dx+∫10f（x）dx+∫+∞1f（x）dx，

而此題目中所給f（x）僅在區(qū)間（0，1）不是零，因此整個(gè)數(shù)軸上定積分

∫∞-∞f（x）dx=∫0-∞f（x）dx+∫10f（x）dx+∫+∞1f（x）dx=∫10Axdx，

這樣化成定積分后，學(xué)生很容易就能求出未知常數(shù)A=2.

（2）求X的分布函數(shù)F（x）

根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)f（x）求分布函數(shù)F（x）， 是一個(gè)重點(diǎn)，對(duì)同學(xué)們來講也是難點(diǎn).在這里， 最需要讓學(xué)生理解的問題仍然是關(guān)于積分區(qū)間的問題.由于F（x）=∫x-∞f（x）dx， 這個(gè)積分非常特殊，下限為-∞，上限為x， 正是積分區(qū)間給學(xué)生在計(jì)算分布函數(shù)F（x）時(shí)造成了很大的困擾.這里，我一般會(huì)把X的概率密度函數(shù)f（x）在數(shù)軸上先示意出來，由于f（x）在三個(gè)區(qū)間（-∞，0]，（0，1），[1，+∞）分成了三種情況，因此應(yīng)該討論積分上限x分別落在三個(gè)區(qū)間的情況.

當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，由于f（x）≡0，則F（x）=∫x-∞f（x）dx=0;

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，此時(shí)要強(qiáng)調(diào)積分區(qū)間仍然為（-∞，x]，由于f（x）僅在區(qū)間（0，1）不為零，因此必須讓學(xué)生理解（-∞，x]=（-∞，0）∪[0，x]，根據(jù)積分區(qū)間的可加性得

F（x）=∫x-∞f（x）dx=∫0-∞f（x）dx+∫x0f（x）dx=0+∫x02xdx=x2;

當(dāng)x∈[1，+∞），（-∞，x]=（-∞，0）∪[0，1]∪（1，+∞），同樣由積分區(qū)間的可加性得

F（x）=∫x-∞f（x）dx=∫0-∞f（x）dx+∫10f（x）dx+∫x1f（x）dx=0+∫102xdx+0=1.

總之，在講解此類題中，主要是讓學(xué)生明白幾點(diǎn)，首先是F（x）=∫x-∞f（x）dx，不論上限x取什么值，但積分區(qū)間始終是（-∞，x]，但在真正計(jì)算的過程中，要根據(jù)被積函數(shù)即概率密度函數(shù)f（x）在不同子區(qū)間的表達(dá)式不同，把區(qū)間（-∞，x]根據(jù)x的取值范圍，分成不同的子區(qū)間進(jìn)行計(jì)算.學(xué)生只要理解此處，那么不管密度函數(shù)f（x）如何變形，分成幾段，求分布函數(shù)F（x）的問題均都迎刃而解.

二、 多維隨機(jī)變量

在多維隨機(jī)變量的教學(xué)過程中，不免要用到二重積分的知識(shí)，如何確定積分區(qū)域，仍然是學(xué)生很難掌握的一個(gè)知識(shí)點(diǎn).比如，對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y），如果已知其聯(lián)合概率密度f（x，y）=φ（x，y），（X，Y）∈D，

0，其他， 其中φ（x，y）≠0， 若求概率P（X，Y）∈G，需要運(yùn)用公式P（X，Y）∈G=Gf（x，y）dxdy.

對(duì)于這個(gè)概率的計(jì)算，學(xué)生很容易錯(cuò)誤寫成

P（X，Y）∈G=Gf（x，y）dxdy=Gφ（x，y）dxdy.

這時(shí)候直接計(jì)算φ（x，y）在區(qū)域G上的二重積分就不對(duì)了，正確的做法應(yīng)該是

P（X，Y）∈G=Gf（x，y）dxdy=G∩Dφ（x，y）dxdy，

然后計(jì)算φ（x，y）在區(qū)域G∩D上的二重積分就可以了，在歷年的教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生很難理解題目本身是計(jì)算隨機(jī)變量（X，Y）落在區(qū)域G上的概率，而最后是在區(qū)域G∩D上計(jì)算二重積分.根據(jù)個(gè)人的課堂實(shí)踐，要讓學(xué)生明白這個(gè)問題，可以先從一維隨機(jī)變量說起，比如我們前面那個(gè)例子，已知X的概率密度函數(shù)f（x）=2x，0

0，其他， 若計(jì)算概率P-0.5≤X≤0.5，由于當(dāng)x∈（-0.5，0）時(shí)， 密度函數(shù)f（x）=0，因此P-0.5≤X≤0.5=∫0-0.50dx+∫0.502xdx=0.25.

如果理解了一維隨機(jī)變量計(jì)算概率，對(duì)于現(xiàn)在的二維隨機(jī)變量

P（X，Y）∈G=Gf（x，y）dxdy=G∩Dφ（x，y）dxdy+G＼D0dxdy=G∩Dφ（x，y）dxdy

也就不難理解了.

當(dāng)然， 除了上述所提到的地方， 概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過程中還有很多地方需要注重和高等數(shù)學(xué)的有效結(jié)合， 本文僅僅是希望在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中可以事先給學(xué)生介紹概率統(tǒng)計(jì)中可能要用到的知識(shí)， 在概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過程中，也不能想當(dāng)然地認(rèn)為學(xué)生學(xué)過高等數(shù)學(xué)了，那么用到高等數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候， 學(xué)生一定理解.在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中如何講解能讓學(xué)生靈活地運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，是本文的主要目的， 也是在今后教學(xué)過程中我們需要研究的一個(gè)課題.

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