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        導(dǎo)數(shù)專題教學(xué)反思

        2014-10-08 13:18:11江梅
        考試周刊 2014年66期
        關(guān)鍵詞:教學(xué)學(xué)生

        江梅

        一、本專題新課標(biāo)與大綱的區(qū)別

        1.課標(biāo)不要求學(xué)習(xí)微分的概念和有關(guān)內(nèi)容;

        2.在沒有學(xué)習(xí)極限的前提下,課標(biāo)以速度作為背景,從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā),直觀感知導(dǎo)概念,得出定義,再用曲線的切線加以強(qiáng)化,與以往教材的處理形成鮮明對照;

        3.課標(biāo)對多項式函數(shù)單調(diào)性的研究明確規(guī)定不超過三次,教學(xué)中便于操作把握;

        4.大綱要求“熟記基本導(dǎo)數(shù)公式”,而課標(biāo)要求“會使用導(dǎo)數(shù)公式表”,強(qiáng)調(diào)了學(xué)生應(yīng)用知識的能力,不要求死記硬背導(dǎo)數(shù);

        5.“導(dǎo)數(shù)”教學(xué)采用“平均速度→瞬時速度→導(dǎo)數(shù)概念”的方法,與物理背景聯(lián)系起來,再用曲線的切線印證,與舊教材的“數(shù)列→數(shù)列極限→函數(shù)極限→導(dǎo)數(shù)概念”的講法完全不同,要認(rèn)真體會.

        二、新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的準(zhǔn)確定位

        性質(zhì):刻畫函數(shù)的重要概念、函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)的延續(xù);

        工具:研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具,研究可導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)的通用方法;

        載體:是考查函數(shù)與方程、分類討論轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法的重要載體;

        交匯點:是函數(shù)與方程、不等式等有關(guān)知識的交點,可以考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識的能力.

        三、新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)高考綜合題的分析與研究

        1.導(dǎo)數(shù)高考綜合題題型分類:

        (1)利用導(dǎo)數(shù)研究具體函數(shù)的性質(zhì),并求切線方程.

        (2)研究一類含字母系數(shù)函數(shù)的性質(zhì), 在特定情況下求字母取值范圍,處理存在性、恒成立問題.

        (3)構(gòu)造新函數(shù),借助導(dǎo)數(shù),研究兩個函數(shù)間的關(guān)系.

        2.導(dǎo)數(shù)綜合性問題的處理策略:

        (1)分類討論問題.

        (2)存在性、恒成立、零點或圖像交點問題,等等,這些問題常常需要構(gòu)造新函數(shù)、將問題等價轉(zhuǎn)化變成函數(shù)的最值、極值或值域問題,最終還是通過函數(shù)的單調(diào)性解決問題.

        重點:通過函數(shù)的單調(diào)性解決問題.

        難點:學(xué)生的難點在如何構(gòu)造函數(shù)、等價轉(zhuǎn)化或分析推理.

        四、結(jié)合教學(xué)實踐例談從新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)高考綜合題看課堂教學(xué)

        例. (2013課標(biāo)全國Ⅰ文)20(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=e■(ax+b)-x■-4x,曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=4x+4.

        (1)求a,b的值;

        (2)討論f(x)的單調(diào)性,并求f(x)的極大值.

        解:(1)f′(x)=e■(ax+a+b)-2x-4.

        由已知得f(0)=4,f′(0)=4.

        故b=4,a+b=8.

        從而得a=4,b=4.

        (2)由(1)知,f(x)=4e■(x+1)-x■-4x

        f′(x)=4e■(x+2)-2x-4=4(x+2)(e■-■)

        令f′(x)=0得,x=-ln 2或x=-2.

        從而當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)時,f′(x)>2;

        當(dāng)x∈(-2,-ln 2)時,f′(x)<0.

        故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上單調(diào)遞增,在(-2,-ln 2)上單調(diào)遞減.

        當(dāng)x=-2時,函數(shù)f(x)取得極大值,極大值為f(-2)=4(1-e-2).

