戴習民， 朱曉臨， 張仁瓊

(1.合肥工業(yè)大學數學學院，合肥230009； 2.合肥工業(yè)大學圖書館，合肥230009)

1 引 言

利率期限結構是指不同期限的利率與期限之間的函數關系.刻畫利率期限結構的主要工具是無風險收益率曲線，它是一條以時間為橫坐標，以各時間點對應的無風險利率為縱坐標的曲線，也稱作零息利率曲線、收益率曲線.和零息利率等價的刻畫利率期限結構的工具是貼現函數和瞬時遠期利率，這三者之間可以互推.在經濟活動中，零息利率是基準利率，發(fā)揮著基礎性地位的重要作用. 但由于市場上金融產品的種類有限，不能直接觀察到所有期限的無風險利率水平，因此只能依靠市場有限的金融產品，通過建立數學模型來建立整個期限上的利率期限結構.考慮到對無風險的要求，通常選取各國以國家信用為擔保的國債作為無風險債券.

在對利率曲線結構的建模研究中，一種常見的類型就是靜態(tài)模型法.這種方法根據市場上已有的國債價格數據，從中獲取有限個時點上的利率期限結構的信息，再通過插值、擬合等數值方法來獲取整個期限上的利率期限結構.發(fā)展最豐富、應用最廣泛的的就是基于廣義樣條函數的擬合模型，根據所使用的樣條函數種類可分為多項式樣條模型、指數樣條模型、B樣條模型以及平滑樣條模型、Hermite插值模型等.其中三次B樣條函數因其功能強大、簡潔易用的特點而被廣泛應用.

McCulloch(1971，1975)[1,2]最早將多項式樣條函數應用于利率期限結構的估計，該方法假設貼現函數為分段連續(xù)的多項式函數，通過多元線性回歸估計每段多項式的系數，從而構建貼現函數；Vasicek和Fong(1982)[3]運用的是指數樣條函數；Steeley(1991)[4]首先引入了B樣條模型；Deacon和Derry(1994)[5]通過比較各種方法后認為三次B樣條模型在實踐中具有最好的效果；Marico和Marcelo(2010)[6]運用了約束光滑B樣條(CBOS)法.在國內，楊春鵬和曹興華(2002)[7]利用回歸插補法和三次樣條插值法來構造我國的國債到期收益率曲線；朱峰(2003)[8]對三次B樣條模型和Svensson(1995)[9]模型對于我國國債收益率曲線的擬合效果進行比較研究發(fā)現，Svensson模型的擬合精度較好，而三次B樣條模型則在擬合效果的穩(wěn)定性上占優(yōu)；劉燦和易璐(2004)[10]則利用B樣條函數法實證研究了我國深滬兩市國債收益率的期限結構.

在確定B樣條函數的節(jié)點向量時，多數文獻采用了Mcculloch建議的原則，即樣條的段數約等于樣本數量的平方根，而節(jié)點的選擇應使得剩余期限落在每段樣條區(qū)間里面的債券的數目大致相等，且取的節(jié)點都是整數值節(jié)點.我們稱這種方法為“等額債券數目法”.在這種方法指導下，國內關于我國國債利率期限結構的研究文獻，大都將樣條的段數取為3，需要四個不同的內節(jié)點.在考慮我國債券的實際期限的基礎上對此方法作微小變化調整的還有如下類型：閔曉平、田澎(2006)[11]將內節(jié)點設置為固定的{0,5,7,20}；劉燦和易璐(2004)[10]則使用了等距節(jié)點法，所取的內節(jié)點為{0,7,14,20}；朱世武、陳健恒(2003)[12]考慮使得每個分段函數中相應的國債數量要保持平均以及為了利率曲線的平滑過渡，所取的內節(jié)點為{0,5,8,20}.

以上這些節(jié)點位置的取法，一方面沒有考慮到有現金流量產生的時間點對決定利率期限結構的意義，另一方面，也沒有考慮到現金流量的大小對利率期限結構的影響.但正是債券的現金流的時間點和現金流的大小從本質上決定了利率的期限結構，因此在構建利率期限結構模型時，應該在模型中盡快的能將這兩項指標融合到模型的變量選取和關系設置中去，這樣才更符合具體的實際經濟含義.基于這種角度考慮，本文采用了一種新的節(jié)點向量確定方法，即“等額現金流量法”.這種方法以產生現金流的時間點為節(jié)點，以使得各樣條區(qū)間段內的現金流量盡可能相等為標準，來確定樣條的節(jié)點位置.實證研究的結果顯示，這種方法擬合的利率期限結構的形狀比較符合經濟原理，而且對債券價格的估計誤差要比“等額債券數目法”極其衍生的幾個方法有優(yōu)勢.

