曾可依
(重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,重慶401331)
數(shù)學(xué)分析中的微分中值定理是指Rolle,Lagrange,Cauchy三個微分中值定理.它們是數(shù)學(xué)分析中的基本內(nèi)容.不同的教材處理這三個定理的方式也不盡相同.一般有兩種方式:一種是按認識事物的過程來講解,即先介紹Rolle中值定理,再利用它構(gòu)造輔助函數(shù)來證明Lagrange中值定理,最后推廣到Cauchy中值定理[1];另一種處理方式是先證明Rolle中值定理,然后統(tǒng)一地處理Lagrange中值定理和Cauchy中值定理[2].
關(guān)于微分中值定理的研究有很多方面, 主要涉及它的證明及其應(yīng)用[4].例如,利用微分中值定理去判斷函數(shù)的零點、函數(shù)的最值點、求函數(shù)的極限、證明一些特殊的不等式以及導(dǎo)數(shù)的估計等等.在證明或應(yīng)用微分中值定理時,往往會提及中值定理的幾何意義,一般不夠深刻.本文將系統(tǒng)地闡述這三個中值定理背后所隱藏的幾何背景,并不強調(diào)它們的證明或應(yīng)用.幾何上,我們將指出這三個定理本質(zhì)上其實是一回事.
〈v,w〉∶=x1x2+y1y2,
O(2)={T是2×2矩陣|T·Tt=I2}.
按照運動學(xué)的觀點,平面上的曲線可以理解為一個質(zhì)點在一段時間內(nèi)在平面上運動的軌跡.數(shù)學(xué)上,平面上的曲線可以看成從開區(qū)間(a,b)到2的一個映射,即
下面我們給出曲線相切的定義,即
則稱曲線γ1(t),γ2(t)在P點相切.
證設(shè)曲線
γ1(t)=(x1(t),y1(t)),γ2(t)=(x2(t),y2(t)),t∈(-ε,ε);
由已知條件并注意到P0是常值向量,可得
;
本節(jié)我們將利用前面的準備知識,從幾何的角度去看這三個微分中值定理.
Rolle中值定理設(shè)f是[a,b]上的連續(xù)函數(shù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a)=f(b),那么存在一點ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0.
圖1
如圖1所示,Rolle中值定理的幾何等價說法是:對于第一類可導(dǎo)曲線γ(x)=(x,f(x)),在定理的條件下,則存在γ(x)上的一點γ(ξ),ξ∈(a,b),以及一條直線lξ滿足:
(i)lξ過點γ(ξ);
(ii)lξ的斜率k=0;
(iii)lξ與γ(x)相切于點γ(ξ).
Lagrange中值定理設(shè)f是[a,b]上的連續(xù)函數(shù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么存在一點ξ∈(a,b),使得
圖2
類似于Rolle中值定理,如圖2所示,Lagrange中值定理是說:對于端點不在水平直線上的第一類可導(dǎo)曲線γ(x),在定理的條件下,則存在γ(x)上的一點γ(ξ),ξ∈(a,b),以及一條直線lξ滿足:
(i)lξ過點γ(ξ);
(iii)lξ與γ(x)相切于點γ(ξ).
圖3
Cauchy中值定理設(shè)f和g是[a,b]上的連續(xù)函數(shù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且當(dāng)x∈(a,b)時g′(x)≠0,那么存在一點ξ∈(a,b),使得
在Rolle和Lagrange中值定理的幾何描述時,所遇到的曲線是第一類可導(dǎo)曲線.下面我們指出Cauchy中值定理事實上是Lagrange中值定理的第二類曲線版本.事實上,x∈(a,b)時g′(x)≠0,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的介值性,我們可以假定當(dāng)x∈(a,b)時g′(x)>0,即函數(shù)t=g(x)嚴格單調(diào)增.因此,函數(shù)t=g(x)可逆,記為x=g-1(t).因此,第二類曲線γ(x)=(g(x),f(x)),x∈(a,b),可以改寫為第一類曲線:γ(t)=(t,F(t)),其中t∈(g(a),g(b)),F(xiàn)(t)=f(g-1(t)).
注意到,
從而對γ(t)運用Lagrange中值定理便得到Cauchy中值定理.
綜上所述,我們可以說Rolle中值定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理是歐氏幾何學(xué)中曲線相切這一現(xiàn)象在不同坐標系中或在不同曲線的表示形式下的各種描述,其幾何本質(zhì)是相同的.
[參 考 文 獻]
[1] 陳紀修,於崇華,金路.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].北京:高等教育出版社,2004.
[2] 常庚哲,史濟懷.數(shù)學(xué)分析教程(上冊)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[3] 彭家貴,陳卿.微分幾何[M].北京:高等教育出版社,2002.
[4] 張慶娜.微分中值定理及其應(yīng)用[D].安陽師范學(xué)院畢業(yè)論文,2010.