任兆剛

數(shù)學(xué)作為自然學(xué)科中的基礎(chǔ)學(xué)科，它的計(jì)算功能是至關(guān)重要的，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對運(yùn)算求解能力的考查要求是：能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行運(yùn)算及變形；能夠根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的計(jì)算途徑；能夠根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算.而從現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況看，計(jì)算令人堪憂！很多學(xué)生在看了錯誤之后講得最多的是：又算錯了.但并沒有很好地分析原因，同時也沒有采取有效的措施來減少計(jì)算錯誤對解題的影響.在高中階段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的批判思維尚未形成，糾錯能力不強(qiáng)，需要老師更有針對性地對學(xué)生錯誤進(jìn)行剖析，采取切實(shí)有效的辦法合理地引導(dǎo)，讓學(xué)生積極地比較和思考，以提高計(jì)算的準(zhǔn)確性.下面就教學(xué)中具體的問題談?wù)勛约簩W(xué)生計(jì)算錯誤的原因分析及一些想法.

一、缺少對解題策略的比較和選擇

問題已知函數(shù)f（x）=x2+ax+11x+1（a∈R），若對于任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，則a的取值范圍是.

解法1令t=x+1，則f（x）=g（t）=t+12-at +a-2，t∈[2，+∞），t∈N*，

求使得g（t）min≥3中a的范圍.但在求g（t）min時，陷入了無法進(jìn)行下去的困擾和煩惱.

解法2轉(zhuǎn)化成x2+（a-3）x+8≥0，根據(jù)二次函數(shù)的圖象分類討論.此時遇到了像解法1中的問題.

解法3變量分離a≥-x-83+3，由x∈N*，結(jié)合g（x）=-x- 83+3的圖象很快得出a≥- 83，比較輕松.

相關(guān)鏈接：

（1）若函數(shù)f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值為33，則a的值為.

（2）若函數(shù)f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值為24，則a的值為.

歸納分式形式y(tǒng)=x+ax在a>0和a<0的值域.定義域[1，+∞）對值域的影響是什么？x∈N*對值域的影響是什么？解法1的困難在哪里？解法2要討論哪些內(nèi)容？引導(dǎo)學(xué)生多思考，多比較，多歸納，形成一種數(shù)學(xué).

你能否進(jìn)行編題反映上述變化對題目的影響？

建議加強(qiáng)對一個錯誤題目的認(rèn)識的思維導(dǎo)圖，把它涉及到的知識，涉及的解決方法都全面歸納和思考.從不同的角度認(rèn)識問題，并比較每種解法的優(yōu)劣，思考在何種情況下采取何種變形，避免會解解不對，會解來不及解的無奈.

二、缺少對概念的本原性的認(rèn)識

問題已知向量a，b的 夾角為120°，且|a|=3，|b|=1，則|a-2b|=.

看似簡單的一個題目，部分學(xué)生的主要錯誤表現(xiàn)為：結(jié)果忘記開方，或者在完全平方時中間項(xiàng)的符號出現(xiàn)錯誤.

反思為什么會少根號，僅僅是因?yàn)榇中膯幔繛槭裁磿沐e？要透過現(xiàn)象看清本質(zhì).先來看看向量的模的概念，向量的數(shù)量積與向量的模之間的關(guān)系的不同角度的理解，基底向量表示的依據(jù)等等，為何經(jīng)常選用 i和j作為基底向量.向量的模即向量的長度.提到長度首先考慮到兩點(diǎn)間的距離公式，故而當(dāng)a=（x，y）時，

|a|=x2+y2，建立相應(yīng)直角坐標(biāo)系，使得a=（3，0），2b=（-1，3），則a-2b=（4，-3），從而簡單得到最后結(jié)果.另一方面，我們經(jīng)常從向量的數(shù)量積的角度a2=|a|2來展開運(yùn)算，運(yùn)算的過程中涉及到乘法公式，向量的數(shù)量積的計(jì)算，再開方，多了步驟，多了出錯的機(jī)會.

