胡 鵬, 路金昌, 張義民

(東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819)

多級齒輪傳動系統(tǒng)被廣泛的應用于機械工業(yè)領域，機床刀架的動力就是通過齒輪傳動實現(xiàn)的。保證動力系統(tǒng)傳動的平穩(wěn)性，降低振動和噪音是動力分析的基本任務之一。李潤方等[1]對齒輪傳動系統(tǒng)的建模方法，模型的類型以及非線性因素等多方面作了深入研究。對于單對齒輪的動態(tài)特性，Kahraman等[2-3]給出了基于實驗的非線性動力學模型，考慮內(nèi)部激勵和外部激勵，從數(shù)值和解析兩方面給出動態(tài)響應分析。 唐進元等[4]研究了間隙對含摩擦和時變嚙合剛度的動力系統(tǒng)動力學的影響。高建平等[5]對4自由度直齒輪非線性方程組采用基于打靶法的局部參數(shù)延拓法進行了數(shù)值求解。Lin[6]對單級直齒輪系統(tǒng)的相關參數(shù)進行了詳細研究，并給出參數(shù)值變動對動態(tài)響應的影響。李發(fā)家等[7]采用集中質(zhì)量法，建立了行星齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學方程，采用Runge-Kutta法求解了系統(tǒng)的響應。多級齒輪傳動系統(tǒng)的研究相對受限，許多對系統(tǒng)影響顯著的復雜因素，例如元件之間的相互耦合，軸承的支撐作用，脫齒以及滑動摩擦，沒有完全加入模型當中。唐增寶等[8]考慮時變嚙合剛度的影響，提出了多級齒輪傳動動態(tài)仿真技術(shù)，采用模態(tài)分析法和狀態(tài)空間相結(jié)合的方法進行求解。Al-shyyab A等[9]對非線性多級齒輪采用諧波平衡法進行了解析求解，并分析了其動態(tài)響應特性。Lin等[10]對含時變剛度，脫齒現(xiàn)象的中間軸齒輪系統(tǒng)和惰輪齒輪系統(tǒng)的非線性動力學進行了深入研究，采用攝動法進行了解析求解，并與數(shù)值解比較。Raclot[11]介紹了一個考慮形狀偏差和安裝誤差對動力學行為影響的數(shù)學模型，包括單齒對和多級傳動模型。Liu[12]研究了多級齒輪系統(tǒng)的非線性問題，給出3個數(shù)學模型，采用數(shù)值法和近似解析法進行了求解，并與有限元基準模型進行了對比，研究了參數(shù)不穩(wěn)定性，脫齒以及齒廓修形等問題。

在上述文獻的基礎上，本文考慮時變嚙合剛度，齒輪靜態(tài)傳遞誤差，齒側(cè)間隙等因素的影響，建立了動力伺服刀架多級齒輪傳動系統(tǒng)的扭振模型，采用Runge-Kutta法對系統(tǒng)進行動力學數(shù)值求解，并對仿真結(jié)果進行分析。通過改變轉(zhuǎn)速，嚙合剛度以及齒側(cè)間隙的大小，研究相應參數(shù)對動力學響應的影響，為改善系統(tǒng)的傳動平穩(wěn)性，降低噪音提供理論依據(jù)。

1 多級齒輪傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動模型

多級齒輪系統(tǒng)的非線性分析較為復雜，為了簡化分析，本文模型只考慮扭轉(zhuǎn)振動，同時滿足以下假設：

(1) 電機連接軸和輸出軸的扭轉(zhuǎn)剛度遠小于彎曲剛度，進而認為兩齒輪的中心固定，只做扭轉(zhuǎn)運動；

(2) 忽略所有軸承和中間惰輪軸的彈性變形；

(3) 忽略輪齒之間的摩擦力；

(4) 嚙合的兩齒輪均為漸開線直齒圓柱齒輪，嚙合力始終作用在嚙合線方向上，兩齒輪簡化為由阻尼和彈簧相連接的圓柱體。

1.1 模型的簡化

圖1為四級直齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)，系統(tǒng)的模型是在齒輪副純扭轉(zhuǎn)的基礎上考慮了傳動軸的扭轉(zhuǎn)剛度和電動機和負載的轉(zhuǎn)動慣量。為了便于模型的建立和求解，把軸的轉(zhuǎn)動慣量按功能等效和質(zhì)心不變原理分配到各軸的齒輪或轉(zhuǎn)子上，即將軸轉(zhuǎn)變?yōu)閺椈勺枘嵩?，?jīng)換算后的系統(tǒng)動力學模型如圖2所示。

