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        兩個非獨立正態(tài)變量的聯(lián)合分布不服從二維正態(tài)分布的示例

        2014-09-22 02:24:46張立卓
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2014年2期
        關(guān)鍵詞:逆命題連續(xù)型概率分布

        張立卓

        (對外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院,北京100029)

        在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教材中,我們可以看到下列結(jié)論:

        原命題如果二維隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則無論隨機(jī)變量X與Y是否相互獨立,隨機(jī)變量X,Y均服從一維正態(tài)分布,且有

        同時

        注意到,當(dāng)相關(guān)系數(shù)ρ≠0時,X與Y不相互獨立.

        逆命題無論一維隨機(jī)變量X與Y是否相互獨立,只要X與Y均服從正態(tài)分布,則其聯(lián)合概率分布(X,Y)服從二維正態(tài)分布.

        對逆命題的理解可以分為如下兩部分:

        逆命題A若一維隨機(jī)變量X與Y相互獨立,且X與Y均服從正態(tài)分布,則其聯(lián)合概率分布(X,Y)服從二維正態(tài)分布,且有

        同時

        逆命題B若一維隨機(jī)變量X與Y不相互獨立,只要X與Y均服從正態(tài)分布,則其聯(lián)合概率分布(X,Y)服從二維正態(tài)分布.

        命題A顯然成立,命題B不成立,請看示例.

        例1設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨立,同服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1).令隨機(jī)變量

        試證明Z~N(0,1),但隨機(jī)變量(Y,Z)不服從二維正態(tài)分布.

        分析 要證明Z~N(0,1),只需證明Z的分布函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).可將{X≥0}及{X<0}作為完備事件組,利用全概率公式求解.假如隨機(jī)變量(Y,Z)服從二維正態(tài)分布,則一維隨機(jī)變量Y±Z應(yīng)服從一維正態(tài)分布,P{Y±Z=0}=0,此時可依題意考查P{Y±Z=0}是否等于0[1].

        證設(shè)Z的分布函數(shù)為FZ(z),視{X≥0}與{X<0}為一個完備事件組,注意X與Y的獨立性,由全概率公式,

        FZ(z) =P{Z≤z}

        =P{Z≤z|X<0}·P{X<0}+P{Z≤z|X≥0}·P{X≥0}

        =P{-|Y|≤z|X<0}·P{X<0}+P{|Y|≤z|X≥0}·P{X≥0}

        當(dāng)z≥0時,

        當(dāng)z<0時,

        其中Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),所以Z~N(0,1).依題意,

        P{Y-Z=0}=P{Y-Z=0|X<0}·P{X<0}+P{Y-Z=0|X≥0}·P{X≥0}

        =P{Y+|Y|=0|X<0}·P{X<0}+P{Y-|Y|=0|X≥0}·P{X≥0}

        =P{Y+|Y|=0}P{X<0}+P{Y-|Y|=0}P{X≥0}

        眾所周知,一維連續(xù)型隨機(jī)變量在任一定點處的概率值均為零,因此隨機(jī)變量Y+Z,Y-Z不是一維連續(xù)型,所以隨機(jī)變量(Y,Z)不是二維連續(xù)型,從而(Y,Z)不服從二維正態(tài)分布.

        事實上,從本例題目中Z與Y的關(guān)系上可以看出,隨機(jī)變量Y與Z不相互獨立.這一點也可以從所得結(jié)論考查.如果Y與Z相互獨立,又已知Y與Z均服從正態(tài)分布,則由逆命題A知,聯(lián)合分布(Y,Z)服從二維正態(tài)分布,矛盾!

        歸納總結(jié) (i) 若兩個一維連續(xù)型隨機(jī)變量不相互獨立,則其和或差分布有可能不服從一維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布,其聯(lián)合分布有可能不服從二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布.

        (ii) 若兩個一維正態(tài)變量不相互獨立,則其聯(lián)合分布有可能不服從二維正態(tài)分布,其和或差分布有可能不服從一維正態(tài)分布.

        例2設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1),隨機(jī)變量Y的分布律為

        且X與Y相互獨立.令隨機(jī)變量Z=XY,證明Z~N(0,1),但隨機(jī)變量(X,Z)不服從二維正態(tài)分布[2].

        分析 要證明Z~N(0,1),方法同例1.關(guān)于隨機(jī)變量(X,Z)不服從二維正態(tài)分布的證明,除上例方法外,還可依如下思路:假如隨機(jī)變量(X,Z)服從二維正態(tài)分布,則X與Z的不相關(guān)性與獨立性等價,此時可考查X與Z的不相關(guān)性與獨立性.

        證設(shè)Z的分布函為FZ(z),視{Y=-1}與{Y=1}為一個完備事件組,注意X與Y的獨立性,由全概率公式得

        FZ(z) =P{Z≤z}=P{XY≤z}

        =P{XY≤z|Y=-1}·P{Y=-1}+P{XY≤z|Y=1}·P{Y=1}

        =P{X≥-z}·P{Y=-1}+P{X≤z}·P{Y=1}

        =0.5(1-Φ(-z))+0.5Φ(z)

        =Φ(z) (Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)),

        所以Z~N(0,1).