        考題評注:此題是典型的利用導(dǎo)數(shù)研究具體函數(shù)的性質(zhì),并求切線方程的問題.(1)問是與切線方程有關(guān)的問題.無論是何種教材,還是文科或理科,都是高考考查的主干知識,高頻考點,數(shù)形結(jié)合的好材料.雖作為文科壓軸題,但(2)問思維量小,用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間學(xué)生普遍感到會而不對,對而不全.在實際教學(xué)中此題學(xué)生真正的難點是如何解不等式,怎樣比較對數(shù)大小,這要求教師在平常教學(xué)中對教學(xué)有深入了解,注意本專題與其他模塊知識的橫向關(guān)系,幫助學(xué)生總結(jié)通性通法,梳理知識脈絡(luò),將導(dǎo)數(shù)綜合題分解進(jìn)行針對性的訓(xùn)練.

        課堂教學(xué):

        1.切線方程的教學(xué):我認(rèn)為這是送分題,屬于比較好處理的思維定勢,題型變化不多的高考題.在平常教學(xué)中,我主要采取數(shù)形結(jié)合,不斷滲透方程的思想,幫助學(xué)生總結(jié)提煉定勢模型,實踐證明,取得了較好的效果.具體操作如下:與切線方程有關(guān)的問題,先讓學(xué)生任畫一條曲線代表函數(shù)圖像(這里要求畫簡圖輔助找思路,要速度),再在曲線上找一點作出曲線的切線,記為切點(x■,y■),觀察圖像引導(dǎo)學(xué)生歸納得出:圍繞切點可建立三個方程①切線的斜率等于切點的導(dǎo)數(shù)值(基礎(chǔ)班要強(qiáng)調(diào)求切點的導(dǎo)數(shù)值的步驟:第一,求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x),第二,將切點的橫坐標(biāo)x■帶入導(dǎo)函數(shù)f′(x)得出f′(x■)構(gòu)建方程k■=f′(x■);②觀察切點在函數(shù)圖像上,將切點(x■,y■)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式構(gòu)建方程y■=f(x■);③觀察切點在函數(shù)圖像上,將切點(x■,y■)坐標(biāo)代入切線方程成立,如已知沒有給出切線方程要靈活處理;面對三個方程讓學(xué)生深刻體會方程的思想,三個方程可解三個待定系數(shù),最多用完三個方程,切線問題迎刃而解.其中,圍繞切點(x■,y■)是教學(xué)的關(guān)鍵,是高考常設(shè)的陷阱,例題的選擇及變式要注意讓學(xué)生區(qū)別過點作切線,過點處的切線,過(t,f(t))的切線的異同,課后提醒學(xué)生整理在錯題本上,考試時謹(jǐn)慎審題.

        2.導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間的教學(xué):教學(xué)中的實際情況是學(xué)生聽得懂,做不了,有思路,更有障礙;利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間學(xué)生易于掌握方法,學(xué)生真正的難點是如何解各類不等式(如指數(shù),對數(shù)不等式,高次不等式,含參數(shù)不等式,等等),無法將本專題與其他模塊知識橫向溝通,形成能力.我在教學(xué)中采取的主要方式是將導(dǎo)數(shù)綜合題分解進(jìn)行針對訓(xùn)練,在高一、高二各個必修模塊的教學(xué)中從學(xué)科整體高度上把握導(dǎo)數(shù)與其他模塊知識的橫向關(guān)系,進(jìn)行小專題針對訓(xùn)練.具體做法是:在不等式教學(xué)中,為提高學(xué)生解題能力配合教材作了分解因式(主要是十字相乘法,立方差,立方和公式對三次多項式的分解因式及簡單技巧處理)專題,解二次不等式強(qiáng)化訓(xùn)練,經(jīng)常利用晚自習(xí)作解含參數(shù)二次不等式為什么要分類討論,怎樣分類討論,分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么的典題分析,旨在讓學(xué)生從高一、高二起不斷體會(注意這里強(qiáng)調(diào)的是體會,而不是掌握;否則學(xué)生會產(chǎn)生畏難情緒)分類討論的重要數(shù)學(xué)思想,高三時學(xué)生有知識鋪墊,有心理基礎(chǔ),才能有能力,有信心,輕松解決高考中最大的難題: 分類討論問題.endprint

        例. (2013課標(biāo)全國Ⅱ理)

        (21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=e■-ln(x+m),

        (Ⅰ)設(shè)x=0是f(x)的極值點,求m,并討論f(x)的單調(diào)性;

        (Ⅱ)當(dāng)m≤2時,證明f(x)>0.

