王莎莎

摘 要： 本文闡述了極限思想的起源和發(fā)展，分析了極限思想的思維本質(zhì)和哲學(xué)意義，研究了極限理論在微積分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)科分支的應(yīng)用，并給出了具體的例子.

關(guān)鍵詞： 起源 極限理論 應(yīng)用 微積分

1.引言

極限理論是整個(gè)微積分的理論基礎(chǔ)，也是極限理論中的基本概念，對(duì)極限理論和極限概念理解和掌握，對(duì)以后的學(xué)習(xí)都會(huì)有很大的影響.極限理論是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的重要轉(zhuǎn)折，極限概念描述的是變量在某一變化過(guò)程中的變化趨勢(shì)，是從有限到無(wú)限、近似到精確、量變到質(zhì)變過(guò)程，與初等數(shù)學(xué)中的概念有很大的區(qū)別，但是如果能從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中了解極限思想和極限理論的形成過(guò)程，弄清極限概念的描述和邏輯表述形式，則對(duì)理解極限理論，掌握和應(yīng)用極限概念，以及極限理論在數(shù)學(xué)，物理及其他學(xué)科的應(yīng)用會(huì)起到很大的作用.

2.極限理論的起源[1]

極限的樸素思想和應(yīng)用可追溯到古代，中國(guó)早在2000年前就已能算出方形、圓形、圓柱等幾何圖形的面積和體積，3世紀(jì)劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)，就是用圓內(nèi)接正多邊形面積的極限是圓面積這一思想近似計(jì)算圓周率，并指出“割之彌細(xì)”“所失彌少”，割之又割，以至不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣，這就是早期的極限思想。到了17世紀(jì)，由于科學(xué)與技術(shù)上的要求促使數(shù)學(xué)家們研究運(yùn)動(dòng)與變化，包括量的變化與形的變換，還產(chǎn)生了函數(shù)概念和無(wú)窮小分析即現(xiàn)在的微積分，使數(shù)學(xué)從此進(jìn)入了一個(gè)研究變量的新時(shí)代.到了17世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨在前人研究的基礎(chǔ)上，分別從物理與幾何的不同思想基礎(chǔ)、不同研究方向，分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué).他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，極限概念被明確提出，但含糊不清.牛頓在發(fā)明微積分的時(shí)候，合理設(shè)想：越小，這個(gè)平均速度應(yīng)當(dāng)越接近物體在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度.這一新的數(shù)學(xué)方法受到數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家歡迎，并充分地運(yùn)用它解決了大量過(guò)去無(wú)法問(wèn)津的科技問(wèn)題，因此，整個(gè)18世紀(jì)可以說(shuō)是微積分的世紀(jì).但由于它邏輯上的不完備也招來(lái)了哲學(xué)上的非難甚至嘲諷與攻擊貝克萊主教曾猛烈地攻擊牛頓的微分概念.實(shí)事求是地講，把瞬時(shí)速度說(shuō)成是無(wú)窮小時(shí)間內(nèi)所走的無(wú)窮小的距離之比，即“時(shí)間微分”與“距離微分”之比，是牛頓一個(gè)含糊不清的表述.其實(shí)，牛頓曾在著作中明確指出：所謂“最終的比”不是“最終的量”的比，而是比所趨近的極限.但他既沒(méi)有清除另一些模糊不清的陳述，又沒(méi)有嚴(yán)格界說(shuō)極限的含義.包括萊布尼茲對(duì)微積分的最初發(fā)現(xiàn)，也沒(méi)有明確極限的意思.因而，牛頓及其后一百年間的數(shù)學(xué)家，都不能有力地還擊貝克萊的這種攻擊，這就是數(shù)學(xué)史上所謂第二次數(shù)學(xué)危機(jī).經(jīng)過(guò)近一個(gè)世紀(jì)的嘗試與醞釀，數(shù)學(xué)家們?cè)趪?yán)格化基礎(chǔ)上重建微積分的努力到19世紀(jì)初開(kāi)始獲得成效.由于法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西、德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉等人的工作，以及實(shí)數(shù)理論的建立，才使極限理論建立在嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)之上.至此極限理論才真正建立起來(lái)，微積分這門(mén)學(xué)科才得以嚴(yán)密化.

3.極限理論在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

假設(shè)曲線y=f（x）有斜漸近線y=kx+b.如圖1所示，曲線上動(dòng)點(diǎn)M到漸近線的距離為

|MN|=|MPcosα|=|f（x）-（kx+b）|■.

