陳 勇，徐 羿

(浙江大學(xué) 結(jié)構(gòu)工程研究所,杭州 310058)

高聳結(jié)構(gòu)受風(fēng)、地震等動力荷載作用后,會引起結(jié)構(gòu)動力響應(yīng),而通過在結(jié)構(gòu)上加裝吸振器可以有效地抑制結(jié)構(gòu)的振動[1]。吸振器的思想最早來源于1909年Frahm[2]的研究。然而傳統(tǒng)線性吸振器(例如TMD)的適用頻帶較窄,只有多個吸振器聯(lián)合作用才能實現(xiàn)多模態(tài)控制。而利用非線性吸振器的寬頻吸振特性進(jìn)行減振,只需有限個吸振器即可達(dá)到較好的減振效果,使得其優(yōu)化參數(shù)較易確定,因此受到了研究者的關(guān)注。

Roberson等[3]提出了采用非線性吸振器進(jìn)行振動控制,Vakakis將一種含有硬化立方非線性剛度的新型非線性吸振振子命名為“非線性能量阱”(Nonlinear energy sink,NES),并詳細(xì)分析了其作為吸振器的潛在價值[4],即不但具有寬頻減振的特性,特定情況下還具有單向輸送能量并耗散的特征。Gourdon等[5]通過數(shù)值計算驗證了該現(xiàn)象并指出NES優(yōu)于傳統(tǒng)的線性窄帶吸振裝置。Georgiades[6]研究了簡支梁連接一個或多個NES后的橫向振動問題。Georgiades等[7]研究了懸臂梁連接一個單自由度NES振子后的一維軸向振動問題,并采用有限元方法進(jìn)行數(shù)值模擬驗證了NES的有效性。McFarland等[8]首先設(shè)計制作了實物意義上的NES振子,該振子通過拉緊的弦的幾何非線性來實現(xiàn)硬化立方非線性剛度。Kerschen等[9]利用其進(jìn)行了一個具有兩個自由度的主系統(tǒng)的單個NES減振研究；Nucera等[10]將其應(yīng)用于多層框架結(jié)構(gòu)一維振動的減振試驗。這些試驗及理論分析中的主結(jié)構(gòu)往往具有較少的自由度。

本文對采用NES吸振器的高聳結(jié)構(gòu)振動抑制特性進(jìn)行了分析。該系統(tǒng)可簡化為一個懸臂梁-NES系統(tǒng)。通過建立相應(yīng)的偏微分運(yùn)動方程,并應(yīng)用伽遼金法及Rauscher方法,獲得了非線性模態(tài)的解析解,揭示了NES振子吸振的原理。建立了基于有限元的離散非線性動力方程,提出了基于增量Newmark-β法的時程分析求解策略。再通過有限元分析,對該系統(tǒng)的振動特性隨NES振子各個參數(shù)的變化進(jìn)行了研究。研究結(jié)果揭示了存在最優(yōu)的振子參數(shù)使得懸臂梁的振動得到最大抑制。文中最后給出了這些最優(yōu)參數(shù)的估計方法。

1 運(yùn)動方程

圖1 安裝在高聳結(jié)構(gòu)上的NES振子

圖2 圖2 簡化模型

系統(tǒng)的運(yùn)動方程

(1a)

(1b)

式中:β*是懸臂梁的阻尼系數(shù)，δ是狄拉克函數(shù)，F(xiàn)*是外部激勵。

將式(1)無量綱化后,可得系統(tǒng)無量綱運(yùn)動方程為

(2a)

(2b)

式中:

(3)

2 非線性模態(tài)分析

不失一般性,考慮一根無阻尼梁,并在梁自由端作用一個簡諧激勵F0cosΩt,可據(jù)此獲得該非線性系統(tǒng)的非線性模態(tài)。在出現(xiàn)非線性模態(tài)特征時,可采用伽遼金法將該非線性系統(tǒng)中梁的振動在無NES時梁的前兩階模態(tài)坐標(biāo)系上近似展開:

w(x,t)=r2[u1(t)Φ1+u2(t)Φ2]

(4)

Φi(α)εK{η-[Φ1(α)u1+Φ2(α)u2]}3

(5)

(6)

根據(jù)Rauscher[12]的方法,首先考慮NES的自由振動方程

(7)

則該方程的解為

(8)

令外部激勵項εf0cosΩt=εf0g(φ)。這里g(φ)又近似地展開為傅里葉級數(shù)[13],利用三倍角函數(shù),與η有關(guān)的冪級數(shù)表示如下[14-16]。

(9)

因此,可得到一個偽自治動力系統(tǒng)：

Φi(α)εK{η-[Φ1(α)u1+Φ2(α)u2]}3

(10)

(11)

令

考慮到

把式(11)代入式(10)可得

Φi(1)f0g(φ)+Φi(α)Kη3+O(ε)

