摘 要：對于積分中值定理，在教材中提到的用法大多是去掉積分符號，把復雜的問題簡單化，在解決積分不等式、含積分的極限等問題中，往往應用積分中值定理的這些作用，使得問題得到更容易的解決。

關鍵詞：積分中值定理 應用

一、積分中值定理

定理：若函數(shù)f（x）在[a，b]上是連續(xù)的。那么至少存在一點 ，使得

成立。

推論：如果 上連續(xù)，并且g（x）在[a，b]上不變號，那么至少存在一點 使得 成立。[1]

二、積分中值定理的幾個簡單應用

積分中值定理在定積分的計算應用中具有重要的作用，下面我們給出幾個具體的常見的例子，通過實際應用來加深對積分中值定理的理解。

1.中值定理應用于定積分不等式的證明和積分估計

（1）證明不等式 .

證：由積分中值定理

又因為

可得

.

（2）估計 的積分

解：設 ，那么f（x）在區(qū)間[0，1]上連續(xù)可導，且有

所以 ，又 ，則 ，

所以

而 ，所以

2.中值定理應用于含有定積分的極限的計算

（3）計算 其中 連續(xù).

解：因為 連續(xù)，則由積分中值定理，可以得出

所以

3.積分中值定理在等式證明中的應用

（4）證明：如果f（x）在[a，b]上連續(xù)，g是連續(xù)可微的單調函數(shù)，那么存在 ，有

證：令 ，那么有

由已知g（x）是單調函數(shù)，所以g`（x）不變號，根據(jù)積分中值定理，存在

，使得

三、結論：

積分中值定理是積分學說中的一個重要結論，在數(shù)學學習中起到承前啟后作用的重要樞紐。對于定積分的計算，證明等都有著不可忽視的作用，文中所舉的例子并不算多，對比現(xiàn)在的研究來說是比較少的，并且在討論時所給定的條件也相對單一。但是也給出了當今積分中值定理的大概研究方向。

參考文獻

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析/上冊[M].高等教育出版社.1981.4（2007再版）

[2]劉寧. 強化積分中值定理結論，使其更具應用性.金華職業(yè)技術學院學報[J].2004.6

[3]Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis[M].Mc Graw Hill Education.

[4]龍愛芳，積分中值定理積分點研究的一個新結果[J].數(shù)學的實踐與認知.2011.10

[5]戴嘉尊.數(shù)學物理方程.東南大學出版社[M].2002.2（2008再版）

[6]衡美芹.關于積分中值定理的進一步探討[J]. 牡丹江教育學院學報，2011，02.

[7]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析/下冊[M].高等教育出版社.1981.4（2007再版）

[8]季孝達，薛興恒，陸英.數(shù)學物理方程[M].科學出版社.2005.7

[9]周燕. 積分中值定理的推廣與應用[J]. 林區(qū)教學，2008，10.

作者簡介：

朱碧 。 男，碩士，講師，河南工業(yè)大學理學院endprint

摘 要：對于積分中值定理，在教材中提到的用法大多是去掉積分符號，把復雜的問題簡單化，在解決積分不等式、含積分的極限等問題中，往往應用積分中值定理的這些作用，使得問題得到更容易的解決。

關鍵詞：積分中值定理 應用

一、積分中值定理

定理：若函數(shù)f（x）在[a，b]上是連續(xù)的。那么至少存在一點 ，使得

成立。

推論：如果 上連續(xù)，并且g（x）在[a，b]上不變號，那么至少存在一點 使得 成立。[1]

二、積分中值定理的幾個簡單應用

積分中值定理在定積分的計算應用中具有重要的作用，下面我們給出幾個具體的常見的例子，通過實際應用來加深對積分中值定理的理解。

1.中值定理應用于定積分不等式的證明和積分估計

（1）證明不等式 .

證：由積分中值定理

又因為

可得

.

（2）估計 的積分

解：設 ，那么f（x）在區(qū)間[0，1]上連續(xù)可導，且有

所以 ，又 ，則 ，

所以

而 ，所以

2.中值定理應用于含有定積分的極限的計算

（3）計算 其中 連續(xù).