        解:(1)f′(x)=e■-■

        由x=0是f(x)的極值點得f′(0)=0,所以m=1.

        于是f(x)=e■-ln(x+1),定義域為(-1,+∞),f′(x)=e■-■,

        函數(shù)f′(x)=e■-■在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,且f′(0)=0.

        因此當(dāng)x∈(-1,0)時,f′(x)<0;

        當(dāng)x∈(0,+∞)時,f′(x)>0,

        所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

        (2)當(dāng)m≤2,x∈(-m,+∞)時,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需證明當(dāng)m=2時,f(x)>0.

        當(dāng)m=2時,函數(shù)f′(x)=e■-■在(-2,+∞)上單調(diào)遞增.

        又f′(-1)<0,f′(0)>0,

        故f′(x)=0在(-2,+∞)上有唯一實根x■,且x■∈(-1,0).

        當(dāng)x∈(-2,x■)時,f′(x)<0;

        當(dāng)x∈(x■,+∞)時,f′(x)>0,從而當(dāng)x=x■時,f(x)取得最小值.

        由f′(x■)=0得e■=■,ln(x■+2)=-x■,

        故f(x)≥f(x■)=■+x■=■>0

        綜上,當(dāng)m≤2時,f(x)>0.

        考題評注:此題是2013年課標(biāo)全國Ⅱ理科第21題,壓軸題,難度明顯高于文科,思維靈活,對知識的遷移和應(yīng)用知識解決問題的能力要求較高,因此,在本專題理科的教學(xué)中對導(dǎo)數(shù)與其他模塊知識的綜合尤其是導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用,與不等式的綜合要給予足夠重視,解題教學(xué)要以提高學(xué)生能力,發(fā)散學(xué)生思維為核心,讓個性品質(zhì)優(yōu)秀、數(shù)學(xué)成績良好的考生脫穎而出,具有競爭力.

        課堂教學(xué):

        1.改善學(xué)生思維品質(zhì),提高能力:由于我所任教的班級是學(xué)校珍珠班,基礎(chǔ)好,學(xué)生學(xué)習(xí)興趣濃厚,在黔南州高二期末統(tǒng)考中數(shù)學(xué)成績的平均分位居全州第一,高考中能夠期望高分亮點,所以導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合壓軸題雖然難度大,卻是我課堂教學(xué)成功與否的關(guān)鍵.在導(dǎo)數(shù)專題的教學(xué)中,我關(guān)注學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的深入理解及學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)(具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和解決數(shù)學(xué)問題的能力)的培養(yǎng).但如果教學(xué)對象是基礎(chǔ)班學(xué)生,建議教學(xué)時降低難度,從入口低的問題入手,從定勢問題入手,幫助學(xué)生提煉解決此類問題的基本途徑,導(dǎo)數(shù)綜合題的第(2)問對能力較弱的學(xué)生可不要求. 具體做法是:收集本專題歷年高考題,相關(guān)雜志上的好題妙題,近三年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽各省預(yù)賽題,教學(xué)前由教師對題目進(jìn)行深入分析,做好例題與練習(xí)的挑選,每日一題讓學(xué)生自由選擇(獨立完成,交流討論合作完成,查閱資料作好筆記)一種形式完成,重在學(xué)生思維的參與,過程的體驗,以及教師講解之后學(xué)生的頓悟;每周以競賽輔導(dǎo)的形式對學(xué)生進(jìn)行培優(yōu)拔高,對一周所給題目詳細(xì)講解,輔導(dǎo)中注重暴露教師思維的過程,有意識地向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等思維層次要求較高的數(shù)學(xué)思想方法,在潛移默化中改善學(xué)生思維品質(zhì),提高能力.從目前所任班級的實際教學(xué)情況來看,學(xué)生學(xué)得輕松,學(xué)得自信,大部分學(xué)生對難題不再有畏難情緒,思維活躍,經(jīng)常自覺與同學(xué)交流探討,數(shù)學(xué)成績明顯提高.這都說明以競賽輔導(dǎo)的形式對基礎(chǔ)好的學(xué)生進(jìn)行培優(yōu)拔高是必要的,會讓學(xué)生具有高分潛力.

