潘巧生，劉永斌,2，賀良國，潘成亮,3，鄧知森

(1.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 精密機(jī)械與精密儀器系，合肥 230027；2.安徽大學(xué) 機(jī)械工程系，合肥 230039；3.香港中文大學(xué) 深圳研究院，廣東 深圳 518057)

超聲變幅桿是功率超聲設(shè)備中的關(guān)鍵部件，主要用于實(shí)現(xiàn)能量傳輸和聚能的作用。在高聲強(qiáng)超聲如超聲加工、超聲焊接等應(yīng)用中，輻射面一般需要幾十到幾百μm的振動幅度，通常在換能器上連接超聲變幅桿以實(shí)現(xiàn)其振幅的要求，因此對于變幅桿振幅放大的研究尤為重要[1]。

按照振動類型，超聲變幅桿可以分為縱振、扭振、彎振和復(fù)合振動四類，其中，在功率超聲加工和處理中，縱振型應(yīng)用最為普遍。按照母線形狀分類，常見的變幅桿有階梯[2-3]，指數(shù)[4]，圓錐[5]，懸鏈線[6]等類型，常見變幅桿的性能特點(diǎn)如表1所示。其中，階梯型變幅桿放大系數(shù)最大，但由于應(yīng)力分布集中，工作安全性較差。為了綜合考慮放大系數(shù)和變幅桿上的最大應(yīng)力，利用ANSYS優(yōu)化設(shè)計(jì),以變幅桿放大系數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，以發(fā)生在桿的最大應(yīng)力和工作頻率為狀態(tài)變量，可獲得新型變幅桿。例如Wang等[7]設(shè)計(jì)了一種貝茲爾曲線截面的變幅桿，在相同的面積系數(shù)下，這種形狀變幅桿比懸鏈線形變幅桿振幅增加了71%，而最大應(yīng)力減小了58%。

表1 常見的幾種變幅桿優(yōu)缺點(diǎn)比較

在實(shí)際應(yīng)用中，超聲變幅桿的性能最常見的參數(shù)有工作頻率，放大系數(shù)M，形狀因數(shù)φ。以往對提高變幅桿振幅的設(shè)計(jì)都是以增大放大系數(shù)M為目標(biāo)，而本文則以提高變幅桿形狀因數(shù)φ為目標(biāo)。

本文研究變幅桿工作時(shí)振動狀況，基于變截面桿波動方程，研究一種確定頻率的大振幅變幅桿。同時(shí)通過對比不同形狀變幅桿振動情況，驗(yàn)證理論設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確性。

1 大振幅變幅桿設(shè)計(jì)理論

1.1 變幅桿形狀的設(shè)計(jì)

圖1所示為一種由郎之萬振子與變幅桿構(gòu)成的壓電換能器，工作頻率為55.7 kHz。其中振子由壓電陶瓷環(huán)堆，前、后蓋板，預(yù)緊螺栓等組成。振子后蓋板上的法蘭位于系統(tǒng)振動節(jié)點(diǎn)處，用于固定。通過合理地設(shè)計(jì)變幅桿的形狀，當(dāng)受到振子的激勵(lì)時(shí)，變幅桿處于一階縱向振動模態(tài)，并實(shí)現(xiàn)振動振幅的放大，其位移曲線示意圖如圖1所示。

圖1 郎之萬振子與變幅桿示意圖

為了獲得大振幅變幅桿，首先分析一段細(xì)長等截面桿在受到縱向激勵(lì)下的一階共振狀態(tài)。圖2(a)所示為一等截面細(xì)長桿，當(dāng)?shù)冉孛鏃U達(dá)到一階縱振模態(tài)時(shí)，在其中間節(jié)點(diǎn)處的位移始終為零，而應(yīng)力最大。等截面桿的振幅取決于節(jié)點(diǎn)后1/4波長段的最大拉伸長度，而這又受變幅桿材料所能承受應(yīng)力的限制[7]，即發(fā)生在節(jié)點(diǎn)處的最大應(yīng)力不能超過材料的疲勞極限。設(shè)想如果有一種變幅桿如圖2(b)所示,發(fā)生在變幅桿上的最大應(yīng)力不僅位于節(jié)點(diǎn)處，而且在節(jié)點(diǎn)后持續(xù)很長一段長度l2，理論上l2不超過1/4波長。當(dāng)空載時(shí)，變幅桿末端應(yīng)力理論上為0，為了實(shí)現(xiàn)這種過渡，在變截面后段加一段長為l3等截面桿作為過輸出端，那么這種形狀的變幅桿就能獲得相同材料變幅桿的理論最大值。為了獲得等應(yīng)力變幅桿，根據(jù)變截面桿波動方程(1)，計(jì)算節(jié)點(diǎn)后應(yīng)力均勻分布段桿的輪廓曲線，然后利用ANSYS有限元仿真，使得應(yīng)力最大值發(fā)生在應(yīng)力均勻分布處。