圖1 四級直齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)

圖2 四級直齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)動力學模型

在圖2中，θM，θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θL分別表示電動機、齒輪和負載的角位移；JM，J1，J2，J3，J4，J5，JL為質(zhì)量元件的轉(zhuǎn)動慣量；Cs1和Cs2為軸的扭轉(zhuǎn)阻尼；ks1和ks2為軸的扭轉(zhuǎn)剛度；kg1，kg2，kg3和kg4為各級齒輪副的時變嚙合剛度；Cg1，Cg2，Cg3和Cg4為各級齒輪副的嚙合阻尼；b1，b2，b3和b4為嚙合齒對的半側(cè)隙；TM和TL為電動機和負載上的扭矩。

1.2 非線性動力學微分方程的建立

基于給定的假設條件，得到四級齒輪傳動系統(tǒng)7自由度動力學微分方程。

(1)

式中，Rbi為各齒輪的基圓半徑，Wdi為齒輪動態(tài)嚙合力，且

其中，e1(t)，e2(t)，e3(t)，e4(t)為嚙合齒輪副的靜態(tài)傳遞誤差。令uj=Rbjθj(j=1,2,3,4,5)，則動態(tài)傳遞誤差xi(t)=(ui-ui+1)。gi(t)(i=1,2,3,4)為分段函數(shù)，其數(shù)學表達式如下：

對于純扭轉(zhuǎn)模型來說，其矩陣形式可以表示如下

(2)

式中，U為等效位移向量，設uM=Rb1θM，uL=Rb5θL；M為質(zhì)量矩陣，C為阻尼矩陣，K為包含時變嚙合剛度的矩陣，F(xiàn)T為外部載荷向量。E為由嚙合阻尼、時變嚙合剛度和靜態(tài)傳遞誤差引起的激勵向量，令δi∈{ei(t)-bi,0,ei(t)+bi}，它的取值與上述分段函數(shù)的判定條件相對應。則

U=[uM,u1,u2,u3,u4,u5,uL]T

FT=[TM/Rb1, 0, 0, 0, 0, 0, -TL/Rb5]T

2 模型中參數(shù)的計算

嚙合過程中的嚙合剛度kg具有明顯的周期性，在單雙齒交替嚙合時有突變。為簡化計算，齒輪嚙合剛度的周期性變化可等效為圖3所示的矩形波形式。

圖3 簡化的嚙合剛度周期變化

函數(shù)表達式如下：

(3)

式中，kmax和kmin分別取雙齒嚙合和單齒嚙合時的平均值，T為嚙合周期，ε為重合度。

將式(3)所示的嚙合剛度以嚙合頻率進行傅里葉級數(shù)展開，取一階分量進行計算，則

kg(t)=km+amcos(ωmt)+bmsin(ωmt)

(4)

式中，km，am，bm分別為傅里葉展開式的常數(shù)項，一階余弦項和正弦項，且

km=(ε-1)kmax+(2-ε)kmin

am=(kmax-kmin)sin(2πε)/π

bm=-[kmin+(kmax-kmin)cos(2πε)]/π

參數(shù)ωm為齒輪副的嚙合頻率：

ωm=2πn1z1/60

靜態(tài)傳遞誤差e(t)是由齒形誤差，齒距偏差和齒的彈性變形等因素組成的周期性位移激勵，以內(nèi)部激勵的基頻進行傅里葉級數(shù)展開，同樣保留一階項

e(t)=e0+Aesin(ωet+φ)

(5)