        2.本專題對教師教學(xué)的要求:本專題綜合壓軸題難度大,重點在于與不等式的綜合,出題形式多以存在性、恒成立、零點或圖像交點、不等式的證明問題出現(xiàn),這些問題常常需要構(gòu)造新函數(shù)、將問題等價轉(zhuǎn)化變成函數(shù)的最值、極值或值域問題,最終還是通過函數(shù)的單調(diào)性解決問題.實際教學(xué)中,我利用策略教學(xué)突破難點學(xué)生的難點在如何構(gòu)造函數(shù)、等價轉(zhuǎn)化或分析推理,所以我對本專題各類型題目的解題策略做了歸類整理并寫成論文發(fā)表,如構(gòu)造函數(shù)證不等式的策略,用導(dǎo)數(shù)處理存在性、恒成立求參數(shù)范圍問題的策略,分類討論策略和高考中怎樣避開分類討論策略,通過這種備課、備教材、備學(xué)生的創(chuàng)造性活動,我與學(xué)生一起成長.我認(rèn)為,只有教師對教學(xué)、對數(shù)學(xué)有深刻的認(rèn)識,才會有深入淺出的教學(xué),才會有高效課堂.

        例. (2013課標(biāo)全國Ⅱ文)21 (本小題滿分12分)

        已知函數(shù)f(x)=x■e■,

        (1)求f(x)的極小值和極大值;

        (2)當(dāng)曲線y=f(x)的切線l的斜率為負(fù)數(shù)時,求l在x軸上截距的取值范圍.

        考題評注:此題為2013課標(biāo)全國Ⅱ文科壓軸題,第(1)問為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,極值,最值問題,屬定勢教學(xué),中檔題,學(xué)生易于接受掌握.第(2)問是導(dǎo)數(shù)與函數(shù),導(dǎo)數(shù)與直線方程的綜合題,對文科學(xué)生來說,要求模塊之間知識互相溝通,擁有完整的知識網(wǎng)絡(luò)和較強(qiáng)的計算能力.

        課堂教學(xué):

        導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,極值,最值問題教學(xué)困惑:一直以來,我對教材上利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,極值,最值問題的例題教學(xué)頗有疑義.例如教材上強(qiáng)調(diào)的求函數(shù)極值的一般步驟:

        (1)確定函數(shù)的定義域;

        (2)求導(dǎo)數(shù)f′(x);

        (3)求方程f′(x)=0的全部實根;

        (4)檢查方程f′(x)=0的根左右兩側(cè)f′(x)的符號,如果左正右負(fù),那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個根處取得極小值.為判斷方程f′(x)=0的根左右兩側(cè)f′(x)的符號,可用列表的方法:用方程f′(x)=0的根及無意義的點,順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間,并列成表格.根據(jù)極值定義找到相應(yīng)的極值.

        教材例題:求函數(shù)f(x)=■-2的極值.

        解:易知f(x)的定義域為R

        f′(x)=■=■

        令f′(x)=0,解得x=1或x=-1.

        當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況為:

        ∴當(dāng)x=-1時,f(x)有極小值-3;當(dāng)x=1時,f(x)有極大值-1.

        我認(rèn)為,既然新課標(biāo)突出學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng),注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透,那么在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值問題的教學(xué)中,我對此節(jié)內(nèi)容做了如下處理:第一步,求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x);第二步,令f′(x)≥0,解不等式,此不等式的解集在定義域內(nèi)的部分即為函數(shù)f(x)的增區(qū)間,此不等式的解集在定義域內(nèi)的補集即為減區(qū)間;第三步,根據(jù)以上單調(diào)區(qū)間畫出函數(shù)f(x)的大致圖像(求極值,最值只要求畫出圖像增減波浪);第四步,觀察圖像數(shù)形結(jié)合即可快速準(zhǔn)確找出極值、最值.這樣處理教學(xué)的好處是整個思路流暢自然,數(shù)形結(jié)合落到實處,為分類討論提供分類的標(biāo)準(zhǔn),而且能提高解題速度.這里,我希望與大家一起分享,探討教學(xué)的成功與困惑.

        此教學(xué)設(shè)計為黔南州州級課題N130025的研究成果。endprint

        例. (2013課標(biāo)全國Ⅱ理)

        (21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=e■-ln(x+m),

        (Ⅰ)設(shè)x=0是f(x)的極值點,求m,并討論f(x)的單調(diào)性;

        (Ⅱ)當(dāng)m≤2時,證明f(x)>0.

