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        構(gòu)造法在離散數(shù)學(xué)及數(shù)值分析解題中的應(yīng)用

        2014-10-17 20:32:17王雪明宋娜
        企業(yè)導(dǎo)報(bào) 2014年13期
        關(guān)鍵詞:構(gòu)造法交叉學(xué)科應(yīng)用

        王雪明 宋娜

        摘 要:所謂構(gòu)造法,其實(shí)質(zhì)就是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想,經(jīng)過(guò)認(rèn)真的觀察,深入的思考,構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型,從而使問(wèn)題得以解決。構(gòu)造法體現(xiàn)了類比的思想,為了找出解題途徑,要進(jìn)行聯(lián)想,通過(guò)聯(lián)想聯(lián)系已有知識(shí)中與之類似的或與之相關(guān)的問(wèn)題,從而為構(gòu)造模型提供參照對(duì)象。構(gòu)造合適的方程圖形,函數(shù)等解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),不僅可以拓展解題思路,而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。此外一些特殊構(gòu)造對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題有著相當(dāng)?shù)姆至俊?/p>

        關(guān)鍵詞:構(gòu)造法;交叉學(xué)科;應(yīng)用

        構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中一種十分重要和基礎(chǔ)的方法,它是指利用已知條件和已掌握的知識(shí),通過(guò)觀察、聯(lián)想構(gòu)造出滿足條件的數(shù)學(xué)對(duì)象,或構(gòu)造出一種新的問(wèn)題形式,使問(wèn)題的結(jié)論得以肯定或否定,或使問(wèn)題轉(zhuǎn)化,從而使問(wèn)題得到有效的解決.

        構(gòu)造法有著意想不到的功效,不同的構(gòu)造,有著不同的效果。我們可以構(gòu)造方程,圖形,函數(shù)甚至是其他,這樣就會(huì)使學(xué)生要熟悉的幾何,代數(shù),三角的基本技能,并多方面綜合利用,這對(duì)學(xué)生的多元思維,培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣,以及鉆研獨(dú)創(chuàng)精神的發(fā)揮十分有利,因此,在解題時(shí)若能從多方面,多渠道進(jìn)行思考,有時(shí)能得到很多巧妙,新穎獨(dú)體的解題方法還能加強(qiáng)我們對(duì)知識(shí)的理解。培養(yǎng)思維的靈活,提高分析問(wèn)題的能力。

        近代科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展,世界已進(jìn)入信息時(shí)代,交叉學(xué)科不斷產(chǎn)生數(shù)學(xué)工具與數(shù)學(xué)思想,日益向自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)滲透??刂普?、信息論、系統(tǒng)論的誕生正是這一發(fā)展的結(jié)果,反過(guò)來(lái),又加速了這一發(fā)展趨勢(shì)。這些新學(xué)科的產(chǎn)生,有的是運(yùn)用已有學(xué)科的知識(shí)、方法去解決研究中的新問(wèn)題。在數(shù)學(xué)里將一個(gè)分支里的知識(shí)移植到另一個(gè)分支里以解決新問(wèn)題是屢見(jiàn)不鮮的。移植的成敗,常在于能否構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膸缀文P突驍?shù)學(xué)模型(函數(shù)、方程等等),能否建立模型的關(guān)鍵是對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解與運(yùn)用能力,下面就對(duì)這些交叉學(xué)科中構(gòu)造法的運(yùn)用來(lái)做一下簡(jiǎn)單的介紹。

        一、構(gòu)造法在數(shù)值分析中的運(yùn)用

        數(shù)值分析主要介紹現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算中常用的數(shù)值計(jì)算方法及其基本原理,研究并解決數(shù)值問(wèn)題的近似解,是數(shù)學(xué)理論與計(jì)算機(jī)和實(shí)際問(wèn)題的有機(jī)結(jié)合。隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展,運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決科學(xué)研究和工程技術(shù)領(lǐng)域中的實(shí)際問(wèn)題,已經(jīng)得到普遍重視。例如對(duì)常見(jiàn)的微分方程、積分方程為了求解,往往需要將連續(xù)模型轉(zhuǎn)化成離散模型.將連續(xù)模型轉(zhuǎn)化成離散模型,最常用的方法就是建立差分方程。

