李應剛, 陳天寧, 王小鵬, 于坤鵬，張 超

(西安交通大學 機械工程學院 機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安 710049)

沖擊噪聲具有極高的瞬態(tài)聲壓峰值和極短的持續(xù)時間，世界各國經過試驗都制定了相應的沖擊噪聲的安全標準。但由于瞬態(tài)沖擊碰撞的復雜性，對于沖擊噪聲的產生機理和沖擊噪聲的計算方法一直沒有深入詳細的研究。為了有效的控制沖擊噪聲，必須深入了解沖擊噪聲的發(fā)生機理。Akey[1]對沖擊噪聲研究進行綜述，按照產生機理不同將沖擊噪聲進行分類。Nishimura等[2]研究了兩球體碰撞沖擊噪聲機理，并進行了實驗對比驗證；Koss等[3]對兩球體碰撞沖擊進行了理論分析，利用Hertz接觸理論推導了兩球體碰撞沖擊輻射聲壓的函數關系式；Richards等[4-6]總結了最近20年來有關的沖擊噪聲研究理論和實驗方面的成果，分析了沖擊噪聲的發(fā)聲機理，提供了理論研究方法和實驗測量手段。然而上述文獻大多是針對于彈性球體點接觸碰撞沖擊輻射噪聲問題開展的研究。文獻[7-10]對沖擊板的瞬態(tài)沖擊噪聲進行了數值仿真和實驗研究，提出了瞬態(tài)沖擊噪聲的主動控制方法。

工業(yè)生產中許多機械碰撞沖擊噪聲可歸結為圓柱碰撞沖擊噪聲，如圓柱鉸鏈接觸碰撞噪聲及齒輪嚙合沖擊噪聲等。對于滿足Hertz接觸理論假設的兩平行軸線的圓柱體接觸可以采用平面應變問題的方法處理,但兩柱體間的彈性趨近量沒有準確解。文獻[11-12]對接觸碰撞模型進行了綜述及對比分析。文獻[13-15]根據Hertz接觸理論推導了圓柱接觸理論模型，然而以上三種理論模型均為非線性隱式方程，求解過程需要采取數值積分方法，不利于碰撞沖擊噪聲理論預估。Palmgren基于Hertz接觸理論提出了一種顯式的線彈性接觸數學模型，具有較高計算精度。而對于圓柱碰撞沖擊噪聲問題，Yufang等[16]研究了兩圓柱撞擊發(fā)聲機理，基于Hertz點接觸理論模型及圓柱體聲波方程推導了兩圓柱體碰撞沖擊的接觸力及輻射聲壓隨時間變化的函數關系式。然而文獻中將圓柱體線接觸模型簡化為點接觸模型，將線接觸的矩形接觸面簡化為點接觸的橢圓形接觸面，使圓柱碰撞接觸力和沖擊噪聲理論預估產生較大偏差。

本文基于接觸動力學相關理論和Palmgren圓柱體線接觸理論模型，建立了圓柱碰撞沖擊理論數學模型，推導了圓柱碰撞沖擊接觸力隨時間變化的函數關系式；利用聲學理論對圓柱碰撞沖擊輻射噪聲進行了理論預估。采用有限元法(FEM)與瞬態(tài)邊界元法(TBEM)相結合的瞬態(tài)噪聲數值計算方法，對圓柱碰撞沖擊噪聲進行數值仿真；將有限元法(FEM)計算結果作為狀態(tài)變量導入瞬態(tài)邊界元法(TBEM)分析圓柱碰撞瞬態(tài)輻射聲場，實現了瞬態(tài)沖擊噪聲輻射聲波的可視化。理論預估結果與數值仿真結果吻合較好。

1 理論建模

1.1 圓柱碰撞沖擊理論

基于接觸動力學理論和Palmgren圓柱體線彈性接觸模型,兩圓柱接觸沖擊時接觸力與變形關系：

F=Kδn

(1)

式中：F為接觸力(N)；δ為接觸變形(m)；n為圓柱接觸非線性指數，本文采用Palmgren圓柱體線彈性接觸模型n=10/9。K取決于碰撞物體材料和結構形狀

(2)

式中：E1、E2為材料的彈性模量(Pa)；υ1、υ2為材料的泊松比；L為圓柱體長度(m)。

根據牛頓運動定律，圓柱體接觸碰撞的運動微分方程為：

(3)

式中：m1、m2為圓柱體質量(kg)；v1、v2為圓柱體瞬時速度(m/s)。將式(1)帶入式(3)中，則有：

(4)

式中:mred為圓柱體等效質量。

(5)

對δ作積分可得：

(6)

式中:v0=(v2-v1)t=0為圓柱碰撞初始時刻沖擊速度，在最大壓縮δm時，dδ/dt=0。由式(1)與式(6)可得圓柱碰撞最大沖擊力Fm表達式為

(7)

