曾可依

(重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶401331)

1 引 言

數(shù)學(xué)分析中的微分中值定理是指Rolle，Lagrange，Cauchy三個微分中值定理.它們是數(shù)學(xué)分析中的基本內(nèi)容.不同的教材處理這三個定理的方式也不盡相同.一般有兩種方式：一種是按認識事物的過程來講解，即先介紹Rolle中值定理，再利用它構(gòu)造輔助函數(shù)來證明Lagrange中值定理，最后推廣到Cauchy中值定理[1]；另一種處理方式是先證明Rolle中值定理，然后統(tǒng)一地處理Lagrange中值定理和Cauchy中值定理[2].

關(guān)于微分中值定理的研究有很多方面， 主要涉及它的證明及其應(yīng)用[4].例如，利用微分中值定理去判斷函數(shù)的零點、函數(shù)的最值點、求函數(shù)的極限、證明一些特殊的不等式以及導(dǎo)數(shù)的估計等等.在證明或應(yīng)用微分中值定理時，往往會提及中值定理的幾何意義，一般不夠深刻.本文將系統(tǒng)地闡述這三個中值定理背后所隱藏的幾何背景，并不強調(diào)它們的證明或應(yīng)用.幾何上，我們將指出這三個定理本質(zhì)上其實是一回事.

2 2合同變換

〈v,w〉∶=x1x2+y1y2,

O(2)={T是2×2矩陣|T·Tt=I2}.

3 2中曲線的相切

按照運動學(xué)的觀點，平面上的曲線可以理解為一個質(zhì)點在一段時間內(nèi)在平面上運動的軌跡.數(shù)學(xué)上，平面上的曲線可以看成從開區(qū)間(a,b)到2的一個映射，即

下面我們給出曲線相切的定義，即

則稱曲線γ1(t),γ2(t)在P點相切.

證設(shè)曲線

γ1(t)=(x1(t),y1(t)),γ2(t)=(x2(t),y2(t)),t∈(-ε,ε);

由已知條件并注意到P0是常值向量，可得

;

4 微分中值定理的幾何觀點

本節(jié)我們將利用前面的準備知識，從幾何的角度去看這三個微分中值定理.

Rolle中值定理設(shè)f是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，那么存在一點ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0.

圖1

如圖1所示，Rolle中值定理的幾何等價說法是：對于第一類可導(dǎo)曲線γ(x)=(x,f(x))，在定理的條件下，則存在γ(x)上的一點γ(ξ)，ξ∈(a,b)，以及一條直線lξ滿足：

(i)lξ過點γ(ξ);

(ii)lξ的斜率k=0；

(iii)lξ與γ(x)相切于點γ(ξ).

Lagrange中值定理設(shè)f是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么存在一點ξ∈(a,b)，使得

圖2

類似于Rolle中值定理，如圖2所示，Lagrange中值定理是說：對于端點不在水平直線上的第一類可導(dǎo)曲線γ(x)，在定理的條件下，則存在γ(x)上的一點γ(ξ)，ξ∈(a,b)，以及一條直線lξ滿足：

(i)lξ過點γ(ξ);

(iii)lξ與γ(x)相切于點γ(ξ).

圖3

Cauchy中值定理設(shè)f和g是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)x∈(a,b)時g′(x)≠0，那么存在一點ξ∈(a,b)，使得

在Rolle和Lagrange中值定理的幾何描述時，所遇到的曲線是第一類可導(dǎo)曲線.下面我們指出Cauchy中值定理事實上是Lagrange中值定理的第二類曲線版本.事實上，x∈(a,b)時g′(x)≠0，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的介值性，我們可以假定當(dāng)x∈(a,b)時g′(x)>0，即函數(shù)t=g(x)嚴格單調(diào)增.因此，函數(shù)t=g(x)可逆，記為x=g-1(t).因此，第二類曲線γ(x)=(g(x),f(x)),x∈(a,b)，可以改寫為第一類曲線：γ(t)=(t,F(t))，其中t∈(g(a),g(b))，F(xiàn)(t)=f(g-1(t)).

注意到，

從而對γ(t)運用Lagrange中值定理便得到Cauchy中值定理.

綜上所述，我們可以說Rolle中值定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理是歐氏幾何學(xué)中曲線相切這一現(xiàn)象在不同坐標系中或在不同曲線的表示形式下的各種描述，其幾何本質(zhì)是相同的.

[參 考 文 獻]

[1] 陳紀修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2] 常庚哲，史濟懷.數(shù)學(xué)分析教程(上冊)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 彭家貴，陳卿.微分幾何[M].北京：高等教育出版社，2002.

[4] 張慶娜.微分中值定理及其應(yīng)用[D].安陽師范學(xué)院畢業(yè)論文，2010.