張德琪，沈景鳳，陳俊豪

（200093 上海市 楊浦區(qū) 上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院）

0 引言

超聲振動(dòng)加工技術(shù)是一種重要的特種加工技術(shù)，在航天領(lǐng)域、國防領(lǐng)域以及醫(yī)療等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，解決了許多難加工材料的精密加工問題[1]。超聲波振動(dòng)系統(tǒng)一般由超聲波發(fā)生器、換能器、變幅桿和加工工具組成。由于換能器端面上的振幅微小于10μm，需要在換能器端面連接變幅桿，以實(shí)現(xiàn)振幅放大。變幅桿是超聲振動(dòng)系統(tǒng)中最為重要的組成部分，合適的變幅桿可以顯著提高加工效率與加工工件質(zhì)量。變幅桿一般有單一型和復(fù)合型兩種類型[2]。在高強(qiáng)度超聲加工工藝中，往往要求變幅桿末端必須具有較大的振幅，而變幅桿的形狀因素和放大系數(shù)是影響振幅的主要因素，所以要求這兩個(gè)值越大越好，而單一變幅桿一般此優(yōu)彼劣，很難二者兼顧，因此需使用各種復(fù)合型或者形狀復(fù)雜程度高的變幅桿。目前，由多種母線組合而成的復(fù)合型變幅桿在精確設(shè)計(jì)及工作穩(wěn)定性方面仍存在較多缺陷[3]。本文基于波動(dòng)理論來設(shè)計(jì)加工圓錐型復(fù)合變幅桿，并導(dǎo)入SolidWorks 中進(jìn)行有限元分析，利用優(yōu)化算例可以較好地改善以往由多種母線組合而成的復(fù)合型變幅桿在設(shè)計(jì)和工作方面的不足。

1 變幅桿的功能

1.1 變幅桿的類別

變幅桿根據(jù)不同的分類方法可以分成圖1 所示的類型。

圖1 變幅桿分類圖Fig.1 Classification of horns

變幅桿是組成超聲振動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)的關(guān)鍵部件，由于換能器產(chǎn)生的振幅特別小，一般在幾微米左右，但超聲加工需要幾十微米的幅度，所以需要變幅桿將振幅放大，完成加工[4]。變幅桿的作用有負(fù)載阻抗匹配和聚能。作為負(fù)載時(shí)，將振動(dòng)的機(jī)械能傳遞給工具，最終工具迫使工件振動(dòng)，從而完成去除材料的加工；作為聚能作用時(shí)，能量密度和振幅存在式（1）的關(guān)系：

式中：K——常數(shù)；J——能量密度；A——振動(dòng)的幅度。由此定性分析二者關(guān)系，變幅桿振動(dòng)幅度與面積大小成反比，所以變幅桿一般為上面直徑大、下面直徑小的結(jié)構(gòu)，同理，圓柱結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)振動(dòng)等幅度傳遞。

1.2 變幅桿的設(shè)計(jì)

1.2.1 理論分析

國內(nèi)目前對于變幅桿的設(shè)計(jì)理論大多都是建立振動(dòng)方程，利用一些邊界條件求解出變幅桿的頻率方程，這樣計(jì)算出的變幅桿結(jié)構(gòu)簡單，但是當(dāng)改變變幅桿一些結(jié)構(gòu)時(shí)對變幅桿的影響較大，沒法計(jì)算改變結(jié)構(gòu)后的具體數(shù)據(jù)。針對這種情況，本文采用了先用變幅桿理論計(jì)算出具體數(shù)據(jù)，然后用SolidWorks 建立模型，并建立與實(shí)際一樣的三維模型，包括螺紋孔。利用SolidWorks 的優(yōu)化算例，分析出比較合理的尺寸分布，最后通過諧響應(yīng)分析得到優(yōu)化后的變幅桿，完成優(yōu)化設(shè)計(jì)。

根據(jù)設(shè)計(jì)旋轉(zhuǎn)超聲振動(dòng)電加工機(jī)床的需求，決定采用圓錐復(fù)合型變幅桿，這種變幅桿放大性能好，工作穩(wěn)定，受力狀況好。下面簡單闡述圓錐復(fù)合變幅桿的理論計(jì)算[5]。

如圖2 所示，以圓錐復(fù)合變幅桿大端與圓錐交界處為節(jié)點(diǎn)位置，建立坐標(biāo)軸，將變幅桿大端、過渡部分和小端分別稱作第1、2 和3 部分。假設(shè)變幅桿為理想狀態(tài)，則振動(dòng)方程為

圖2 圓錐復(fù)合變幅桿Fig.2 Cone composite horn

式中：ξ——質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)；k——圓波數(shù)；S——截面積。