再看平面向量基本定理中呈現(xiàn)的平面上任一向量都可以選擇不同的不共線的兩個向量作為基底向量，并用它們線性表示.在眾多的選擇中，如何選擇簡單的基底向量.課本實(shí)際上做了很好的引導(dǎo)作用.本題中實(shí)際是把所求的向量用基底a和b線性表示，而用坐標(biāo)時恰恰把它轉(zhuǎn)化成i和j作為基底向量，簡單、明了.

我們一味在抱怨學(xué)生粗心出錯，計(jì)算出錯，恰恰在最本質(zhì)的概念的源頭上下的功夫少了，像練武之人所強(qiáng)調(diào)的扎實(shí)的基本功，下盤要穩(wěn)，蹲馬步要練好長時間.而現(xiàn)在的教學(xué)有點(diǎn)急于求成，讓學(xué)生記憶的成分多，讓學(xué)生思考的時間太少，讓學(xué)生去領(lǐng)悟、感受、親歷知識的生成過程的機(jī)會太少.

反思學(xué)生對基本的問題出錯的根本原因在于對最基本概念的理解沒有抓住其本質(zhì)，導(dǎo)致理解時出現(xiàn)偏差，計(jì)算當(dāng)然就會走彎路，最后結(jié)果呈現(xiàn)錯誤.

建議老師在概念課的教學(xué)時，一定要舍得花時間去研究它，讓學(xué)生在第一次接受新的知識時從本質(zhì)上去把握它，避免炒夾生飯的現(xiàn)象.

數(shù)學(xué)作為自然學(xué)科中的基礎(chǔ)學(xué)科，它的計(jì)算功能是至關(guān)重要的，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對運(yùn)算求解能力的考查要求是：能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行運(yùn)算及變形；能夠根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的計(jì)算途徑；能夠根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算.而從現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況看，計(jì)算令人堪憂！很多學(xué)生在看了錯誤之后講得最多的是：又算錯了.但并沒有很好地分析原因，同時也沒有采取有效的措施來減少計(jì)算錯誤對解題的影響.在高中階段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的批判思維尚未形成，糾錯能力不強(qiáng)，需要老師更有針對性地對學(xué)生錯誤進(jìn)行剖析，采取切實(shí)有效的辦法合理地引導(dǎo)，讓學(xué)生積極地比較和思考，以提高計(jì)算的準(zhǔn)確性.下面就教學(xué)中具體的問題談?wù)勛约簩W(xué)生計(jì)算錯誤的原因分析及一些想法.

一、缺少對解題策略的比較和選擇

問題已知函數(shù)f（x）=x2+ax+11x+1（a∈R），若對于任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，則a的取值范圍是.

解法1令t=x+1，則f（x）=g（t）=t+12-at +a-2，t∈[2，+∞），t∈N*，

求使得g（t）min≥3中a的范圍.但在求g（t）min時，陷入了無法進(jìn)行下去的困擾和煩惱.

解法2轉(zhuǎn)化成x2+（a-3）x+8≥0，根據(jù)二次函數(shù)的圖象分類討論.此時遇到了像解法1中的問題.

解法3變量分離a≥-x-83+3，由x∈N*，結(jié)合g（x）=-x- 83+3的圖象很快得出a≥- 83，比較輕松.

相關(guān)鏈接：

（1）若函數(shù)f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值為33，則a的值為.

（2）若函數(shù)f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值為24，則a的值為.

歸納分式形式y(tǒng)=x+ax在a>0和a<0的值域.定義域[1，+∞）對值域的影響是什么？x∈N*對值域的影響是什么？解法1的困難在哪里？解法2要討論哪些內(nèi)容？引導(dǎo)學(xué)生多思考，多比較，多歸納，形成一種數(shù)學(xué).

你能否進(jìn)行編題反映上述變化對題目的影響？

建議加強(qiáng)對一個錯誤題目的認(rèn)識的思維導(dǎo)圖，把它涉及到的知識，涉及的解決方法都全面歸納和思考.從不同的角度認(rèn)識問題，并比較每種解法的優(yōu)劣，思考在何種情況下采取何種變形，避免會解解不對，會解來不及解的無奈.

二、缺少對概念的本原性的認(rèn)識

問題已知向量a，b的 夾角為120°，且|a|=3，|b|=1，則|a-2b|=.