        解:(1)f′(x)=e■-■

        由x=0是f(x)的極值點得f′(0)=0,所以m=1.

        于是f(x)=e■-ln(x+1),定義域為(-1,+∞),f′(x)=e■-■,

        函數(shù)f′(x)=e■-■在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,且f′(0)=0.

        因此當(dāng)x∈(-1,0)時,f′(x)<0;

        當(dāng)x∈(0,+∞)時,f′(x)>0,

        所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

        (2)當(dāng)m≤2,x∈(-m,+∞)時,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需證明當(dāng)m=2時,f(x)>0.

        當(dāng)m=2時,函數(shù)f′(x)=e■-■在(-2,+∞)上單調(diào)遞增.

        又f′(-1)<0,f′(0)>0,

        故f′(x)=0在(-2,+∞)上有唯一實根x■,且x■∈(-1,0).

        當(dāng)x∈(-2,x■)時,f′(x)<0;

        當(dāng)x∈(x■,+∞)時,f′(x)>0,從而當(dāng)x=x■時,f(x)取得最小值.

        由f′(x■)=0得e■=■,ln(x■+2)=-x■,

        故f(x)≥f(x■)=■+x■=■>0

        綜上,當(dāng)m≤2時,f(x)>0.

        考題評注:此題是2013年課標(biāo)全國Ⅱ理科第21題,壓軸題,難度明顯高于文科,思維靈活,對知識的遷移和應(yīng)用知識解決問題的能力要求較高,因此,在本專題理科的教學(xué)中對導(dǎo)數(shù)與其他模塊知識的綜合尤其是導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用,與不等式的綜合要給予足夠重視,解題教學(xué)要以提高學(xué)生能力,發(fā)散學(xué)生思維為核心,讓個性品質(zhì)優(yōu)秀、數(shù)學(xué)成績良好的考生脫穎而出,具有競爭力.

        課堂教學(xué):

        1.改善學(xué)生思維品質(zhì),提高能力:由于我所任教的班級是學(xué)校珍珠班,基礎(chǔ)好,學(xué)生學(xué)習(xí)興趣濃厚,在黔南州高二期末統(tǒng)考中數(shù)學(xué)成績的平均分位居全州第一,高考中能夠期望高分亮點,所以導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合壓軸題雖然難度大,卻是我課堂教學(xué)成功與否的關(guān)鍵.在導(dǎo)數(shù)專題的教學(xué)中,我關(guān)注學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的深入理解及學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)(具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和解決數(shù)學(xué)問題的能力)的培養(yǎng).但如果教學(xué)對象是基礎(chǔ)班學(xué)生,建議教學(xué)時降低難度,從入口低的問題入手,從定勢問題入手,幫助學(xué)生提煉解決此類問題的基本途徑,導(dǎo)數(shù)綜合題的第(2)問對能力較弱的學(xué)生可不要求. 具體做法是:收集本專題歷年高考題,相關(guān)雜志上的好題妙題,近三年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽各省預(yù)賽題,教學(xué)前由教師對題目進(jìn)行深入分析,做好例題與練習(xí)的挑選,每日一題讓學(xué)生自由選擇(獨立完成,交流討論合作完成,查閱資料作好筆記)一種形式完成,重在學(xué)生思維的參與,過程的體驗,以及教師講解之后學(xué)生的頓悟;每周以競賽輔導(dǎo)的形式對學(xué)生進(jìn)行培優(yōu)拔高,對一周所給題目詳細(xì)講解,輔導(dǎo)中注重暴露教師思維的過程,有意識地向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等思維層次要求較高的數(shù)學(xué)思想方法,在潛移默化中改善學(xué)生思維品質(zhì),提高能力.從目前所任班級的實際教學(xué)情況來看,學(xué)生學(xué)得輕松,學(xué)得自信,大部分學(xué)生對難題不再有畏難情緒,思維活躍,經(jīng)常自覺與同學(xué)交流探討,數(shù)學(xué)成績明顯提高.這都說明以競賽輔導(dǎo)的形式對基礎(chǔ)好的學(xué)生進(jìn)行培優(yōu)拔高是必要的,會讓學(xué)生具有高分潛力.

