李翰芳

摘 要： 本文總結(jié)了高階行列式的計算方法，有定義法，化三角行列式法，升降法，遞推法，拆行（列）法，數(shù)學(xué)歸納法，范德蒙行列式法.高階行列式不同形式采用不同的方法計算，靈活運用這些方法，基本上可以解決高階行列式的計算問題.

關(guān)鍵詞： 高階行列式 計算方法 靈活運用

一、引言

行列式的計算是行列式這章很重要的方面，也是學(xué)習(xí)線性代數(shù)的一個難點.對于較低階的行列式可以直接用性質(zhì)進行計算，對于高階行列式若用行列式的性質(zhì)解答，則計算量很大，而且很難解答出來.本文總結(jié)了高階行列式計算的一些方法，有助于計算行列式.

二、高階行列式的計算方法

方法1：定義法

這一類型的情況一般行列式中零比較多，根據(jù)行列式的定義知，行列式展開后，每項都取自行列式不同行，不同列的n個元素的乘積.符號取決于行和列的逆序.

例1：D■=a■ 0 … 00 0 … a■… … …0 a■ 0 0 =（-1）■a■a■a■…a■=（-1）■a■a■…a■

方法2：化三角行列式法

一般用行列式的性質(zhì)將行列式化為上（下）三角行列式進行計算.

例2：

D■=x a■ … a■a■ x … a■… … …a■ a■ … a■a■ a■ … x=x+■a■ a■ … a■x+■a■ x … a■ … … …x+■a■ a■ … a■x+■a■ a■ … x

=（x+■a■） 1 a■ … a■ 1 x … a■… … … 1 a■ … a■ 1 a■ … x

=（x+■a■）1 0 … 01 x-a■ … 0… … …1 a■-a■ … 01 a■-a■ … x-a■=（x+■a■）■（x-a■）

方法3：升（降）法

（1）降階：按行（列）展開計算行列式.

例3：D■=x y 0 … 00 x y … 0… … … …0 0 0 … yy 0 0 … x=x x y … 0 0… … … … 0 0 … x y 0 0 … 0 x+y·（-1）■y■=x■+（-1）■y■

（2）升階加邊法：給行列式加上一行一列，行列式可以化為上（下）三角行列式計算.

例4：計算n階行列式（m≠0）

D■=x■-m x■ … x■ x■ x■-m … x■ … … … x■ x■ … x■-m■1 0 0 … 01 x■-m x■ … x■1 x■ x■-m … x■… … … …1 x■ x■ … x■-m

=1 -x■ -x■ … -x■1 -m 0 … 01 0 -m … 0… … … …1 0 0 … -m=1-■■x■ -x■ -x■ … -x■ 0 -m 0 … 0 0 0 -m … 0 … … … … 0 0 0 … -m=（1-■■x■）（-m）■

方法4：遞推法

遞推方法計算行列式：是將已知行列式按照行（列）展開成結(jié)構(gòu)完全相同的低階行列式，找出結(jié)構(gòu)相同的遞推關(guān)系式，利用遞推關(guān)系求出行列式的值.

例5：計算n階行列式，按照第一列展開

D■=x -1 0 … 00 x -1 … 00 0 x … 0… … … -1a■ a■ a■ … a■+x=-1 0 … 0x -1 … 0… … …0 0 … -1+xx -1 … 00 x … 0… … …a■ a■ … x+a■

得到遞推關(guān)系式D■=xD■+a■，

故D■=xD■+a■=x（xD■+a■）+a■=x■（xD■+a■）+a■x+a■

=…=x■+a■x■+a■x■+…+a■x+a■

方法5：拆行（列）法

利用行列式定義，將行列式拆成幾個行列式之和再進行計算.

例6：計算n階行列式D■=1+x■y■ 1+x■y■ … 1+x■y■1+x■y■ 1+x■y■ … 1+x■ y■1+x■y■ 1+x■y■ … 1+x■y■ … … …1+x■y■ 1+x■y■ … 1+x■y■■

解：當(dāng)n=1時，D■=1+x■y■

當(dāng)n=2時，D■=1+x■y■ 1+x■y■1+x■ y■ 1+x■ y■=（x■-x■）（y■-y■）

當(dāng)n>2將行列式第1列拆成兩列得

D■=1 1+x■y■ … 1+x■y■1 1+x■ y■ … 1+x■ y■1 1+x■y■ … 1+x■y■… … …1 1+x■y■ … 1+x■y■■+x■y■ 1+x■y■ … 1+x■y■x■ y■ 1+x■ y■ … 1+x■ y■x■y■ 1+x■y■ … 1+x■y■… … …x■y■ 1+x■y■ … 1+x■y■■

=1 x■y■ x■y■ … x■y■1 x■ y■ x■ y■ … x■ y■1 x■y■ x■y■ … x■y■… … … …1 x■y■ x■y■ … x■y■

+y■x■ 1+x■y■ 1+x■y■ … 1+x■y■x■ 1+x■ y■ 1+x■ y■ … 1+x■ y■x■ 1+x■y■ 1+x■y■ … 1+x■y■… … … …x■ 1+x■y■ 1+x■y■ … 1+x■y■■=0

方法6：數(shù)學(xué)歸納法

例7：證明D■=α+β αβ 0 … 0 1 α+β αβ … 0 0 1 α+β … 0… … … … 0 0 0 … α+β=■

證明：當(dāng)n=1時，D■=α+β等式顯然成立.

假設(shè)對于小于n自然數(shù)，等式仍成立.

當(dāng)k=n時，將D■按第一列展開

D■=α+β αβ 0 … 0 0 1 α+β αβ … 0 0 0 1 α+β … 0 0 … … … … … 0 0 0 … 1 α+β=（α+β）D■-αβD■

利用歸納假設(shè)，有：

D■=（α+β）■-αβ■=■結(jié)論成立，

因此對于所有的正整數(shù)N結(jié)論成立.

類型7：范德蒙行列式法

只要行列式結(jié)構(gòu)符合范德蒙行列式結(jié)構(gòu)就可以進行計算了，有些行列式形式上看起來不像范德蒙行列式，但是經(jīng)過一定的變形之后就是范德蒙行列式.

例8：計算D■=a■■ a■■b■ … b■■a■■ a■■b■ … b■■… … … a■■ a■■b■ … b■■a■a■…a■≠0

此行列式可化為范德蒙行列式

解：D■=a■■a■■…a■■1 ■ … （■）■1 ■ … （■）■… … …1 ■ … （■）■=a■■…a■■ 1 1 … 1 ■ ■ … ■ … … …（■）■ （■）■ … （■）■

=a■■a■■…a■■■（■-■）

參考文獻：

[1]蔡光興，李逢高.線形代數(shù)（第三版）[M].2011.

[2]鄭列，耿亮.線性代數(shù)應(yīng)用與提高[M].2012.

[3]耿亮.線性代數(shù)習(xí)題集[M].2011.

[4]黃基廷，趙麗棉.高階行列式的計算方法與技巧[J].科技信息，2010（23）.