由于設(shè)計(jì)的變幅桿為半波長類型，所以k=k，根據(jù)振動(dòng)方程可以得到圓錐復(fù)合變幅桿的小端質(zhì)點(diǎn)位移分布函數(shù)

中間圓錐過渡段的質(zhì)點(diǎn)位移分布函數(shù)

復(fù)合變幅桿大端部分質(zhì)點(diǎn)位移分布函數(shù)

式中：l1，l2，l3——圓錐復(fù)合變幅桿各段長度；錐度系數(shù)為α=（N-1）/（Nl2）；N——大端與小端的直徑比。

得到整個(gè)圓錐復(fù)合變幅桿的頻率方程：

位移節(jié)點(diǎn)為

放大系數(shù)Mp為

1.2.2 變幅桿的設(shè)計(jì)

變幅桿需要與換能器的前蓋板緊密連接，為了更好地傳遞振動(dòng)，減少能量損失，設(shè)計(jì)的變幅桿大端直徑應(yīng)該和換能器前蓋板直徑一樣大[6]，所以變幅桿大端直徑為50 mm；設(shè)計(jì)的變幅桿類型為1/2 波長圓錐復(fù)合型，即l1=l3。為了方便計(jì)算變幅桿的數(shù)據(jù)，給定l2的尺寸為50 mm；材料選用傳聲性能好，價(jià)格便宜且易加工的45 號(hào)鋼，其縱波聲速c=5 170 m/s、密度ρ=7.85 g/mm3、楊氏模量E=211 GPa、泊松比λ=0.28。

查閱資料，面積比N=2 時(shí)變幅桿性能相對較好[7]，故以N=2 計(jì)算。將已知數(shù)據(jù)代入式（9）得l1=l3=44.1 mm。聯(lián)立式（2）、式（3），計(jì)算節(jié)點(diǎn)位置x0=17.4 mm，注意節(jié)點(diǎn)位置相對于坐標(biāo)原點(diǎn)開始，由式（11）計(jì)算出放大倍數(shù)Mp=3.469 8。圓錐復(fù)合變幅桿的初步尺寸如表1 所示。

表1 圓錐復(fù)合變幅桿計(jì)算尺寸Tab.1 Calculated size of cone composite horn

這樣就完成了圓錐復(fù)合變幅桿的理論計(jì)算，變幅桿的尺寸全部確定。接下來，結(jié)合頻率分析和諧響應(yīng)分析來優(yōu)化初步設(shè)計(jì)的變幅桿，優(yōu)化設(shè)計(jì)出性能接近真實(shí)的圓錐復(fù)合變幅桿。

2 變幅桿的優(yōu)化

2.1 計(jì)算的變幅桿模態(tài)分析

根據(jù)理論計(jì)算出來的數(shù)據(jù)進(jìn)行SolidWorks 建模，然后進(jìn)行圓錐復(fù)合變幅桿的模態(tài)分析。由于理論計(jì)算是無約束條件下的頻率方程，在頻率分析時(shí)不添加任何約束，材料設(shè)置為45 號(hào)鋼，網(wǎng)格采用自動(dòng)生成，利用FFEPlus 求解前15 階頻率，發(fā)現(xiàn)在12 階時(shí)最接近設(shè)計(jì)頻率，為19 631 Hz。查看其12 階振型，發(fā)現(xiàn)共振變形為變幅桿為縱振狀態(tài)，可以滿足變幅桿縱向振動(dòng)加工的需求[8]，具體分析如圖3 所示。

圖3 理論圓錐復(fù)合變幅桿模態(tài)Fig.3 Theoretical cone composite horn mode

對計(jì)算的理論變幅桿進(jìn)行分析，頻率誤差為（20 000-19 631）/20 000=1.845%，由大端面和小端面的相對位移計(jì)算放大倍數(shù)MP=2.408/0.704=3.420，則放大倍數(shù)誤差為（3.469 8-3.420）/3.469 8=1.397%。通過分析計(jì)算，可知理論計(jì)算符合設(shè)計(jì)要求，但這只是簡單結(jié)構(gòu)下的結(jié)論。變幅桿往往需要通過法蘭跟機(jī)床連接，在變幅桿底部還需要與加工工具連接，這些結(jié)構(gòu)對變幅桿的諧振頻率有影響，尤其法蘭盤的大小會(huì)影響變幅桿的放大狀態(tài)[9]，對于法蘭盤和加工工具目前沒有較好的計(jì)算方法。利用SolidWorks 的優(yōu)化算例對實(shí)際變幅桿進(jìn)行優(yōu)化分析，最后進(jìn)行諧響應(yīng)分析，得到最終實(shí)際性能優(yōu)越的變幅桿。