按漸近線的定義，當(dāng)x→∝時(shí)，|PN|→0，即有

■[f（x）-（kx+b）]=0，

或

■[f（x）-kx]=b（4.1）

又由

■[■-k]=■■[f（x）-kx]=0·b=0，

得到

■■=k.（4.2）

由上面的討論可知，若曲線y=f（x）有斜漸近線y=kx+b，則常數(shù)k與b可由（4.1）式和（4.2）式確定；反之，若由（4.2）、（4.1）兩式求得k與b，則可知|PN|→0（x→+∝），從而y=kx+b為曲線y=f（x）的漸近線.

例1.求曲線f（x）=■的漸近線.

解由4.2式

■=■→1■

x→∝

得k=1.再由（4.1）式

f（x）-kx=■

x→∝

得b=-2.從而求得此曲線的斜漸近線方程為y=x-2，又由f（x）=■易見(jiàn)

■f（x）=∝，■f（x）=∝，

所以此曲線垂直漸近線x=-3和x=1.

4.結(jié)語(yǔ)

極限理論是微積分學(xué)的基本理論，極限概念是一個(gè)抽象的概念，比較難理解.根據(jù)Siepinska等人的研究認(rèn)為：學(xué)生學(xué)習(xí)極限概念存在五類障礙：恐懼無(wú)限障礙，函數(shù)概念障礙，幾何障礙，邏輯障礙，以及與極限過(guò)程相關(guān)的符號(hào)化的障礙.而且，最嚴(yán)重的困難出現(xiàn)在從極限作為一個(gè)過(guò)程向極限作為一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象并可進(jìn)行運(yùn)算的過(guò)渡中.這樣就需要在教學(xué)中使用適當(dāng)?shù)姆椒ê褪侄?，建立起高度抽象的、具有?yán)密邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)概念.從數(shù)學(xué)發(fā)展史中了解極限思想、極限理論形成的過(guò)程，由具體的實(shí)例到極限的定性描述，再到極限的定量描述；由具體到抽象，由有限到無(wú)“ε-N”“ε-δ”定義有了清晰的、完整的理解.將抽象的字母“ε”，“N”，“δ”與“無(wú)限趨近”等聯(lián)系起來(lái)，這樣才能真正理解極限理論應(yīng)用極限理論解決實(shí)際問(wèn)題才能迎刃而解.如今數(shù)學(xué)分析已經(jīng)成為一門(mén)重要的數(shù)學(xué)分支，對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的面貌的改變作出了不可磨滅的貢獻(xiàn).微積分作為一種重要的數(shù)學(xué)工具，已經(jīng)滲透到科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域.作為微積分基石的極限理論也在隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展而發(fā)展，極限理論為整個(gè)科學(xué)的發(fā)展提供了一個(gè)強(qiáng)大的工具.

參考文獻(xiàn)：

[1]郭書(shū)春.中國(guó)古代數(shù)學(xué)[M].商務(wù)印書(shū)館，2004：45-47.endprint

摘 要： 本文闡述了極限思想的起源和發(fā)展，分析了極限思想的思維本質(zhì)和哲學(xué)意義，研究了極限理論在微積分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)科分支的應(yīng)用，并給出了具體的例子.

關(guān)鍵詞： 起源 極限理論 應(yīng)用 微積分

1.引言

極限理論是整個(gè)微積分的理論基礎(chǔ)，也是極限理論中的基本概念，對(duì)極限理論和極限概念理解和掌握，對(duì)以后的學(xué)習(xí)都會(huì)有很大的影響.極限理論是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的重要轉(zhuǎn)折，極限概念描述的是變量在某一變化過(guò)程中的變化趨勢(shì)，是從有限到無(wú)限、近似到精確、量變到質(zhì)變過(guò)程，與初等數(shù)學(xué)中的概念有很大的區(qū)別，但是如果能從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中了解極限思想和極限理論的形成過(guò)程，弄清極限概念的描述和邏輯表述形式，則對(duì)理解極限理論，掌握和應(yīng)用極限概念，以及極限理論在數(shù)學(xué)，物理及其他學(xué)科的應(yīng)用會(huì)起到很大的作用.