(12)

將η=ηmax代入式(12),得到邊界條件下的方程

(13)

則系統(tǒng)的解可表示為

(14)

為驗證式(14)的結(jié)果,采用龍格庫塔法進(jìn)行數(shù)值模擬。令系統(tǒng)(5)和(6)的參數(shù)為

ε=0.1,f0=0.1,K=2,M=1,

Ω=0.588 502,ηmax=0.5,α=0.783

(15)

且初始條件為

(16)

將數(shù)值模擬結(jié)果與式(14)的結(jié)果比較如圖3所示,可見兩者較為吻合,說明式(14)可很好地表征系統(tǒng)的非線性模態(tài)。通過對模態(tài)形狀的分析可發(fā)現(xiàn),可發(fā)現(xiàn)u1比η小了100倍，即振子的振幅遠(yuǎn)大于懸臂梁的模態(tài)振幅。表明該振子在出現(xiàn)非線性模態(tài)時能較好地吸收系統(tǒng)的能量。

圖3 非線性模態(tài)

3 非線性有限元時程分析

3.1 非線性時程分析

利用有限單元法可建立系統(tǒng)的離散非線性運(yùn)動方程

(17)

式中:阻尼矩陣C由各階模態(tài)阻尼比獲得，M和K分別為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。為了較好地描述懸臂梁振動特性,質(zhì)量矩陣采用了一致質(zhì)量陣。式(17)中的X是位移向量,即:

X=[w1…wNES…wnq]T

(18)

其中:n為主系統(tǒng)的自由度數(shù)。F為外荷載向量，F(xiàn)N由NES的回復(fù)力引起,為

FN=[0 …FR… 0 -FR]T

(19)

其中：FR=K(q-wNES)3，wNES為梁上連接NES位置的豎向位移。

考慮到采用增量形式的Newmark-β法[11]在求解非線性時程中具有較高的可靠性,因此本文給出了基于該方法的求解策略,用于計算含NES振子的系統(tǒng)的動力響應(yīng)。

(20)

其中:KR=K(q-wNES)2。則新的系統(tǒng)運(yùn)動方程

(21)

線性化后的式(21)則可采用增量Newmark-β法計算下一時間步的位移。由于該位移會致使KL的值發(fā)生變化,故該位移還不是非線性系統(tǒng)下一時間步的精確解。可利用該位移對應(yīng)的KL并結(jié)合Newton插值法計算新的KL(需注意到KL恒大于零),回代入式(21),再利用增量Newmark-β法進(jìn)行下一時間步位移的計算。如此反復(fù)迭代,直至下一時間步的位移和KL匹配為止,即迭代收斂。收斂準(zhǔn)則為: ① 計算KL的當(dāng)前值與上一次值的差值；② 該差值的絕對值與KL上一次值的比值小于一個較小的數(shù)μ(精度)。圖4給出了具體計算過程的流程圖。

圖4 計算過程流程圖

3.2 非線性能量阱參數(shù)敏感性分析及經(jīng)驗公式

(22)

圖5 窄帶白噪聲集中激勵F0

圖6 懸臂梁自由端的位移時程

圖7 懸臂梁自由端位移的功率譜

圖8 懸臂梁自由端位移的均方根隨NES剛度變化

圖9 懸臂梁自由端振幅均方根隨NES質(zhì)量變化

圖10 懸臂梁自由端振幅均方根隨NES阻尼變化

圖11 隨阻尼變化

圖12 隨外荷載變化

(23)

(24)

(25)

(26)

式中:log-1(·)指以10為底的對數(shù)函數(shù)的逆函數(shù)。

圖13 荷載歸一化的6opt隨質(zhì)量變化

圖14 數(shù)值分析與式(26)結(jié)果對比

4 結(jié) 論

將NES用于高聳結(jié)構(gòu)的減振研究結(jié)果表明：

(1)連接NES后的系統(tǒng)非線性特征突出,非線性模態(tài)分析結(jié)果顯示在出現(xiàn)非線性模態(tài)時,模態(tài)分析表明梁位移比NES位移小了兩個數(shù)量級,表明NES可有效吸收結(jié)構(gòu)振動。

(2)給出了可應(yīng)用于含NES結(jié)構(gòu)的非線性有限元時程分析方法。利用其對在窄帶白噪聲集中激勵作用下的系統(tǒng)減振特性進(jìn)行了參數(shù)分析。結(jié)果表明,在選擇適當(dāng)?shù)腘ES參數(shù)值后,NES可降低梁端振幅均方根值80%左右。

(3)給出了與結(jié)構(gòu)振動特征和荷載大小相關(guān)的NES參數(shù)選擇方法,并提出了工程意義上的NES最優(yōu)剛度的經(jīng)驗公式。

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