2 模型的理論分析

假定起始時刻為0，記未來t時刻的貼現函數值為δ(t)，與之相應的零息票收益率曲線為r(t)、瞬時遠期利率曲線為f(t)，這三者之間滿足如下關系式：

(1)

(2)

假設國債市場所蘊含的貼現函數為δ(t)，對第l只附息債券. 如果它在將來的Nl個時刻tj(j=1,…,Nl)，分別支付數量為C(tj)的現金流，那么它在當前時點的價格Pl應為

(3)

其中l(wèi)=1,…,M，M為債券數目.

本文選擇用三段三次B樣條曲線來擬合貼現函數.因此，要選定四個不同的內節(jié)點，連同首末節(jié)點，總共需要給定八個節(jié)點.記節(jié)點向量為

knots={t0,t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7}，

其中t2

knots={0,0,0,t3,t4,T,T,T},

其中0表示把取得樣本債券的日期當成起始時刻，記為0時，T為樣本債券中剩余期限的最大值.

在內節(jié)點位置的選擇上，我們采用一種新的“等額現金流量法”.具體做法如下.首先根據選擇的樣本數據，計算出樣本中每種國債的付息時間點，所有這些時間點(包括每種國債的到期日，在該日債券將支付票面價值和最后一次利息)都將作為節(jié)點的候選點；其次，計算出這組債券在整個時間段[0,T]上的現金流的總和，其中T是所有債券剩余期限的最大值；最后從候選點中確定出t3和t4，使分別落在區(qū)間[0,t3]，(t3,t4]和(t4,T]上的現金流量大致相等.稱這種決定樣條節(jié)點向量的方法為“等額現金流量法”.

記以上節(jié)點決定的六個三次B樣條基函數為

關于B樣條基函數的de-Boor Cox 算法，請參見[13,14]，本文不再贅述.

記貼現函數δ(t)的擬合函數為，用三次B樣條函數來擬合貼現函數

(4)

其中ai為待定系數，也稱曲線的控制頂點.

(5)

由于估計價格與實際價格存在一定的誤差，記

其中Pl為市場價格.

因此模型的目標函數設為

(6)

即求得ai,i=0,…,5，使得擬合的債券價格與實際價格的誤差平方和最小.實現以上目標的過程，運用普通最小二乘線性回歸(OLSR)即可實現.

3 模型的實證研究

本節(jié)選取2013年1月11日上海證券交易所的記賬式國債交易數據進行實證研究(在2013年內，當日有交易量的債券數目較大).剔除交易量為零、浮動利息及發(fā)行價不等于100的債券，剩余的14只國債作為樣本數據，樣本數據見表1.數據來源：Wind金融資訊.

計算了以上14只債券未來所有的付息日和到期日這些時間點，以及這些時間點上的現金流.其中最長剩余期限為12.35年，所有時間點上的現金流總和為1652.03元，根據在前節(jié)描述的等額現金流法的節(jié)點決定方法，最終選取的節(jié)點向量為

knots={0,0,0,2.13,4.70,12.35,12.35,12.35},

其中在區(qū)間[0,2.13]上的現金流量和為588.11元，在區(qū)間(2.13,4.70]上的現金流量和為474.33元，在區(qū)間(4.70,12.35]上的現金流量和為589.59元.

模型擬合結果如下：

1.擬合的系數ai,i=0,…,5為

{1.00369， 0.967806， 0.946334， 0.781427， 0.714627， 0.625992}.

表1 樣本數據

2.擬合模型的總體檢驗.

表2 模型的各系數的檢驗

模型總體擬合優(yōu)度R2=0.999966; AdjustedR2=0.999941.

由上可知，模型的擬合優(yōu)度很高，各系數都高度顯著，說明模型的設置是合理的，能充分擬合樣本數據.

{1.51365, -0.907492, 0.256758, 0.222955, -0.124293, -0.396907, -0.151851,

-0.27091, 0.00951531, 0.203761, 0.720245, -0.834808, -0.084174, -0.258854}.

4.模型擬合的貼現函數、收益曲線、瞬時遠期利率曲線的圖像見圖1.