        2.本專題對教師教學(xué)的要求:本專題綜合壓軸題難度大,重點在于與不等式的綜合,出題形式多以存在性、恒成立、零點或圖像交點、不等式的證明問題出現(xiàn),這些問題常常需要構(gòu)造新函數(shù)、將問題等價轉(zhuǎn)化變成函數(shù)的最值、極值或值域問題,最終還是通過函數(shù)的單調(diào)性解決問題.實際教學(xué)中,我利用策略教學(xué)突破難點學(xué)生的難點在如何構(gòu)造函數(shù)、等價轉(zhuǎn)化或分析推理,所以我對本專題各類型題目的解題策略做了歸類整理并寫成論文發(fā)表,如構(gòu)造函數(shù)證不等式的策略,用導(dǎo)數(shù)處理存在性、恒成立求參數(shù)范圍問題的策略,分類討論策略和高考中怎樣避開分類討論策略,通過這種備課、備教材、備學(xué)生的創(chuàng)造性活動,我與學(xué)生一起成長.我認(rèn)為,只有教師對教學(xué)、對數(shù)學(xué)有深刻的認(rèn)識,才會有深入淺出的教學(xué),才會有高效課堂.

        例. (2013課標(biāo)全國Ⅱ文)21 (本小題滿分12分)

        已知函數(shù)f(x)=x■e■,

        (1)求f(x)的極小值和極大值;

        (2)當(dāng)曲線y=f(x)的切線l的斜率為負(fù)數(shù)時,求l在x軸上截距的取值范圍.

        考題評注:此題為2013課標(biāo)全國Ⅱ文科壓軸題,第(1)問為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,極值,最值問題,屬定勢教學(xué),中檔題,學(xué)生易于接受掌握.第(2)問是導(dǎo)數(shù)與函數(shù),導(dǎo)數(shù)與直線方程的綜合題,對文科學(xué)生來說,要求模塊之間知識互相溝通,擁有完整的知識網(wǎng)絡(luò)和較強(qiáng)的計算能力.

        課堂教學(xué):

        導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,極值,最值問題教學(xué)困惑:一直以來,我對教材上利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,極值,最值問題的例題教學(xué)頗有疑義.例如教材上強(qiáng)調(diào)的求函數(shù)極值的一般步驟:

        (1)確定函數(shù)的定義域;

        (2)求導(dǎo)數(shù)f′(x);

        (3)求方程f′(x)=0的全部實根;

        (4)檢查方程f′(x)=0的根左右兩側(cè)f′(x)的符號,如果左正右負(fù),那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個根處取得極小值.為判斷方程f′(x)=0的根左右兩側(cè)f′(x)的符號,可用列表的方法:用方程f′(x)=0的根及無意義的點,順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間,并列成表格.根據(jù)極值定義找到相應(yīng)的極值.

        教材例題:求函數(shù)f(x)=■-2的極值.

        解:易知f(x)的定義域為R

        f′(x)=■=■

        令f′(x)=0,解得x=1或x=-1.

        當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況為:

        ∴當(dāng)x=-1時,f(x)有極小值-3;當(dāng)x=1時,f(x)有極大值-1.

        我認(rèn)為,既然新課標(biāo)突出學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng),注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透,那么在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值問題的教學(xué)中,我對此節(jié)內(nèi)容做了如下處理:第一步,求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x);第二步,令f′(x)≥0,解不等式,此不等式的解集在定義域內(nèi)的部分即為函數(shù)f(x)的增區(qū)間,此不等式的解集在定義域內(nèi)的補集即為減區(qū)間;第三步,根據(jù)以上單調(diào)區(qū)間畫出函數(shù)f(x)的大致圖像(求極值,最值只要求畫出圖像增減波浪);第四步,觀察圖像數(shù)形結(jié)合即可快速準(zhǔn)確找出極值、最值.這樣處理教學(xué)的好處是整個思路流暢自然,數(shù)形結(jié)合落到實處,為分類討論提供分類的標(biāo)準(zhǔn),而且能提高解題速度.這里,我希望與大家一起分享,探討教學(xué)的成功與困惑.

