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        關(guān)于的證明及應(yīng)用

        2014-09-22 06:26:52劉愛春祁根鎖
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2014年2期
        關(guān)鍵詞:利用

        劉愛春, 祁根鎖

        (呼和浩特民族學(xué)院數(shù)學(xué)系, 呼和浩特010051)

        1 引 言

        (1)

        2的證明

        關(guān)于(1)式成立的證明,一般教科書及常見資料上通常采用對函數(shù)f(x)=x2在[-π,π]展成傅立葉級數(shù),并在x=π這一點取值時即可證得[2].本文將給出其他幾種證明方法.

        (i)利用傅立葉級數(shù)證明法

        即?x∈[-π,π],有

        證法1將函數(shù)f(x)=|x|在[-π,π]展成傅立葉級數(shù).因為f(x)=|x|在[-π,π]是偶函數(shù),有

        于是

        特別地,當(dāng)x=π時,有

        所以(1)式成立.

        證法2將函數(shù)f(x)=x+x2在(-π,π)上展成傅立葉級數(shù).將f(x)作周期為2π的延拓,則

        由收斂定理,對?x∈(-π,π),有

        所以(1)式成立.

        因f(x)在(0,2π)上連續(xù),由收斂定理知 ?x∈(0,2π),有

        在端點x=0和x=2π處,其傅立葉級數(shù)收斂于

        令x=2π,有

        所以(1)式成立.

        故由收斂定理,得

        (ii)利用反三角函數(shù)證明法

        證明中用到下列結(jié)果:

        (2)

        ② arcsinx在[-1,1]上的級數(shù)展開式

        (3)

        (4)

        因此有

        所以(1)式成立.

        (iii)利用三角恒等式證明法

        (5)

        sin-2x>x-2>cot2x=sin-2x-1.

        (6)

        3的應(yīng)用

        (i)在求積分題中的應(yīng)用

        逐項積分,得

        另解

        (ii)在證明題中的應(yīng)用

        F(x)=f(x)+f(1-x)+(lnx)[ln(1-x)],

        則F(x)在(0,1)連續(xù).

        其中

        所以

        因此F(x)在(0,1)上為常數(shù).又因為

        綜上可知,當(dāng)0

        [參 考 文 獻(xiàn)]

        [1] 王曉勤. 歐拉與自然數(shù)平方倒數(shù)和[J]. 曲阜師范大學(xué)學(xué)報, 2002, 28 (4):29-33.

        [2] 劉玉璉. 數(shù)學(xué)分析講義(下冊)[M]. 4版.北京:高等教育出版社,2004.

        [3] 陳傳章. 數(shù)學(xué)分析(下冊)[M]. 2版.北京:高等教育出版社,2004.

        [4] 陳紀(jì)修. 數(shù)學(xué)分析(下冊)[M]. 北京:高等教育出版社,2000.

        [5] 胡雁軍. 數(shù)學(xué)分析中的證題方法與難題選解[M]. 鄭州:河南大學(xué)出版社,1985.

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