圖2 (a)等截面桿及應(yīng)力分布 (b)等應(yīng)力桿及應(yīng)力分布

細(xì)長變截面桿的縱向振動波動方程如下：

(1)

其中:x為沿桿長度質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)值，ξ(x)為質(zhì)點(diǎn)位移函數(shù)，S(x)為桿的橫截面積函數(shù)，k為圓波數(shù)。

要使得桿上每一處應(yīng)力大小分布均勻，則應(yīng)變與x值無關(guān)，此時(shí)位移分布函數(shù)可以表示如下：

(2)

令：

(3)

其中:ξl為x=l處質(zhì)點(diǎn)振動位移的大小，ω為圓頻率。將式(2)、(3)代入式(1)，可解得:

(4)

(5)

(6)

其中:R(x)為輪廓半徑函數(shù)，R0為節(jié)點(diǎn)處半徑。由式(4)、(5)、(6)可知，S(x)、R(x)、l2和l3不僅取決于變幅桿始端和末端截面面積，還與變幅桿的材料有關(guān)。變幅桿始端半徑主要取決于振子連接處，本文取R0=3.18 mm，末端面積取決于工具頭，本文取Rl=0.5 mm。表2所示三種不同材料等應(yīng)力變幅桿的幾何參數(shù)，其中x為桿長。

表2 三種材料等應(yīng)力變幅桿幾何參數(shù)

1.2 變幅桿材料的選擇

變幅桿對材料的要求主要有：①在其工作的頻率范圍內(nèi)材料的耗損小，②材料的疲勞強(qiáng)度高，而聲阻抗率小，③易于機(jī)械加工[8]。適合以上要求的材料主要有鋁合金，鈦合金等。由圖2可知，l2?l3，所以可以近似認(rèn)為l2段拉伸長度為變幅桿的振幅而忽略l3的拉伸長度。由胡克定律：

(7)

其中:σmax為發(fā)生在變幅桿上的最大應(yīng)力，E為材料的楊氏模量，l2為等應(yīng)力段長度(如表2所示)，計(jì)算結(jié)果如表3所示。表3所示為303不銹鋼，7075-T651鋁、TC4鈦合金三種材料的抗疲勞強(qiáng)度[σ]和變幅桿所能達(dá)到的極限振幅Dmax。

表3 三種材料的疲勞強(qiáng)度及對應(yīng)理論最大振幅

2 仿真設(shè)計(jì)

為了使上述設(shè)計(jì)的變幅桿應(yīng)力最大值發(fā)生在應(yīng)力分布均勻處，采用ANSYS軟件分析換能器系統(tǒng)的振動模態(tài)，調(diào)節(jié)變幅桿l1的長度,使換能器系統(tǒng)一階共振頻率為振子的工作頻率，即55.7 kHz附近，再利用ANSYS諧響應(yīng)分析，確認(rèn)變幅桿的最大應(yīng)力發(fā)生在所設(shè)計(jì)的等應(yīng)力處，從而確定變幅桿的形狀參數(shù)。

2.1 模型的建立與模態(tài)分析

在三維設(shè)計(jì)軟件Unigraphics NX 7.5(UG NX7.5)中建立郎之萬振子與等應(yīng)力變幅桿裝配體三維模型及其各部分尺寸如圖3(a)所示，將模型導(dǎo)入到ANSYS軟件，并進(jìn)行網(wǎng)格劃分如圖3(b)所示，網(wǎng)格劃分采用自由劃分方式，網(wǎng)格劃分中壓電陶瓷環(huán)片的單元類型選用六面體20節(jié)點(diǎn)單元的solid226，其他各個(gè)部分都選用三維20節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)單元的solid95。其中，前后蓋板的材料分別為303不銹鋼和7075-T651鋁，壓電陶瓷堆是由四片沿z方向極化的PZT4壓電陶瓷環(huán)組成，相鄰兩片陶瓷片的極化方向相反，預(yù)緊螺栓和變幅桿的材料都為TC4鈦合金，各材料參數(shù)如表4所示。

由前述變幅桿設(shè)計(jì)理論可知，換能器的固有頻率和節(jié)點(diǎn)位置可以通過改變l1的值來調(diào)節(jié)。以l1為變量，以超聲換能器系統(tǒng)工作頻率為55.7 kHz為目標(biāo)，優(yōu)化l1長度，可得l1長度與固有頻率之間的關(guān)系表5所示。當(dāng)l1=21 mm時(shí)，系統(tǒng)的固有頻率為55.735 kHz，系統(tǒng)位移云圖如圖3(c)所示。