        此教學(xué)設(shè)計為黔南州州級課題N130025的研究成果。endprint

        例. (2013課標(biāo)全國Ⅱ理)

        (21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=e■-ln(x+m),

        (Ⅰ)設(shè)x=0是f(x)的極值點,求m,并討論f(x)的單調(diào)性;

        (Ⅱ)當(dāng)m≤2時,證明f(x)>0.

        解:(1)f′(x)=e■-■

        由x=0是f(x)的極值點得f′(0)=0,所以m=1.

        于是f(x)=e■-ln(x+1),定義域為(-1,+∞),f′(x)=e■-■,

        函數(shù)f′(x)=e■-■在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,且f′(0)=0.

        因此當(dāng)x∈(-1,0)時,f′(x)<0;

        當(dāng)x∈(0,+∞)時,f′(x)>0,

        所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

        (2)當(dāng)m≤2,x∈(-m,+∞)時,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需證明當(dāng)m=2時,f(x)>0.

        當(dāng)m=2時,函數(shù)f′(x)=e■-■在(-2,+∞)上單調(diào)遞增.

        又f′(-1)<0,f′(0)>0,

        故f′(x)=0在(-2,+∞)上有唯一實根x■,且x■∈(-1,0).

        當(dāng)x∈(-2,x■)時,f′(x)<0;

        當(dāng)x∈(x■,+∞)時,f′(x)>0,從而當(dāng)x=x■時,f(x)取得最小值.

        由f′(x■)=0得e■=■,ln(x■+2)=-x■,

        故f(x)≥f(x■)=■+x■=■>0

        綜上,當(dāng)m≤2時,f(x)>0.

        考題評注:此題是2013年課標(biāo)全國Ⅱ理科第21題,壓軸題,難度明顯高于文科,思維靈活,對知識的遷移和應(yīng)用知識解決問題的能力要求較高,因此,在本專題理科的教學(xué)中對導(dǎo)數(shù)與其他模塊知識的綜合尤其是導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用,與不等式的綜合要給予足夠重視,解題教學(xué)要以提高學(xué)生能力,發(fā)散學(xué)生思維為核心,讓個性品質(zhì)優(yōu)秀、數(shù)學(xué)成績良好的考生脫穎而出,具有競爭力.

        課堂教學(xué):

        1.改善學(xué)生思維品質(zhì),提高能力:由于我所任教的班級是學(xué)校珍珠班,基礎(chǔ)好,學(xué)生學(xué)習(xí)興趣濃厚,在黔南州高二期末統(tǒng)考中數(shù)學(xué)成績的平均分位居全州第一,高考中能夠期望高分亮點,所以導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合壓軸題雖然難度大,卻是我課堂教學(xué)成功與否的關(guān)鍵.在導(dǎo)數(shù)專題的教學(xué)中,我關(guān)注學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的深入理解及學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)(具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和解決數(shù)學(xué)問題的能力)的培養(yǎng).但如果教學(xué)對象是基礎(chǔ)班學(xué)生,建議教學(xué)時降低難度,從入口低的問題入手,從定勢問題入手,幫助學(xué)生提煉解決此類問題的基本途徑,導(dǎo)數(shù)綜合題的第(2)問對能力較弱的學(xué)生可不要求. 具體做法是:收集本專題歷年高考題,相關(guān)雜志上的好題妙題,近三年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽各省預(yù)賽題,教學(xué)前由教師對題目進(jìn)行深入分析,做好例題與練習(xí)的挑選,每日一題讓學(xué)生自由選擇(獨立完成,交流討論合作完成,查閱資料作好筆記)一種形式完成,重在學(xué)生思維的參與,過程的體驗,以及教師講解之后學(xué)生的頓悟;每周以競賽輔導(dǎo)的形式對學(xué)生進(jìn)行培優(yōu)拔高,對一周所給題目詳細(xì)講解,輔導(dǎo)中注重暴露教師思維的過程,有意識地向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等思維層次要求較高的數(shù)學(xué)思想方法,在潛移默化中改善學(xué)生思維品質(zhì),提高能力.從目前所任班級的實際教學(xué)情況來看,學(xué)生學(xué)得輕松,學(xué)得自信,大部分學(xué)生對難題不再有畏難情緒,思維活躍,經(jīng)常自覺與同學(xué)交流探討,數(shù)學(xué)成績明顯提高.這都說明以競賽輔導(dǎo)的形式對基礎(chǔ)好的學(xué)生進(jìn)行培優(yōu)拔高是必要的,會讓學(xué)生具有高分潛力.