(a) 貼現函數 (b)收益率曲線 (c)瞬時遠期利率曲線圖1 利率期限結構的三個函數圖像

根據以上的結果可知，模型估計的貼現函數在0時的值幾乎等于1，符合現實的經濟意義.貼現函數圖像呈現平穩(wěn)的單調遞減形狀，與經濟學中貨幣的時間價值理論符合.估計的收益率曲線顯示，2013年1月11日，我國國債市場蘊含的1年期左右的短期收益率偏高.但2年期及2年期以上的中長期收益率呈平穩(wěn)上升趨勢，符合利率假說的流動性偏好理論，也與我國資本市場的實際利率情況相符.瞬時遠期利率曲線也顯示市場預期未來2年以內的短期收益率偏高，將有下降趨勢，未來2年后至至5年內間的利率將顯著上升，而未來5年以后的利率將有先小幅下降再上升的趨勢.

4 與其他模型的比較

本節(jié)將本文采取的“等額現金流量法”與“等額債券數目法”及其衍生模型作比較，繪制了每一種模型的三種表示利率期限結構的函數的圖像，并給出了每種模型對債券價格估計的三種誤差.

首先對表1所提供的數據，采用上述的“等額債券數目法”來決定節(jié)點向量，產生了三個對照模型1，2，3，用內節(jié)點為{0,5,7,20}產生對照模型4，用內節(jié)點為{0,5,8,20}產生對照模型5，用內節(jié)點為{0,7,14,20}產生對照模型6.所有模型擬合的利率期限結構圖像限于篇幅不在此一一列出.所有模型對債券價格的擬合誤差統(tǒng)一在表3中.

為了模型之間比較時在整個時間區(qū)間上的統(tǒng)一性，統(tǒng)一取所有模型中的T=20.誤差計算方法我們選用了常用的三種：

均方根誤差RMSE：

(7)

平均絕對誤差MAE：

(8)

百分比均方根誤差PRMSE：

(9)

誤差計算結果如表3.

表3 本文模型對債券價格的估計誤差

從擬合的利率期限結構圖形來看，本文模型擬合的三條曲線也比較合理，基本符合實際經濟含義，不足之處在于遠期瞬時利率曲線在末端點處有一定程度的偏離現象.對照模型4，5，6的收益率曲線在近端點的圖形不符合實際經濟意義，對照模型6的收益率曲線和瞬時遠期利率曲線都不符合實際經濟含義，模型效果不佳. 對照模型5的三種圖形都很異常，而且所有對照模型在末端都有一定程度的偏離現象.而根據表3提供的對債券價格的擬合誤差來看，在三種誤差指標中，本文模型都是最小的.綜上可知，本文所采用的“等額現金流量法”來確定樣條節(jié)點的技術是一種更好的選擇.

另外，我們還進行了模型的穩(wěn)健性測試，采用了其他隨機抽取的交易日的數據，將本文模型和其他六種模型做比較，結果顯示，本文模型在不同的樣本數據情況下，表現穩(wěn)定，擬合的利率期限結構基本符合現實情況，沒有出現劇烈的變動.在對債券價格的估計誤差上，本文模型在債券數目較多時占顯著優(yōu)勢，在債券數目較少時，本文模型處于中間水平.綜合兩方面情況，顯示本文模型是一個較好的選擇.

5 結 論

本文采用“等額現金流量法”來確定樣條節(jié)點向量，將債券的兩個本質要素，附息時間點和現金流量大小結合到了模型中去，使得模型和實際經濟情況更密切結合，更能揭示債券價格所蘊含的利率期限結構.將本文模型的結果與采用“等額債券數目法”模型的三種結果、固定節(jié)點向量的三種模型結果統(tǒng)一作了比較.實證研究結果顯示，我們的方法在表示利率期限結構的三種函數圖像上均具有良好的表現，總體上基本符合理論經濟假說和實際經濟情況.而對照的六種模型，三種函數的圖像都不同程度的出現了不符合實際經濟情況的現象.

在對債券價格的估計誤差上，本文模型在債券數目越多時越能體現出其優(yōu)勢.造成這種現象的重要原因是樣本數據中債券數量的減少，使得總體時間上現金流時間點和現金流量都減少，從而提供的有實際意義的信息量減少，因而降低了本文模型的擬合效果.我國債券市場發(fā)展程度不夠，發(fā)行的債券數目總體較少，每個交易日有交易量的債券數目更少，因此使得本文模型的優(yōu)勢在實證研究中沒有充分體現.如果借助債券市場發(fā)達國家的數據，在更多的債券價格作為樣本的情況下，可能會更好的體現我們模型的優(yōu)勢，這方面的實證研究還有待下一步工作來進行.

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