解：因為 連續(xù)，則由積分中值定理，可以得出

所以

3.積分中值定理在等式證明中的應用

（4）證明：如果f（x）在[a，b]上連續(xù)，g是連續(xù)可微的單調函數(shù)，那么存在 ，有

證：令 ，那么有

由已知g（x）是單調函數(shù)，所以g`（x）不變號，根據(jù)積分中值定理，存在

，使得

三、結論：

積分中值定理是積分學說中的一個重要結論，在數(shù)學學習中起到承前啟后作用的重要樞紐。對于定積分的計算，證明等都有著不可忽視的作用，文中所舉的例子并不算多，對比現(xiàn)在的研究來說是比較少的，并且在討論時所給定的條件也相對單一。但是也給出了當今積分中值定理的大概研究方向。

參考文獻

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析/上冊[M].高等教育出版社.1981.4（2007再版）

[2]劉寧. 強化積分中值定理結論，使其更具應用性.金華職業(yè)技術學院學報[J].2004.6

[3]Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis[M].Mc Graw Hill Education.

[4]龍愛芳，積分中值定理積分點研究的一個新結果[J].數(shù)學的實踐與認知.2011.10

[5]戴嘉尊.數(shù)學物理方程.東南大學出版社[M].2002.2（2008再版）

[6]衡美芹.關于積分中值定理的進一步探討[J]. 牡丹江教育學院學報，2011，02.

[7]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析/下冊[M].高等教育出版社.1981.4（2007再版）

[8]季孝達，薛興恒，陸英.數(shù)學物理方程[M].科學出版社.2005.7

[9]周燕. 積分中值定理的推廣與應用[J]. 林區(qū)教學，2008，10.

作者簡介：

朱碧 。 男，碩士，講師，河南工業(yè)大學理學院endprint

摘 要：對于積分中值定理，在教材中提到的用法大多是去掉積分符號，把復雜的問題簡單化，在解決積分不等式、含積分的極限等問題中，往往應用積分中值定理的這些作用，使得問題得到更容易的解決。

關鍵詞：積分中值定理 應用

一、積分中值定理

定理：若函數(shù)f（x）在[a，b]上是連續(xù)的。那么至少存在一點 ，使得

成立。

推論：如果 上連續(xù)，并且g（x）在[a，b]上不變號，那么至少存在一點 使得 成立。[1]

二、積分中值定理的幾個簡單應用

積分中值定理在定積分的計算應用中具有重要的作用，下面我們給出幾個具體的常見的例子，通過實際應用來加深對積分中值定理的理解。

1.中值定理應用于定積分不等式的證明和積分估計

（1）證明不等式 .

證：由積分中值定理

又因為

可得

.

（2）估計 的積分

解：設 ，那么f（x）在區(qū)間[0，1]上連續(xù)可導，且有

所以 ，又 ，則 ，

所以

而 ，所以

2.中值定理應用于含有定積分的極限的計算

（3）計算 其中 連續(xù).

解：因為 連續(xù)，則由積分中值定理，可以得出

所以

3.積分中值定理在等式證明中的應用

（4）證明：如果f（x）在[a，b]上連續(xù)，g是連續(xù)可微的單調函數(shù)，那么存在 ，有

證：令 ，那么有

由已知g（x）是單調函數(shù)，所以g`（x）不變號，根據(jù)積分中值定理，存在

，使得

三、結論：

積分中值定理是積分學說中的一個重要結論，在數(shù)學學習中起到承前啟后作用的重要樞紐。對于定積分的計算，證明等都有著不可忽視的作用，文中所舉的例子并不算多，對比現(xiàn)在的研究來說是比較少的，并且在討論時所給定的條件也相對單一。但是也給出了當今積分中值定理的大概研究方向。

參考文獻

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析/上冊[M].高等教育出版社.1981.4（2007再版）

[2]劉寧. 強化積分中值定理結論，使其更具應用性.金華職業(yè)技術學院學報[J].2004.6

[3]Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis[M].Mc Graw Hill Education.

[4]龍愛芳，積分中值定理積分點研究的一個新結果[J].數(shù)學的實踐與認知.2011.10

[5]戴嘉尊.數(shù)學物理方程.東南大學出版社[M].2002.2（2008再版）

[6]衡美芹.關于積分中值定理的進一步探討[J]. 牡丹江教育學院學報，2011，02.

[7]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析/下冊[M].高等教育出版社.1981.4（2007再版）

[8]季孝達，薛興恒，陸英.數(shù)學物理方程[M].科學出版社.2005.7

[9]周燕. 積分中值定理的推廣與應用[J]. 林區(qū)教學，2008，10.

作者簡介：

朱碧 。 男，碩士，講師，河南工業(yè)大學理學院endprint