假設圓柱體接觸碰撞過程中沖擊力、沖擊加速度與時間近似為一個半波正弦脈沖。半波正弦脈沖角頻率為ωc=π/tc。則圓柱碰撞沖擊力表達式為：

F(t)=Fmsin(ωct)

(0≤t≤tc)

(8)

由沖擊加速度可得圓柱碰撞沖擊速度表達式為：

(9)

1.2 圓柱碰撞沖擊輻射噪聲

根據聲學理論，柱面波動方程為

(10)

式中:Φ為速度勢函數;c為空氣中聲速;ρ為空氣密度;p為聲壓;ur為徑向振動速度。

圓柱體以V0ejωt振動時速度勢函數為：

(11)

(12)

(13)

代入式(11)中可得

(14)

聲波從圓柱接觸碰撞處傳播至P點波動時間為

t*=(r-R)/c

(15)

用V(t)代替(14)式中V0cosθ可得速度勢函數為

(16)

由式(10)可得圓柱體在P點處輻射聲壓表達式為

(17)

則兩圓柱體碰撞沖擊在P點聲壓表達式為：

pred(r,θ,t)=p1(r1,θ1,t)+p2(r2,θ2,t)

(18)

2 數值仿真

為了驗證圓柱碰撞接觸力和沖擊噪聲理論預估的正確性，提出有限元法(FEM)與瞬態(tài)邊界元法(TBEM)相結合的瞬態(tài)噪聲數值計算方法，將有限元法(FEM)計算結果作為狀態(tài)變量導入瞬態(tài)邊界元法(TBEM)分析圓柱碰撞瞬態(tài)輻射聲場，實現了瞬態(tài)沖擊噪聲輻射聲波的可視化。

2.1 圓柱碰撞沖擊有限元仿真

本文使用ANSYS/LS-DYNA軟件研究圓柱碰撞沖擊有限元仿真分析[17]。ANSYS/LS-DYNA將顯式有限元程序LS-DYNA和ANSYS程序結合起來。用LS-DYNA的顯式算法能快速求解接觸碰撞問題。

圖1 圓柱碰撞沖擊模型

圓柱碰撞沖擊有限元模型如圖1所示。兩圓柱體半徑為15 mm，長度為60 mm。兩圓柱體都定義為合金鋼材料，密度為7 800 kg/m3，彈性模量為2.06×1011Pa，泊松比為0.3。碰撞沖擊噪聲取決于兩圓柱碰撞沖擊相對速度?？紤]到圓柱接觸沖擊對稱性，兩個圓柱體分別施加0.5 m/s的相對水平初始速度。

有限元數值仿真計算獲得了圓柱碰撞沖擊接觸力，接觸力時間歷程曲線近似為半波正弦脈沖，與理論分析假設吻合。對比數值仿真結果、理論分析結果以及赫茲點接觸模型計算結果如圖2所示，其中實線為數值仿真結果，虛線為公式(8)接觸力理論預估結果，點劃線為Hertz點接觸模型計算結果[16]。由圖可知理論預估結果與數值仿真結果吻合較好，而Hertz點接觸模型計算結果會產生較大誤差。分析原因為Hertz接觸模型將圓柱體線接觸簡化為點接觸問題，從而使接觸碰撞時間延長，接觸碰撞力幅值降低。

圖2 接觸力時間歷程曲線

按照發(fā)聲的機理來劃分，沖擊噪聲主要分為自鳴噪聲和加速度噪聲。為了分析研究圓柱碰撞沖擊噪聲發(fā)生機理及組成成分，提取了圓柱有限元模型中節(jié)點加速度曲線如圖3所示。對節(jié)點加速度時間響應曲線進行傅里葉變換得到加速度頻譜圖如圖4所示?？紤]圓柱碰撞沖擊過程中將會激起圓柱模態(tài)振動，對圓柱進行模態(tài)分析得到圓柱前10階固有頻率如表1所示。

表1 圓柱固有頻率

圖3 加速度時間歷程曲線

對比分析加速度頻譜圖及圓柱模態(tài)分析結果可知，圓柱加速度頻譜中峰值頻率對應于圓柱的模態(tài)頻率。考慮人耳能夠感知的頻率范圍為20 kHz以下，從加速度頻譜圖中發(fā)現共振峰頻率都高于20 kHz，說明圓柱碰撞沖擊過程中自鳴噪聲頻率都高于人耳感知頻率范圍，此時人耳感知碰撞沖擊噪聲主要是加速度噪聲。

將圓柱碰撞沖擊過程中節(jié)點加速度時間響應曲線采取低通濾波處理，根據圓柱碰撞沖擊接觸力曲線可得圓柱碰撞沖擊剛體加速度曲線。節(jié)點加速度低通濾波處理后曲線及剛體加速度曲線如圖5所示。對比分析剛體加速度及濾波加速度曲線可知圓柱碰撞沖擊噪聲主要是由于剛體加速度輻射噪聲產生。