式中，e0為常數(shù)項，Ae為一階諧波幅值，φ為相位角，ωe=ωm。

阻尼效應的數(shù)學描述是十分復雜的，為了便于振動響應分析，采用以下公式進行簡化求解

式中，kg取嚙合剛度的均值，ξg為輪齒嚙合的阻尼比，按照Kasuba[13]和Wang[14]的分析計算，一般取值為0.03～0.17，此處取均值0.1。

傳動軸的扭轉(zhuǎn)剛度的計算表達式為

ks=IpG/ls

式中，Ip為極慣性矩，G為剪切模量，ls為軸長。

電動機連接軸和負載連接軸的阻尼表達式為

式中，ξs為軸的阻尼比，根據(jù)文獻[15]的實驗結(jié)果，ξs為0.005～0.007，本文取0.005。

3 動態(tài)仿真結(jié)果分析

以圖1所示的傳動系統(tǒng)為例進行仿真，給定齒輪基本參數(shù)，精度等級均為5級。電動機轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量為0.006 15 kg·m2，轉(zhuǎn)速為4 000 r/min；輸入輸出軸的長度分別為80 mm，33.7 mm，內(nèi)外徑分別為d1out=58 mm，d1in=38 mm，d2out=36 mm,d2in=25 mm；各齒對半齒側(cè)間隙b取50 μm，電動機轉(zhuǎn)矩TM=35 N·m，負載力矩為TL=54 N·m。

表1 傳動系統(tǒng)齒輪的基本參數(shù)

3.1 嚙合剛度的求解

根據(jù)文獻[16]，結(jié)合表1中的參數(shù)，采用MATLAB和ANSYS的APDL語言編程計算，結(jié)果如圖4所示，kg表示的是單位齒寬上的剛度大小。由于齒對2和3參數(shù)一致，其計算結(jié)果相同。以齒對1為例，由文獻[17]可知，基于石川公式的日本機械學會的結(jié)果為17.2 N/(mm·μm)；基于威伯-班納斯切克公式的ISO公式草案的近似值為18.91 N/(mm·μm)；ANSYS計算結(jié)果的平均值為18.74 N/(mm·μm)；本文采用文獻[16]算法求出的平均值為19.78 N/(mm·μm)。計算誤差分別為13.04%，4.4%和5.26%，由于石川公式將輪齒看做一個梯形加上矩形的組合，其齒厚較精確建模要小，變形量偏大，所以剛度值偏小，誤差較大。

圖4 各級齒對的嚙合剛度值

結(jié)合公式(3)和(4)，得到各齒對嚙合剛度的展開項值，其結(jié)果由表2給出。

3.2 動態(tài)傳遞誤差

對方程式(2)采用四階Runge-Kutta法進行求解，得到動態(tài)響應結(jié)果。動態(tài)傳遞誤差(DTE)的時域圖和頻譜圖如圖5和圖6所示，分別對應輸入端和輸出端齒對的響應情況。由圖5知，齒對1的DTE的均值比齒對4的值要小，這是由于齒對1的嚙合剛度要比齒對4的值大，嚙合變形量較小，故其DTE的均值相對較小。

表2 各級嚙合剛度的展開項數(shù)值

從頻譜圖6中分析，齒對1與齒對4的主要幅值的頻率點是一致的，對應頻率值有497，636，1 133，1 630，2 266，3 399 Hz等，由系統(tǒng)的固有特性分析可知，497 Hz為系統(tǒng)的二階固有頻率f2，1 133 Hz對應系統(tǒng)的嚙合頻率fn；而fn-f2和fn+f2對應636 Hz和1 630 Hz，2 266 Hz，3 399 Hz為二倍嚙頻和三倍嚙頻，且齒對4在二倍嚙頻處幅值較齒對1的大。由于其響應結(jié)果中含有值為半側(cè)隙b的常值項，所以在0 Hz處存在較大振幅，為了體現(xiàn)其他頻率下較小的幅值情況，在圖中沒有體現(xiàn)。

嚙合剛度值影響著DTE的大小，轉(zhuǎn)速同樣對DTE值有較大影響，而DTE是影響齒輪系統(tǒng)平穩(wěn)性的主要因素，所以給出不同嚙合剛度在不同轉(zhuǎn)速下的DTE的均方根幅值(減去均值后)(Root-mean-square, RMS)和均值。設定各級嚙合剛度值分別取0.9 kg，kg，1.1 kg和1.2 kg，轉(zhuǎn)速變化范圍設為1 000～10 000 r/min，結(jié)果如圖7和圖8所示；由于不同嚙合剛度下DTE變化趨勢大體一致，圖9只給出了嚙合剛度為kg時嚙合過程中出現(xiàn)的三種嚙合狀態(tài)的比例值。