圖3 (a)裝配體示意圖(b)三維有限元網(wǎng)格劃分(c)ANSYS模態(tài)分析位移云圖

表4 壓電陶瓷(PZT4)，7075-T651鋁，303不銹鋼，和TC4材料參數(shù)

表5 l1長度與固有頻率的關(guān)系

2.2 諧響應(yīng)分析

諧響應(yīng)分析是用于確定線性結(jié)構(gòu)在承受隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的載荷時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的一種技術(shù)。利用ANSYS諧響應(yīng)技術(shù)可以分析和計(jì)算當(dāng)變幅桿受到一定頻率激勵(lì)時(shí)，其應(yīng)力分布狀況和大小。

在ANSYS諧響應(yīng)分析中，施加在壓電陶瓷上激勵(lì)電壓峰峰值為1V，頻率為模態(tài)分析所獲得的頻率，即55 735 Hz。分析后，后處理觀察沿桿等效應(yīng)力分布云圖如圖4(a)所示，由圖可知，變幅桿應(yīng)力沿節(jié)點(diǎn)后的位置分布均勻，同時(shí)也是整個(gè)變幅桿應(yīng)力分布最大處。圖4(b)所示為變幅桿應(yīng)力分布曲線。

為了比較所設(shè)計(jì)的等應(yīng)力變幅桿與其他常見形狀變幅桿能獲得最大振幅的關(guān)系，同時(shí)設(shè)計(jì)了固有頻率和面積因數(shù)都與等應(yīng)力桿相等的階梯形和圓錐形變幅桿，以及固有頻率與之相同的等截面變幅桿。圖5所示為四種不同形狀變幅桿輪廓曲線。

圖4 (a)應(yīng)力云圖 (b)變幅桿應(yīng)力分布曲線

圖5 四種形狀變幅桿輪廓曲線

對于相同材料和相同固有頻率的變幅桿，形狀因數(shù)φ是衡量其能達(dá)到最大振幅的標(biāo)準(zhǔn)，其表達(dá)式如下：

(8)

其中:ξmax為變幅桿輸出端的速度，σmax為發(fā)生在變幅桿上的最大應(yīng)力，ρC為變幅桿的材料機(jī)械阻抗，它僅與材料有關(guān)。為了計(jì)算方便，本文引入了一個(gè)參數(shù)τ，其與φ滿足如下關(guān)系：

φ=2πfρC·τ

(9)

對于同一材料的變幅桿，τ值與變幅桿的形狀因數(shù)成正比，單位為m/Pa。它的物理意義是：變幅桿上的最大應(yīng)力每增加1 Pa，變幅桿振幅所增加的量。通過比較τ值來衡量不同形狀變幅桿能達(dá)到最大振幅，只需要δmax和σmax兩個(gè)量，這兩個(gè)量在ANSYS諧響應(yīng)分析中都可以獲得。值得注意的是，ANSYS諧響應(yīng)分析時(shí)，輸入的阻尼值會對δmax和σmax兩個(gè)量計(jì)算結(jié)果有很大影響，但是對其比值即τ值沒有影響，因此可以設(shè)置阻尼為一個(gè)經(jīng)驗(yàn)值(如α=113.087，β=9.19×10-10)。表6所示為四種變幅桿ANSYS諧響應(yīng)分析計(jì)算后所得的各個(gè)參數(shù)值。

由表6可知，在同一電壓激勵(lì)下(1Vp-p)，雖然階梯形變幅桿振幅最大，但是應(yīng)力也遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他三種變幅桿，所以當(dāng)激勵(lì)電壓增加時(shí)，它會最先斷裂。等應(yīng)力變幅桿的τ值最大，為0.371×10-12m/Pa，高于圓錐形變幅桿(τ為0.257×10-12m/Pa)44.4%，所以當(dāng)激勵(lì)電壓不斷增大，它能獲得的振幅最大而最后斷裂。等截面變幅桿由于對振子輸出端振幅沒有放大作用，所以在相同大小的激勵(lì)電壓下，它的振幅最小，但是隨著電壓的增大，當(dāng)發(fā)生斷裂時(shí)，它能達(dá)到的振幅卻約為階梯形變幅桿的2倍。

表6 不同形狀變幅桿諧響應(yīng)分析結(jié)果

3 實(shí)驗(yàn)測試

在數(shù)值模擬的基礎(chǔ)上，加工了用前述方法設(shè)計(jì)的等應(yīng)力變幅桿，圖6所示為包括郎之萬振子和等應(yīng)力變幅桿的換能器裝配實(shí)物圖。