2.2 輻射噪聲瞬態(tài)邊界元仿真

本文采用LMS Virtual Lab軟件邊界元法進行圓柱碰撞沖擊瞬態(tài)輻射噪聲研究。邊界元法基本思想是將微分方程轉化為邊界上定義的邊界積分方程，并將邊界離散化，使積分方程成為只含有邊界積分節(jié)點未知量的代數方程組，通過求解獲得邊界節(jié)點參數，進一步求得分析域內部參數。

圖6 瞬態(tài)聲學邊界元模型

圓柱碰撞沖擊瞬態(tài)聲學邊界元模型如圖6所示。邊界元網格及場點網格都是在ANSYS軟件中生成為CDB格式文件導入Virtual Lab Acoustics。邊界元網格為圓柱碰撞沖擊有限元模型的表面網格，采用三角形單元劃分網格。場點網格為半徑500 mm圓形區(qū)域。

將ANSYS/LS-DYNA軟件計算得到的圓柱碰撞沖擊振動位移導入Virtual Lab Acoustics進行瞬態(tài)邊界元分析,實現瞬態(tài)沖擊噪聲輻射聲波的可視化。圓柱碰撞沖擊瞬態(tài)輻射聲波傳播過程如圖7所示。由圖可知，圓柱碰撞沖擊噪聲存在明顯的波動過程，在碰撞沖擊方向聲壓幅值較大，垂直于碰撞沖擊方向聲壓較小。隨著輻射聲波傳播，沖擊噪聲輻射能量發(fā)生擴散，輻射聲壓幅值逐漸降低。

圖7 瞬態(tài)輻射聲波傳播

為了驗證圓柱碰撞沖擊噪聲理論模型，提取聲場中節(jié)點1的輻射聲壓時間歷程曲線并進行對比如圖8所示。圖中實線為數值仿真結果，虛線為公式(18)理論預估結果，點劃線為Hertz點接觸模型計算結果。對比數值仿真結果、理論預估結果可知理論分析結果與數值仿真結果吻合較好。而Hertz點接觸模型計算結果聲壓幅值較小，持續(xù)時間較長。分析原因為Hertz點接觸模型將圓柱體線接觸簡化為點接觸問題，使接觸碰撞時間延長，接觸碰撞力幅值降低，從而導致加速度幅值降低，而圓柱碰撞沖擊噪聲主要由加速度輻射產生，因而預估聲壓幅值較小。

為了研究圓柱碰撞瞬態(tài)聲輻射特性，提取場點網格上同一聲輻射方向不同距離節(jié)點node1和node5的聲壓時間歷程曲線如圖9所示。分析可知，同一輻射方向上，場點聲壓隨著距離增大而降低。提取場點網格上不同聲輻射方向距離相同的兩個節(jié)點node1和node2的聲壓時間歷程曲線如圖10所示。分析可知不同輻射方向上距離碰撞沖擊聲源等距的場點聲壓不同，即圓柱碰撞輻射聲場具有方向性。根據圓柱碰撞沖擊輻射聲場輻射特性可知，圓柱碰撞輻射聲場可以理解為平面偶極源的輻射聲場，在距離聲源較遠處輻射聲壓與距離成反比，且輻射聲場具有明顯的方向性。

圖8 輻射聲壓時間歷程曲線

圖11 接觸力時間歷程曲線

3 圓柱碰撞沖擊參數分析

3.1 圓柱碰撞沖擊速度影響

為了研究沖擊速度對圓柱碰撞沖擊的影響，對比分析五種沖擊速度條件下圓柱碰撞沖擊力及輻射聲壓變化情況。不同沖擊速度條件下圓柱碰撞沖擊接觸力時間曲線如圖11所示，接觸力與沖擊速度關系曲線如圖12所示，輻射聲壓與沖擊速度關系如圖13所示。由圖可知在彈性接觸碰撞范圍內，圓柱碰撞沖擊接觸力以及輻射聲壓與沖擊速度成正比，接觸沖擊時間不隨沖擊速度變化而變化。

圖14 輻射聲壓時間歷程曲線

3.2 圓柱材料彈性模量影響

為了研究材料彈性模量對圓柱碰撞沖擊的影響，對比分析了不同材料彈性模量條件下圓柱碰撞沖擊噪聲變化情況。圖14為兩種材料彈性模量條件下輻射聲壓時間歷程曲線。由圖發(fā)現，雖然圓柱碰撞輻射加速度噪聲與材料彈性模量呈指數關系，然而總輻射聲壓與彈性模量并不是呈指數關系變化。分析原因為材料彈性模量變化改變了圓柱固有頻率，材料彈性模量減小，固有頻率降低，導致圓柱碰撞的自鳴噪聲增大，頻率成分降低。人耳感知碰撞噪聲頻率成分不再僅僅是加速度噪聲，而是加速度噪聲和自鳴噪聲疊加。