        2.本專題對教師教學(xué)的要求:本專題綜合壓軸題難度大,重點在于與不等式的綜合,出題形式多以存在性、恒成立、零點或圖像交點、不等式的證明問題出現(xiàn),這些問題常常需要構(gòu)造新函數(shù)、將問題等價轉(zhuǎn)化變成函數(shù)的最值、極值或值域問題,最終還是通過函數(shù)的單調(diào)性解決問題.實際教學(xué)中,我利用策略教學(xué)突破難點學(xué)生的難點在如何構(gòu)造函數(shù)、等價轉(zhuǎn)化或分析推理,所以我對本專題各類型題目的解題策略做了歸類整理并寫成論文發(fā)表,如構(gòu)造函數(shù)證不等式的策略,用導(dǎo)數(shù)處理存在性、恒成立求參數(shù)范圍問題的策略,分類討論策略和高考中怎樣避開分類討論策略,通過這種備課、備教材、備學(xué)生的創(chuàng)造性活動,我與學(xué)生一起成長.我認(rèn)為,只有教師對教學(xué)、對數(shù)學(xué)有深刻的認(rèn)識,才會有深入淺出的教學(xué),才會有高效課堂.

        例. (2013課標(biāo)全國Ⅱ文)21 (本小題滿分12分)

        已知函數(shù)f(x)=x■e■,

        (1)求f(x)的極小值和極大值;

        (2)當(dāng)曲線y=f(x)的切線l的斜率為負(fù)數(shù)時,求l在x軸上截距的取值范圍.

        考題評注:此題為2013課標(biāo)全國Ⅱ文科壓軸題,第(1)問為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,極值,最值問題,屬定勢教學(xué),中檔題,學(xué)生易于接受掌握.第(2)問是導(dǎo)數(shù)與函數(shù),導(dǎo)數(shù)與直線方程的綜合題,對文科學(xué)生來說,要求模塊之間知識互相溝通,擁有完整的知識網(wǎng)絡(luò)和較強(qiáng)的計算能力.

        課堂教學(xué):

        導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,極值,最值問題教學(xué)困惑:一直以來,我對教材上利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,極值,最值問題的例題教學(xué)頗有疑義.例如教材上強(qiáng)調(diào)的求函數(shù)極值的一般步驟:

        (1)確定函數(shù)的定義域;

        (2)求導(dǎo)數(shù)f′(x);

        (3)求方程f′(x)=0的全部實根;

        (4)檢查方程f′(x)=0的根左右兩側(cè)f′(x)的符號,如果左正右負(fù),那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個根處取得極小值.為判斷方程f′(x)=0的根左右兩側(cè)f′(x)的符號,可用列表的方法:用方程f′(x)=0的根及無意義的點,順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間,并列成表格.根據(jù)極值定義找到相應(yīng)的極值.

        教材例題:求函數(shù)f(x)=■-2的極值.

        解:易知f(x)的定義域為R

        f′(x)=■=■

        令f′(x)=0,解得x=1或x=-1.

        當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況為:

        ∴當(dāng)x=-1時,f(x)有極小值-3;當(dāng)x=1時,f(x)有極大值-1.

        我認(rèn)為,既然新課標(biāo)突出學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng),注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透,那么在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值問題的教學(xué)中,我對此節(jié)內(nèi)容做了如下處理:第一步,求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x);第二步,令f′(x)≥0,解不等式,此不等式的解集在定義域內(nèi)的部分即為函數(shù)f(x)的增區(qū)間,此不等式的解集在定義域內(nèi)的補集即為減區(qū)間;第三步,根據(jù)以上單調(diào)區(qū)間畫出函數(shù)f(x)的大致圖像(求極值,最值只要求畫出圖像增減波浪);第四步,觀察圖像數(shù)形結(jié)合即可快速準(zhǔn)確找出極值、最值.這樣處理教學(xué)的好處是整個思路流暢自然,數(shù)形結(jié)合落到實處,為分類討論提供分類的標(biāo)準(zhǔn),而且能提高解題速度.這里,我希望與大家一起分享,探討教學(xué)的成功與困惑.

        此教學(xué)設(shè)計為黔南州州級課題N130025的研究成果。endprint

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