圖6 超聲換能器系統(tǒng)

在小信號(1Vp-p)激勵(lì)下，用LCR-8081精密阻抗儀測量獲得了換能器振動系統(tǒng)的導(dǎo)納和相位曲線(分析頻率范圍為50～60 kHz)如圖7所示。其諧振頻率為56.083 kHz，這與ANSYS數(shù)值計(jì)算所得結(jié)果(55.735 kHz)相差0.61%。在分析頻率范圍內(nèi)只有一個(gè)諧振峰，這也有利于抑制系統(tǒng)其它振型對所需振型的干擾。

圖7 導(dǎo)納和相位曲線

由于振幅超過10 μm，可以用長焦距顯微鏡在振動端面上直接觀測振幅，測量裝置示意圖如圖8。信號發(fā)生器(RIGOL DG1022)輸出正弦信號經(jīng)功率放大器(LM3886)接入振子，調(diào)節(jié)信號頻率并利用數(shù)字示波器(Rigol DS 5022)觀察輸入振子電壓信號，使超聲換能器工作在共振狀態(tài)。通過顯微鏡數(shù)碼攝像機(jī)(DCM136)將變幅桿輸出端的振動圖像傳輸?shù)诫娔X。經(jīng)軟件(ScopePhoto3.0)標(biāo)定變幅桿上一點(diǎn)并測量振幅大小如圖9所示，由圖可知，變幅桿的振幅都隨著電壓的增大而增大。相同激勵(lì)電壓下，等應(yīng)力變幅桿振幅約為等截面形狀桿的5.23倍。當(dāng)電壓為198Vp-p時(shí)，振幅峰峰值達(dá)到148 μm，此時(shí)超聲變幅桿的響應(yīng)頻率為55.9 kHz。試驗(yàn)中，隨著電壓的增大和工作時(shí)間的持續(xù)，變幅桿振幅的增大速度會變小且響應(yīng)頻率也會變小。通過分析，這種現(xiàn)象是由于隨著激勵(lì)電壓的增大和工作時(shí)間的持續(xù)會引起材料發(fā)熱，溫度的升高導(dǎo)致材料特性變化而引起的。

圖8 變幅桿振幅測試裝置

圖10所示為激勵(lì)電壓分別為80、90和100Vp-p時(shí)所測變幅桿頻率響應(yīng)曲線。由圖可知，響應(yīng)頻率隨著電壓的增大而減小。在實(shí)際工作中，隨著負(fù)載的變化，變幅桿的響應(yīng)頻率也會發(fā)生一定的變化，可利用鎖相環(huán)技術(shù)跟蹤頻率解決這個(gè)問題。

圖9 振幅-電壓關(guān)系

圖10 三種激勵(lì)電壓變幅桿頻率響應(yīng)曲線

4 結(jié) 論

在深入研究超聲變幅桿振動的基礎(chǔ)上，從提高變幅桿形狀因數(shù)的角度，通過理論計(jì)算和ANSYS軟件仿真結(jié)合的方法，設(shè)計(jì)了應(yīng)力沿桿均勻分布的超聲變幅桿。這種形狀的變幅桿在同一材料和同一頻率的條件下，理論上能獲得最大的振動幅值。這種變幅桿的形狀有兩個(gè)特點(diǎn)：第一，發(fā)生在桿上最后1/4波長大部分長度上的應(yīng)力相等；第二，應(yīng)力分布均勻處的應(yīng)力也是變幅桿上應(yīng)力最大值處。

加工和測試了郎之萬振子和等應(yīng)力變幅桿，實(shí)測頻率與理論計(jì)算頻率十分接近。通過對所設(shè)計(jì)的超聲變幅桿實(shí)驗(yàn)測試可知，當(dāng)激勵(lì)電壓為198Vp-p時(shí)，變幅桿的振幅峰峰值可達(dá)到148 μm。遠(yuǎn)大于現(xiàn)有的同頻率下變幅桿的振幅。研究結(jié)果將在超聲焊接、超聲馬達(dá)和超聲液體泵等領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用。但是本系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中還存在一些不足，尚需改進(jìn)：隨著激勵(lì)電壓的提高和工作時(shí)間的增加，材料性質(zhì)非線性越來越顯著，變幅桿的發(fā)熱問題也越來越突出，這不利于工作的穩(wěn)定性和安全性。所以還需要設(shè)計(jì)散熱系統(tǒng)等，以抑制溫度提高引起的一系列問題。

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