2.極限理論的起源[1]

極限的樸素思想和應(yīng)用可追溯到古代，中國(guó)早在2000年前就已能算出方形、圓形、圓柱等幾何圖形的面積和體積，3世紀(jì)劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)，就是用圓內(nèi)接正多邊形面積的極限是圓面積這一思想近似計(jì)算圓周率，并指出“割之彌細(xì)”“所失彌少”，割之又割，以至不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣，這就是早期的極限思想。到了17世紀(jì)，由于科學(xué)與技術(shù)上的要求促使數(shù)學(xué)家們研究運(yùn)動(dòng)與變化，包括量的變化與形的變換，還產(chǎn)生了函數(shù)概念和無(wú)窮小分析即現(xiàn)在的微積分，使數(shù)學(xué)從此進(jìn)入了一個(gè)研究變量的新時(shí)代.到了17世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨在前人研究的基礎(chǔ)上，分別從物理與幾何的不同思想基礎(chǔ)、不同研究方向，分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué).他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，極限概念被明確提出，但含糊不清.牛頓在發(fā)明微積分的時(shí)候，合理設(shè)想：越小，這個(gè)平均速度應(yīng)當(dāng)越接近物體在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度.這一新的數(shù)學(xué)方法受到數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家歡迎，并充分地運(yùn)用它解決了大量過(guò)去無(wú)法問(wèn)津的科技問(wèn)題，因此，整個(gè)18世紀(jì)可以說(shuō)是微積分的世紀(jì).但由于它邏輯上的不完備也招來(lái)了哲學(xué)上的非難甚至嘲諷與攻擊貝克萊主教曾猛烈地攻擊牛頓的微分概念.實(shí)事求是地講，把瞬時(shí)速度說(shuō)成是無(wú)窮小時(shí)間內(nèi)所走的無(wú)窮小的距離之比，即“時(shí)間微分”與“距離微分”之比，是牛頓一個(gè)含糊不清的表述.其實(shí)，牛頓曾在著作中明確指出：所謂“最終的比”不是“最終的量”的比，而是比所趨近的極限.但他既沒(méi)有清除另一些模糊不清的陳述，又沒(méi)有嚴(yán)格界說(shuō)極限的含義.包括萊布尼茲對(duì)微積分的最初發(fā)現(xiàn)，也沒(méi)有明確極限的意思.因而，牛頓及其后一百年間的數(shù)學(xué)家，都不能有力地還擊貝克萊的這種攻擊，這就是數(shù)學(xué)史上所謂第二次數(shù)學(xué)危機(jī).經(jīng)過(guò)近一個(gè)世紀(jì)的嘗試與醞釀，數(shù)學(xué)家們?cè)趪?yán)格化基礎(chǔ)上重建微積分的努力到19世紀(jì)初開(kāi)始獲得成效.由于法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西、德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉等人的工作，以及實(shí)數(shù)理論的建立，才使極限理論建立在嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)之上.至此極限理論才真正建立起來(lái)，微積分這門(mén)學(xué)科才得以嚴(yán)密化.

3.極限理論在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

假設(shè)曲線y=f（x）有斜漸近線y=kx+b.如圖1所示，曲線上動(dòng)點(diǎn)M到漸近線的距離為

|MN|=|MPcosα|=|f（x）-（kx+b）|■.

按漸近線的定義，當(dāng)x→∝時(shí)，|PN|→0，即有

■[f（x）-（kx+b）]=0，

或

■[f（x）-kx]=b（4.1）

又由

■[■-k]=■■[f（x）-kx]=0·b=0，

得到

■■=k.（4.2）

由上面的討論可知，若曲線y=f（x）有斜漸近線y=kx+b，則常數(shù)k與b可由（4.1）式和（4.2）式確定；反之，若由（4.2）、（4.1）兩式求得k與b，則可知|PN|→0（x→+∝），從而y=kx+b為曲線y=f（x）的漸近線.

例1.求曲線f（x）=■的漸近線.

解由4.2式

■=■→1■

x→∝

得k=1.再由（4.1）式

f（x）-kx=■

x→∝

得b=-2.從而求得此曲線的斜漸近線方程為y=x-2，又由f（x）=■易見(jiàn)

■f（x）=∝，■f（x）=∝，

所以此曲線垂直漸近線x=-3和x=1.