        以非負(fù)整數(shù)k表示時(shí)間,記為xk變量x在時(shí)刻k的取值,則稱△xk=xk+1-xk為xk的一階差分,稱△2xk=△(△xk)=xk+2-2xk+1+xk為xk的二階差分。類似的求出xk的n階差分△nxk。由k,xk,及xk的差分給出的方程稱為差分方程。例如在研究節(jié)食與運(yùn)動(dòng)模型時(shí),發(fā)現(xiàn)人們往往采取節(jié)食與運(yùn)動(dòng)方式消耗體內(nèi)存儲(chǔ)的脂肪,引起體重下降,達(dá)到減肥目的。通常制定減肥計(jì)劃以周為時(shí)間單位比較方便,所以采用差分方程模型進(jìn)行討論。記第k周末體重為w(k),第k周吸收熱量為c(k),熱量轉(zhuǎn)換系數(shù)α,代謝消耗系數(shù)β,在不考慮運(yùn)動(dòng)情況下,體重變化的情況為w(k+1)=w(k)+αc(k+1)-βw(k)=0,1,2,…,增加運(yùn)動(dòng)時(shí)只需將β改為β1+β,β1由運(yùn)動(dòng)的形式和時(shí)間決定.

        二、構(gòu)造法在離散數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

        構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造件的解題方法.在《離散數(shù)學(xué)》課程的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中,經(jīng)常強(qiáng)調(diào)具有構(gòu)造性特點(diǎn)的一系列問(wèn)題解決方法,因此它非常重視“能行性”的研究:即要解決一個(gè)問(wèn)題,不光要證明該問(wèn)題解的存在性(連續(xù)數(shù)學(xué)只要做到這一步就基本上算解決問(wèn)題了),還要給出解決該問(wèn)題的解的步驟來(lái).在《離散數(shù)學(xué)》的證明題中,如果采用構(gòu)造法證明,則證明的過(guò)程往往就是對(duì)解題算法的描述.

        問(wèn)題 任一有限半群一定是等冪元.

        問(wèn)題解析 這是代數(shù)結(jié)構(gòu)中的存在性命題,也可采用構(gòu)造性證明方法.由于半群的性質(zhì)有限,只有結(jié)合律可用.因此證明時(shí)要充分利用元素個(gè)數(shù)的有限性和半群的運(yùn)算滿足結(jié)合律,具體構(gòu)造出一個(gè)等冪元.

        證明 設(shè)(S,×)是一個(gè)有限半群。任取α∈S,由于×滿足結(jié)合律,我們有{α,α2,α3,…,αn,…}■S。

        因?yàn)镾是有限集合,故α,α2,α3,…,αn,…不可能兩兩不同.從而一定存在正整數(shù)k,m,1≤k

        令p=n-k,則由于×滿足結(jié)合律,αk=αm=αp×αk.對(duì)任意正整數(shù)q>k,有

        αq= αk×qα-k=(αp×αk)×αq-k=αp×αq (*)

        若p=q,則元素αp就是一個(gè)等冪元。否則因?yàn)閜≥1,故存在正整數(shù)n滿足np≥0。故利用(*)可得

        αnp=αp×αnp=αp×(αp×αnp)=α2p×αnp=α2p×(αp×αnp)

        =α3p×αnp=…=αnp×αnp

        故αnp就是S的一個(gè)等冪元。

        運(yùn)用構(gòu)造法解題可從中欣賞數(shù)學(xué)之美,感受解題樂(lè)趣,更重要的是可開(kāi)拓思維空間,啟迪智慧,并對(duì)培養(yǎng)多元化思維和創(chuàng)新精神大有裨益.構(gòu)造法解題重在“構(gòu)造”,在解題時(shí),我們只要有足夠的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),較強(qiáng)的觀察能力、綜合運(yùn)用能力和創(chuàng)造能力,根據(jù)題目的特征,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入分析,找出“已知”與“所求(所證)”之間的聯(lián)系紐帶,就能使解題另辟蹊徑、水到渠成.但是在本文中,雖然通過(guò)一些例題來(lái)闡述了不同構(gòu)造法在數(shù)學(xué)和交叉學(xué)科中所含的數(shù)學(xué)思想中的作用。

        參考文獻(xiàn):

        [1] 候繁義.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法[M].東北師范大學(xué)出版社,1991,5(4):76-91.

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