看似簡單的一個題目，部分學(xué)生的主要錯誤表現(xiàn)為：結(jié)果忘記開方，或者在完全平方時中間項(xiàng)的符號出現(xiàn)錯誤.

反思為什么會少根號，僅僅是因?yàn)榇中膯?？為什么會算錯？要透過現(xiàn)象看清本質(zhì).先來看看向量的模的概念，向量的數(shù)量積與向量的模之間的關(guān)系的不同角度的理解，基底向量表示的依據(jù)等等，為何經(jīng)常選用 i和j作為基底向量.向量的模即向量的長度.提到長度首先考慮到兩點(diǎn)間的距離公式，故而當(dāng)a=（x，y）時，

|a|=x2+y2，建立相應(yīng)直角坐標(biāo)系，使得a=（3，0），2b=（-1，3），則a-2b=（4，-3），從而簡單得到最后結(jié)果.另一方面，我們經(jīng)常從向量的數(shù)量積的角度a2=|a|2來展開運(yùn)算，運(yùn)算的過程中涉及到乘法公式，向量的數(shù)量積的計(jì)算，再開方，多了步驟，多了出錯的機(jī)會.

再看平面向量基本定理中呈現(xiàn)的平面上任一向量都可以選擇不同的不共線的兩個向量作為基底向量，并用它們線性表示.在眾多的選擇中，如何選擇簡單的基底向量.課本實(shí)際上做了很好的引導(dǎo)作用.本題中實(shí)際是把所求的向量用基底a和b線性表示，而用坐標(biāo)時恰恰把它轉(zhuǎn)化成i和j作為基底向量，簡單、明了.

我們一味在抱怨學(xué)生粗心出錯，計(jì)算出錯，恰恰在最本質(zhì)的概念的源頭上下的功夫少了，像練武之人所強(qiáng)調(diào)的扎實(shí)的基本功，下盤要穩(wěn)，蹲馬步要練好長時間.而現(xiàn)在的教學(xué)有點(diǎn)急于求成，讓學(xué)生記憶的成分多，讓學(xué)生思考的時間太少，讓學(xué)生去領(lǐng)悟、感受、親歷知識的生成過程的機(jī)會太少.

反思學(xué)生對基本的問題出錯的根本原因在于對最基本概念的理解沒有抓住其本質(zhì)，導(dǎo)致理解時出現(xiàn)偏差，計(jì)算當(dāng)然就會走彎路，最后結(jié)果呈現(xiàn)錯誤.

建議老師在概念課的教學(xué)時，一定要舍得花時間去研究它，讓學(xué)生在第一次接受新的知識時從本質(zhì)上去把握它，避免炒夾生飯的現(xiàn)象.

數(shù)學(xué)作為自然學(xué)科中的基礎(chǔ)學(xué)科，它的計(jì)算功能是至關(guān)重要的，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對運(yùn)算求解能力的考查要求是：能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行運(yùn)算及變形；能夠根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的計(jì)算途徑；能夠根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算.而從現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況看，計(jì)算令人堪憂！很多學(xué)生在看了錯誤之后講得最多的是：又算錯了.但并沒有很好地分析原因，同時也沒有采取有效的措施來減少計(jì)算錯誤對解題的影響.在高中階段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的批判思維尚未形成，糾錯能力不強(qiáng)，需要老師更有針對性地對學(xué)生錯誤進(jìn)行剖析，采取切實(shí)有效的辦法合理地引導(dǎo)，讓學(xué)生積極地比較和思考，以提高計(jì)算的準(zhǔn)確性.下面就教學(xué)中具體的問題談?wù)勛约簩W(xué)生計(jì)算錯誤的原因分析及一些想法.

一、缺少對解題策略的比較和選擇

問題已知函數(shù)f（x）=x2+ax+11x+1（a∈R），若對于任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，則a的取值范圍是.

解法1令t=x+1，則f（x）=g（t）=t+12-at +a-2，t∈[2，+∞），t∈N*，

求使得g（t）min≥3中a的范圍.但在求g（t）min時，陷入了無法進(jìn)行下去的困擾和煩惱.