4 結 論

(1) 基于接觸動力學相關理論及彈性體線接觸理論模型，推導了圓柱碰撞沖擊理論模型，結合聲學理論對圓柱碰撞沖擊噪聲進行了理論預估。

(2) 采用有限元法(FEM)與瞬態(tài)邊界元法(TBEM)相結合的瞬態(tài)噪聲數值仿真方法，對圓柱碰撞沖擊噪聲進行數值仿真，實現了瞬態(tài)輻射聲波的可視化。分析圓柱碰撞沖擊噪聲機理可知圓柱碰撞沖擊噪聲主要由加速度輻射噪聲產生。圓柱碰撞沖擊噪聲存在明顯的波動過程，在碰撞沖擊方向聲壓幅值較大，垂直于碰撞沖擊方向聲壓較小，輻射聲場具有明顯指向性。隨著輻射聲波傳播，沖擊噪聲輻射能量發(fā)生擴散，輻射聲壓幅值逐漸降低。

(3) 對比理論分析結果、數值仿真結果以及Hertz點接觸模型計算結果可知，理論分析結果與數值仿真結果吻合較好，而Hertz點接觸模型將圓柱體線接觸模型簡化為點接觸模型，導致接觸時間延長，接觸力和沖擊噪聲幅值降低。表明基于圓柱體線彈性接觸模型相較Hertz點接觸理論模型能夠更準確實現接觸力和沖擊噪聲理論預估。

(4) 研究了沖擊速度和材料彈性模量對圓柱碰撞沖擊的影響。結果表明在彈性碰撞條件下，圓柱碰撞沖擊接觸力以及輻射聲壓與沖擊速度成正比，接觸沖擊時間不隨沖擊速度變化而變化。材料彈性模量減小，圓柱體固有頻率降低，導致圓柱碰撞的自鳴噪聲增大，頻率成分降低。此時圓柱碰撞沖擊噪聲不再僅僅是加速度輻射噪聲產生，而是加速度噪聲和自鳴噪聲疊加。

[1]Akey A. A review of impact noise[J]. Journal of the Acoustical Society of America,1978,64(4):977-987.

[2]Nishimura G, Takahashi K. Impact sound by mutual collision of two steel balls[J]. Bulletin of the Japan Society of Precision Engineers,1963,(1):47-51.

[3]Koss L, Alfredson R. Transient sound radiated by spheres undergoing an elastic collision[J]. Jaurnal of Sound and Vibration, 1973,27(1):59-68.

[4]Richards E, Westcott M, Jeyapalan R. On the prediction of impact noise, I: Acceleration noise[J]. Jaurnal of Sound and Vibration, 1979,62(4):547-575.

[5]Richards E, Westcott M, Jeyapalan R. On the prediction of impact noise, II: Ringing noise[J]. Jaurnal of Sound and Vibration, 1979,65(3):419-451.

[6]Richards E. On the prediction of impact noise, III: Energy accountancy in industrial machines[J]. Jaurnal of Sound and Vibration, 1981,76(2):187-232.

[7]Van Niekerk J, Tongue B, Packard A. Active control of a circular plate to reduce transient noise transmission[C]. Publisher, City, 1995.

[8]Pinte G, Desmet W, Sas P. Active control of repetitive transient noise[C]. Publisher, City, 2007.

[9]Ross A, Ostiguy G. Propagation of the initial transient noise from an impacted plate[C]. Publisher, City, 2007.

[10]Blais J F, Ross A. Forward projection of transient sound pressure fields radiated by impacted plates using numerical Laplace transform[C]. Publisher, City, 2009.

[11]Pereira C M, Ramalho A L, Ambrósio J A. A critical overview of internal and external cylinder contact force models[C]. Publisher, City, 2011.

[12]Machado M, Moreira P, Flores P, et al. Compliant contact force models in multibody dynamics: Evolution of the Hertz contact theory[C]. Publisher, City, 2012.

[13]Goldsmith W, Impact: the theory and physical behaviour of colliding solids[C]. Dover Pubns, 2001.

[14]Johnson K L. Contact mechanics, Cambridge Univ Pr, 1987.

[15]Radzimovsky E I. Stress distribution and strength condition of two rolling cylinders pressed together[C]. Publisher, City, 1953.

[16]Yufang W, Zhongfang T. Sound radiated from the impact of two cylinders[J]. Jaurnal of Sound and Vibration, 1992, 159(2):295-303.

[17]白金澤. LS-DYNA3D 理論基礎與實例分析[M]. 科學出版社, 2005.