4.結(jié)語(yǔ)

極限理論是微積分學(xué)的基本理論，極限概念是一個(gè)抽象的概念，比較難理解.根據(jù)Siepinska等人的研究認(rèn)為：學(xué)生學(xué)習(xí)極限概念存在五類障礙：恐懼無(wú)限障礙，函數(shù)概念障礙，幾何障礙，邏輯障礙，以及與極限過(guò)程相關(guān)的符號(hào)化的障礙.而且，最嚴(yán)重的困難出現(xiàn)在從極限作為一個(gè)過(guò)程向極限作為一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象并可進(jìn)行運(yùn)算的過(guò)渡中.這樣就需要在教學(xué)中使用適當(dāng)?shù)姆椒ê褪侄危⑵鸶叨瘸橄蟮?、具有?yán)密邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)概念.從數(shù)學(xué)發(fā)展史中了解極限思想、極限理論形成的過(guò)程，由具體的實(shí)例到極限的定性描述，再到極限的定量描述；由具體到抽象，由有限到無(wú)“ε-N”“ε-δ”定義有了清晰的、完整的理解.將抽象的字母“ε”，“N”，“δ”與“無(wú)限趨近”等聯(lián)系起來(lái)，這樣才能真正理解極限理論應(yīng)用極限理論解決實(shí)際問(wèn)題才能迎刃而解.如今數(shù)學(xué)分析已經(jīng)成為一門(mén)重要的數(shù)學(xué)分支，對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的面貌的改變作出了不可磨滅的貢獻(xiàn).微積分作為一種重要的數(shù)學(xué)工具，已經(jīng)滲透到科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域.作為微積分基石的極限理論也在隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展而發(fā)展，極限理論為整個(gè)科學(xué)的發(fā)展提供了一個(gè)強(qiáng)大的工具.

參考文獻(xiàn)：

[1]郭書(shū)春.中國(guó)古代數(shù)學(xué)[M].商務(wù)印書(shū)館，2004：45-47.endprint

摘 要： 本文闡述了極限思想的起源和發(fā)展，分析了極限思想的思維本質(zhì)和哲學(xué)意義，研究了極限理論在微積分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)科分支的應(yīng)用，并給出了具體的例子.

關(guān)鍵詞： 起源 極限理論 應(yīng)用 微積分

1.引言

極限理論是整個(gè)微積分的理論基礎(chǔ)，也是極限理論中的基本概念，對(duì)極限理論和極限概念理解和掌握，對(duì)以后的學(xué)習(xí)都會(huì)有很大的影響.極限理論是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的重要轉(zhuǎn)折，極限概念描述的是變量在某一變化過(guò)程中的變化趨勢(shì)，是從有限到無(wú)限、近似到精確、量變到質(zhì)變過(guò)程，與初等數(shù)學(xué)中的概念有很大的區(qū)別，但是如果能從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中了解極限思想和極限理論的形成過(guò)程，弄清極限概念的描述和邏輯表述形式，則對(duì)理解極限理論，掌握和應(yīng)用極限概念，以及極限理論在數(shù)學(xué)，物理及其他學(xué)科的應(yīng)用會(huì)起到很大的作用.

2.極限理論的起源[1]

極限的樸素思想和應(yīng)用可追溯到古代，中國(guó)早在2000年前就已能算出方形、圓形、圓柱等幾何圖形的面積和體積，3世紀(jì)劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)，就是用圓內(nèi)接正多邊形面積的極限是圓面積這一思想近似計(jì)算圓周率，并指出“割之彌細(xì)”“所失彌少”，割之又割，以至不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣，這就是早期的極限思想。到了17世紀(jì)，由于科學(xué)與技術(shù)上的要求促使數(shù)學(xué)家們研究運(yùn)動(dòng)與變化，包括量的變化與形的變換，還產(chǎn)生了函數(shù)概念和無(wú)窮小分析即現(xiàn)在的微積分，使數(shù)學(xué)從此進(jìn)入了一個(gè)研究變量的新時(shí)代.到了17世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨在前人研究的基礎(chǔ)上，分別從物理與幾何的不同思想基礎(chǔ)、不同研究方向，分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué).他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，極限概念被明確提出，但含糊不清.牛頓在發(fā)明微積分的時(shí)候，合理設(shè)想：越小，這個(gè)平均速度應(yīng)當(dāng)越接近物體在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度.這一新的數(shù)學(xué)方法受到數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家歡迎，并充分地運(yùn)用它解決了大量過(guò)去無(wú)法問(wèn)津的科技問(wèn)題，因此，整個(gè)18世紀(jì)可以說(shuō)是微積分的世紀(jì).但由于它邏輯上的不完備也招來(lái)了哲學(xué)上的非難甚至嘲諷與攻擊貝克萊主教曾猛烈地攻擊牛頓的微分概念.實(shí)事求是地講，把瞬時(shí)速度說(shuō)成是無(wú)窮小時(shí)間內(nèi)所走的無(wú)窮小的距離之比，即“時(shí)間微分”與“距離微分”之比，是牛頓一個(gè)含糊不清的表述.其實(shí)，牛頓曾在著作中明確指出：所謂“最終的比”不是“最終的量”的比，而是比所趨近的極限.但他既沒(méi)有清除另一些模糊不清的陳述，又沒(méi)有嚴(yán)格界說(shuō)極限的含義.包括萊布尼茲對(duì)微積分的最初發(fā)現(xiàn)，也沒(méi)有明確極限的意思.因而，牛頓及其后一百年間的數(shù)學(xué)家，都不能有力地還擊貝克萊的這種攻擊，這就是數(shù)學(xué)史上所謂第二次數(shù)學(xué)危機(jī).經(jīng)過(guò)近一個(gè)世紀(jì)的嘗試與醞釀，數(shù)學(xué)家們?cè)趪?yán)格化基礎(chǔ)上重建微積分的努力到19世紀(jì)初開(kāi)始獲得成效.由于法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西、德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉等人的工作，以及實(shí)數(shù)理論的建立，才使極限理論建立在嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)之上.至此極限理論才真正建立起來(lái)，微積分這門(mén)學(xué)科才得以嚴(yán)密化.