解法2轉(zhuǎn)化成x2+（a-3）x+8≥0，根據(jù)二次函數(shù)的圖象分類討論.此時遇到了像解法1中的問題.

解法3變量分離a≥-x-83+3，由x∈N*，結(jié)合g（x）=-x- 83+3的圖象很快得出a≥- 83，比較輕松.

相關(guān)鏈接：

（1）若函數(shù)f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值為33，則a的值為.

（2）若函數(shù)f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值為24，則a的值為.

歸納分式形式y(tǒng)=x+ax在a>0和a<0的值域.定義域[1，+∞）對值域的影響是什么？x∈N*對值域的影響是什么？解法1的困難在哪里？解法2要討論哪些內(nèi)容？引導(dǎo)學(xué)生多思考，多比較，多歸納，形成一種數(shù)學(xué).

你能否進(jìn)行編題反映上述變化對題目的影響？

建議加強(qiáng)對一個錯誤題目的認(rèn)識的思維導(dǎo)圖，把它涉及到的知識，涉及的解決方法都全面歸納和思考.從不同的角度認(rèn)識問題，并比較每種解法的優(yōu)劣，思考在何種情況下采取何種變形，避免會解解不對，會解來不及解的無奈.

二、缺少對概念的本原性的認(rèn)識

問題已知向量a，b的 夾角為120°，且|a|=3，|b|=1，則|a-2b|=.

看似簡單的一個題目，部分學(xué)生的主要錯誤表現(xiàn)為：結(jié)果忘記開方，或者在完全平方時中間項(xiàng)的符號出現(xiàn)錯誤.

反思為什么會少根號，僅僅是因?yàn)榇中膯?？為什么會算錯？要透過現(xiàn)象看清本質(zhì).先來看看向量的模的概念，向量的數(shù)量積與向量的模之間的關(guān)系的不同角度的理解，基底向量表示的依據(jù)等等，為何經(jīng)常選用 i和j作為基底向量.向量的模即向量的長度.提到長度首先考慮到兩點(diǎn)間的距離公式，故而當(dāng)a=（x，y）時，

|a|=x2+y2，建立相應(yīng)直角坐標(biāo)系，使得a=（3，0），2b=（-1，3），則a-2b=（4，-3），從而簡單得到最后結(jié)果.另一方面，我們經(jīng)常從向量的數(shù)量積的角度a2=|a|2來展開運(yùn)算，運(yùn)算的過程中涉及到乘法公式，向量的數(shù)量積的計(jì)算，再開方，多了步驟，多了出錯的機(jī)會.

再看平面向量基本定理中呈現(xiàn)的平面上任一向量都可以選擇不同的不共線的兩個向量作為基底向量，并用它們線性表示.在眾多的選擇中，如何選擇簡單的基底向量.課本實(shí)際上做了很好的引導(dǎo)作用.本題中實(shí)際是把所求的向量用基底a和b線性表示，而用坐標(biāo)時恰恰把它轉(zhuǎn)化成i和j作為基底向量，簡單、明了.

我們一味在抱怨學(xué)生粗心出錯，計(jì)算出錯，恰恰在最本質(zhì)的概念的源頭上下的功夫少了，像練武之人所強(qiáng)調(diào)的扎實(shí)的基本功，下盤要穩(wěn)，蹲馬步要練好長時間.而現(xiàn)在的教學(xué)有點(diǎn)急于求成，讓學(xué)生記憶的成分多，讓學(xué)生思考的時間太少，讓學(xué)生去領(lǐng)悟、感受、親歷知識的生成過程的機(jī)會太少.

反思學(xué)生對基本的問題出錯的根本原因在于對最基本概念的理解沒有抓住其本質(zhì)，導(dǎo)致理解時出現(xiàn)偏差，計(jì)算當(dāng)然就會走彎路，最后結(jié)果呈現(xiàn)錯誤.

建議老師在概念課的教學(xué)時，一定要舍得花時間去研究它，讓學(xué)生在第一次接受新的知識時從本質(zhì)上去把握它，避免炒夾生飯的現(xiàn)象.