2.2 變幅桿的優(yōu)化

根據(jù)旋轉(zhuǎn)超聲系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，確定變幅桿的法蘭盤大小，并將其定位在計(jì)算的節(jié)點(diǎn)位置。法蘭盤直徑100 mm，在72 mm 處有4×Φ4 的安裝孔，重建變幅桿模型。完成建模后，為了得到更加實(shí)際的工作狀態(tài)，將變幅桿法蘭盤處添加固定約束，然后進(jìn)行模態(tài)分析，找出最接近20 000 Hz 的模態(tài)，發(fā)現(xiàn)在第10 階模態(tài)達(dá)到20 587 Hz，并且變幅桿屬于縱向振動(dòng)狀態(tài)[10]，具體如圖4 所示。

圖4 變幅桿優(yōu)化前的模態(tài)Fig.4 Modal before optimization of the horn

打開SolidWorks 的設(shè)計(jì)算例，建立并設(shè)置頻率傳感器，頻率傳感器可以獲取到變幅桿在第10階振型下的共振頻率。以變幅桿的大端、過渡段、小端的長度為變量，結(jié)合變幅桿優(yōu)化理論，給定過渡段范圍為40～50 mm、大端和小端的長度為40.1～48.1 mm，進(jìn)行優(yōu)化算法。

經(jīng)過算法優(yōu)化分析，得到表2 中的優(yōu)化結(jié)果。變幅桿尺寸確定后，只需要進(jìn)行變幅桿的諧響應(yīng)分析，看是否滿足設(shè)計(jì)的需要。

表2 優(yōu)化結(jié)果和部分優(yōu)化數(shù)據(jù)Tab.2 Optimization results and partial optimization data

2.3 優(yōu)化后變幅桿的諧響應(yīng)分析

優(yōu)化設(shè)計(jì)的圓錐復(fù)合變幅桿帶有法蘭盤，由于法蘭盤的存在，使得變幅桿工作端的振幅變小。為了確保放大倍數(shù)，進(jìn)行變幅桿諧響應(yīng)分析，設(shè)置求取20 000 Hz 附近的10 階模態(tài)，搜索范圍在10 000～25 000 Hz。按照實(shí)際工作狀況固定變幅桿法蘭盤，給變幅桿大端一個(gè)統(tǒng)一基準(zhǔn)的0.01 mm的激發(fā)位移，網(wǎng)格選用帶有曲率的網(wǎng)格化分，曲率網(wǎng)格可以使諧響應(yīng)分析的結(jié)果更加可靠[11]。分析完成后列舉共振頻率，在求出的各階振動(dòng)頻率中，第6 階頻率為20 012 Hz，最接近設(shè)計(jì)的理論值20 000 Hz，誤差不超過1%，滿足設(shè)計(jì)和理論的需要，列舉的共振頻率如表3 所示。

表3 共振頻率Tab.3 The resonant frequencies

變幅桿在第6 階振型下共振頻率為20 012 Hz，其振型圖如圖5 所示。通過分析圖5 可以看出，在換能器與變幅桿連接處，換能器給其0.01 mm振幅位移；在法蘭盤處的變形最小，變幅桿可以輸出0.039 mm 振幅位移，從而完成放大的功能，完成超聲加工。

圖5 變幅桿優(yōu)化后諧響應(yīng)分析Fig.5 Harmonic response analysis after horn optimization

由變幅桿諧響應(yīng)圖6 可知，在20 012 Hz 時(shí)優(yōu)化后的變幅桿發(fā)生共振，并且振幅情況在整個(gè)響應(yīng)頻率中較大，在40μm 左右，可以正常完成超聲加工，且性能良好。

圖6 優(yōu)化后變幅桿頻率響應(yīng)圖Fig.6 Frequency response diagram of the horn after optimization

3 結(jié)語

本文通過分析，確定了變幅桿的類型為圓錐過渡復(fù)合結(jié)構(gòu)。從理論計(jì)算了基本尺寸，并從具體的結(jié)構(gòu)出發(fā)，建立了變幅桿的三維模型，考慮了法蘭盤和螺紋孔對變幅桿的影響。利用SolidWorks 進(jìn)行模態(tài)分析后，確定了優(yōu)化變量，利用SolidWorks 的優(yōu)化算例優(yōu)化了變幅桿的具體尺寸，并通過諧響應(yīng)分析證明了優(yōu)化后的變幅桿性能穩(wěn)定。所優(yōu)化設(shè)計(jì)的變幅桿能夠滿足超聲加工的需要，性能可靠，可以滿足實(shí)際工程需求。