3.極限理論在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

假設(shè)曲線y=f（x）有斜漸近線y=kx+b.如圖1所示，曲線上動(dòng)點(diǎn)M到漸近線的距離為

|MN|=|MPcosα|=|f（x）-（kx+b）|■.

按漸近線的定義，當(dāng)x→∝時(shí)，|PN|→0，即有

■[f（x）-（kx+b）]=0，

或

■[f（x）-kx]=b（4.1）

又由

■[■-k]=■■[f（x）-kx]=0·b=0，

得到

■■=k.（4.2）

由上面的討論可知，若曲線y=f（x）有斜漸近線y=kx+b，則常數(shù)k與b可由（4.1）式和（4.2）式確定；反之，若由（4.2）、（4.1）兩式求得k與b，則可知|PN|→0（x→+∝），從而y=kx+b為曲線y=f（x）的漸近線.

例1.求曲線f（x）=■的漸近線.

解由4.2式

■=■→1■

x→∝

得k=1.再由（4.1）式

f（x）-kx=■

x→∝

得b=-2.從而求得此曲線的斜漸近線方程為y=x-2，又由f（x）=■易見(jiàn)

■f（x）=∝，■f（x）=∝，

所以此曲線垂直漸近線x=-3和x=1.

4.結(jié)語(yǔ)

極限理論是微積分學(xué)的基本理論，極限概念是一個(gè)抽象的概念，比較難理解.根據(jù)Siepinska等人的研究認(rèn)為：學(xué)生學(xué)習(xí)極限概念存在五類障礙：恐懼無(wú)限障礙，函數(shù)概念障礙，幾何障礙，邏輯障礙，以及與極限過(guò)程相關(guān)的符號(hào)化的障礙.而且，最嚴(yán)重的困難出現(xiàn)在從極限作為一個(gè)過(guò)程向極限作為一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象并可進(jìn)行運(yùn)算的過(guò)渡中.這樣就需要在教學(xué)中使用適當(dāng)?shù)姆椒ê褪侄?，建立起高度抽象的、具有?yán)密邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)概念.從數(shù)學(xué)發(fā)展史中了解極限思想、極限理論形成的過(guò)程，由具體的實(shí)例到極限的定性描述，再到極限的定量描述；由具體到抽象，由有限到無(wú)“ε-N”“ε-δ”定義有了清晰的、完整的理解.將抽象的字母“ε”，“N”，“δ”與“無(wú)限趨近”等聯(lián)系起來(lái)，這樣才能真正理解極限理論應(yīng)用極限理論解決實(shí)際問(wèn)題才能迎刃而解.如今數(shù)學(xué)分析已經(jīng)成為一門(mén)重要的數(shù)學(xué)分支，對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的面貌的改變作出了不可磨滅的貢獻(xiàn).微積分作為一種重要的數(shù)學(xué)工具，已經(jīng)滲透到科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域.作為微積分基石的極限理論也在隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展而發(fā)展，極限理論為整個(gè)科學(xué)的發(fā)展提供了一個(gè)強(qiáng)大的工具.

參考文獻(xiàn)：

[1]郭書(shū)春.中國(guó)古代數(shù)學(xué)[M].商務(wù)印書(shū)館，2004：45-47.endprint