圖5 齒對1和4的DTE時域圖，n=4 000 r/min

圖6 齒對1和4的DTE頻譜圖，n=4 000 r/min

由圖7知，不同嚙合剛度下，齒對1和4的DTE的均方根值在低速段和高速段存在較大波動，這是由于系統(tǒng)的強非線性而出現(xiàn)的混沌現(xiàn)象，而轉(zhuǎn)速在4 000～8 000 r/min 時，齒對的DTE幅值較小，由圖6的頻譜圖可以看出，系統(tǒng)處于準周期嚙合狀態(tài)。圖8為齒對的DTE的平均幅值，由于齒側(cè)間隙的存在，導致嚙合狀態(tài)發(fā)生改變，出現(xiàn)較大比例的嚙合脫齒和側(cè)面接觸，使得均值減??；在平穩(wěn)波動段，通過局部放大圖可以看到嚙合剛度越大，其DTE的均值越小，這是由于DTE中含有的嚙合變形部分減小。從圖9不難看出，嚙合狀態(tài)在4 000～8 000 r/min范圍主要為正面嚙合，即正常嚙合，而在其他段則出現(xiàn)較大比例的脫齒，這導致了圖7和圖8現(xiàn)象的產(chǎn)生，所以對于非線性系統(tǒng)，要注意其對參數(shù)的敏感性，避免產(chǎn)生較大波動的響應結(jié)果。

圖7 齒對1和齒對4的DTE的RMS(減去均值后)值

3.3 動態(tài)嚙合力

齒輪系統(tǒng)中的動態(tài)嚙合力的變化體現(xiàn)了沖擊程度并影響系統(tǒng)噪音的大小。圖10給出了轉(zhuǎn)速為4 000 r/min時的動態(tài)嚙合力，由圖10(a)可知，齒對1動態(tài)嚙合力最大可達2.3倍的靜態(tài)嚙合力，且趨于零的值所占比例較小，即脫齒的狀態(tài)較少，這與圖8的結(jié)果一致。圖10(b)所示齒對4的動態(tài)嚙合力最大為2.5倍的靜態(tài)嚙合力，其它趨勢與齒對1相同。由圖7和圖8知，轉(zhuǎn)速在1 000～3 000 r/min及8 000～10 000 r/min處幅值有較大波動，圖9表明此時出現(xiàn)了較大比例的脫齒，且還有側(cè)面接觸，從而導致了幅值的波動。圖11為轉(zhuǎn)速是3 000 r/min的動態(tài)嚙合力，可知嚙合過程中零值所占比例增大，偶有負值，與圖7～圖9的結(jié)果吻合。當嚙合剛度發(fā)生變化時，嚙合力的值隨嚙合剛度的增大而增大，圖12為轉(zhuǎn)速4 000 r/min，嚙合剛度為1.2kg的仿真結(jié)果，比kg的結(jié)果稍大，且嚙合狀態(tài)比例中脫齒現(xiàn)象更加明顯。

圖10 齒對1和齒對4的動靜嚙合力比值，n=4 000 r/min

4 結(jié) 論

(1) 建立了含時變嚙合剛度，齒側(cè)間隙和靜態(tài)傳遞誤差的動力學模型，對模型進行了合理的簡化，用數(shù)值解法進行了求解。

(2) 在轉(zhuǎn)速為4 000 r/min時，對齒對1和齒對4的DTE進行了時域和頻譜分析，可以看出系統(tǒng)處于準周期嚙合狀態(tài)，且波動較為平穩(wěn)；從頻譜圖看出，幅值主要處于f2，fn-f2，fn，f2+fn，2fn，3fn等頻率點。

(3) 分析了齒對的DTE在不同嚙合剛度下隨轉(zhuǎn)速變化的均方值(減去均值)和平均值。不同轉(zhuǎn)速段下系統(tǒng)的嚙合狀態(tài)存在較大差異，導致均方差和平均幅值存在較大波動，當嚙合狀態(tài)中脫齒所占比例較大時，系統(tǒng)的響應處于混沌狀態(tài)，而當其比例較小時系統(tǒng)基本處于準周期狀態(tài)。

(4) 在分析了DTE的基礎上，分析了動態(tài)嚙合力隨轉(zhuǎn)速及嚙合剛度變化的影響，其變化情況同樣受到嚙合狀態(tài)變化的影響。

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