        下面用兩種方法證明隨機(jī)變量(X,Y)不服從二維正態(tài)分布.

        證法1P{X-Z=0}

        =P{X-XY=0}

        =P{X(Y-1)=0|Y=-1}P{Y=-1}+P{X(Y-1)=0|Y=1}P{Y=1}

        類似地,

        所以X±Z不是一維連續(xù)隨機(jī)變量,從而(X,Z)不是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,因此隨機(jī)變量(X,Z)不服從二維正態(tài)分布.

        證法2由題設(shè),E(X)=E(Y)=0,且X與Y相互獨立.依定義,X與Z的協(xié)方差為

        Cov(X,Z) =Cov(X,XY)=E(X2Y)-E(X)E(XY)

        =E(X2)E(Y)-E(X)E(X)E(Y)=0.

        又D(X)=1,D(Z)=1,從而

        因此X與Z不相關(guān).

        對于兩特定事件{X≥1}與{Z≤1},利用全概率公式,

        P{X≥1,Z≤1}

        =P{X≥1,XY≤1}

        =P{X≥1,XY≤1|Y=-1}P{Y=-1}+P{X≥1,XY≤1|Y=1}P{Y=1}

        =P{X≥1,X≥-1|Y=-1}P{Y=-1}+P{X≥1,X≤1|Y=1}P{Y=1}

        {X≥1,X≥-1}+P{X≥1,X≤1})

        P{X≥1,Z≤1}≠P{X≥1}·P{Z≤1}.

        依定義,隨機(jī)變量X與Z不相互獨立.

        由X與Z不相關(guān)但X與Z不相互獨立可知,隨機(jī)變量(X,Z)不服從二維正態(tài)分布.

        歸納總結(jié) 即使兩個一維正態(tài)隨機(jī)變量不相關(guān),但只要不相互獨立,則其聯(lián)合分布有可能不服從二維正態(tài)分布.

        例3設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

        其中

        證明二維隨機(jī)變量(X,Y)的邊緣分布都是正態(tài)分布,但(X,Y)不服從二維正態(tài)分布.

        分析 在該例中,二維隨機(jī)變量(X,Y)是連續(xù)型,可先依定義求出兩個邊緣概率密度,確認(rèn)其所服從的正態(tài)分布,再考查X與Y的獨立性與不相關(guān)性.

        證設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的邊緣概率密度分別為fX(x),fY(y),依定義,

        即X~N(0,1).類似地,

        , -∞

        即Y~N(0,1).由題設(shè),當(dāng)-π

        f(x,y)≠fX(x)·fY(y),

        所以隨機(jī)變量X與Y不相互獨立.

        由上述結(jié)論知,E(X)=E(Y)=0,

        =0,

        Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.

        所以X與Y不相關(guān).

        由X與Y不相關(guān)但X與Y不相互獨立可知,隨機(jī)變量(X,Y)不服從二維正態(tài)分布.

        歸納總結(jié) 即使兩個一維正態(tài)變量不相關(guān)且其聯(lián)合分布是二維連續(xù)型,但只要二者不相互獨立,則其聯(lián)合分布仍有可能不服從二維正態(tài)分布.

        面對一個數(shù)學(xué)命題,其結(jié)論有時會被學(xué)生逆過來使用.如果逆命題不成立,那就需要教師挖掘反例來給予佐證說明.特別是來自不同角度的反例,會使學(xué)生對該定理的理解更加深刻與準(zhǔn)確,這種挖掘反例的教學(xué)方法也為教師構(gòu)想教學(xué)環(huán)節(jié)帶來了新的思路.

        在設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)中,教師要注意以下三個方面:第一,教師需將知識點科學(xué)系統(tǒng)地融合在一起,引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握課程知識體系的脈絡(luò),這樣才能使學(xué)生能融會貫通地領(lǐng)悟貫穿于其中的數(shù)學(xué)思想.第二,從分析推理的展開,計算與論證的實施,到凝練、延伸與升華,教師需向?qū)W生闡明數(shù)學(xué)方法在解決問題的過程中所發(fā)揮的作用與功能.第三,數(shù)學(xué)技巧往往來自豐富的想象與繁銳的洞察力,其在計算與論證中所顯示出的靈活性與敏捷性,對引發(fā)、開拓和深化學(xué)生的理性思維有著深遠(yuǎn)的影響[3].這也是學(xué)生應(yīng)有所體驗與認(rèn)識的.因此,數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)技巧是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵要素,是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂,是教師在教學(xué)中應(yīng)給予總結(jié)與傳承的.

        [參 考 文 獻(xiàn)]

        [1] 蘇淳.概率論[M].北京:科學(xué)出版社,2010.

        [2] 茆詩松.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].2版.北京:高等教育出版社,2011.

        [3] 李賢平,沈崇圣,陳子毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2003.

        [4] 宋明娟,朱思宇.隨機(jī)變量變換分布的若干推論及應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2012,28(6),95-99.

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