王維鴿，賀西平

（陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西 西安710119）

超聲振動系統(tǒng)主要由換能器和變幅桿等部件組成。變幅桿起著聚集超聲能量、放大振幅和阻抗匹配等作用［1］。為了獲得大振幅的變幅桿，文獻(xiàn)［2］報(bào)道了外形為B樣條曲線的變幅桿，該變幅桿的振幅放大系數(shù)比傳統(tǒng)的懸鏈線變幅桿大41．1%，比貝塞爾曲線變幅桿大8．6%。Wang等［3］設(shè)計(jì)了貝塞爾曲線形變幅桿，仿真計(jì)算、測試表明貝塞爾曲線變幅桿的振幅放大倍數(shù)比傳統(tǒng)的懸鏈形變幅桿大71%。文獻(xiàn)［4］研究了5種形狀的變幅桿，仿真計(jì)算的結(jié)果說明階梯形和貝塞爾形變幅桿具有較大的放大系數(shù)。

對于傳統(tǒng)形狀變幅桿，在面積系數(shù)N相同時，階梯形變幅桿的振幅放大系數(shù)最大，其次為懸鏈線形、指數(shù)形，最小是圓錐形。雖然如此，形狀因數(shù)的順序恰與此相反。

一般設(shè)計(jì)變幅桿的方法有解析法［5－6］、傳輸矩陣法［7］、等效電路法［8－10］、表觀彈性法［11］和有限元法［12－13］等。隨著超聲加工技術(shù)應(yīng)用日益廣泛，為提高超聲加工、處理的效率和質(zhì)量，對振動系統(tǒng)的振幅等參數(shù)提出了更高要求。設(shè)計(jì)大放大系數(shù)的變幅桿，提高其能量轉(zhuǎn)換效率顯得極為重要［14］。

本文基于解析法和有限元法，研究了內(nèi)孔分別為柱孔和錐孔的錐形變幅桿。利用解析法推導(dǎo)了這兩種變幅桿的頻率方程及各性能參數(shù)表達(dá)式；利用ANSYS有限元分析軟件建立了這兩種桿以及對應(yīng)錐孔和柱孔填實(shí)的實(shí)心桿模型，計(jì)算了變幅桿的應(yīng)力以及振動位移隨軸向分布的規(guī)律。結(jié)果表明，當(dāng)諧振頻率和面積系數(shù)相同時，錐孔的錐形變幅桿放大系數(shù)最大，柱孔的次之，實(shí)心錐形變幅桿最小；不同形狀變幅桿的位移節(jié)點(diǎn)與應(yīng)變極大位置之和近似等于其半波長諧振長度。最后給出了各變幅桿的等效電路。

1 推導(dǎo)及計(jì)算

內(nèi)孔為錐形和柱形、外形為錐形的變幅桿及對應(yīng)空心部分填實(shí)后的實(shí)心錐形變幅桿如圖1所示。

圖1 內(nèi)孔為柱形的錐形變幅桿（a），帶有錐形孔的錐形變幅桿（b），實(shí)心錐形變幅桿（c）的示意圖Fig．1 Sketch figurer of conical ultrasonic horn with a cylindrical central hole（a），Conical ultrasonic horn with a conical central hole（b）and the solid horn（c）

材料為45＃鋼，其楊氏模量為2．09×1011N2／m，泊松比為0．28，密度為7 800kg／m3。不同形狀變幅桿的編號及相應(yīng)的幾何尺寸如表1所示。為了便于比較，取各桿兩端的外徑相同。

表1 變幅桿編號及幾何參數(shù)Tab．1 The number and geometric parameters of the horns

1＃變幅桿的半徑變化規(guī)律為α1＝（R1－R2＋R3－R4）／（（R1－R4）l），面積系數(shù)為N1＝（R1－R4）／（R2－R3）；2＃變幅桿的半徑變化規(guī)律為α2＝（R1－R2）／（（R1－R4）l），面積系數(shù)為N2＝（R1－R4）／（R2－R3）；3＃與4＃變幅桿的半徑變化規(guī)律為α3，4＝（R1－R2）／（R1l），面積系數(shù)為N3，4＝R1／R2。

1．1 頻率方程及各性能參數(shù)表達(dá)式

變截面桿的一維縱向振動的波動方程其中k＝ω／c，k是波數(shù)；ω 是振動的圓頻率；c＝是桿中一維縱振傳播速度。已知中心帶孔的錐形變幅桿截面變化規(guī)律為

波動方程的解為

由式（4），當(dāng)x＝x0時，ξ＝0，則位移節(jié)點(diǎn)x0為

1．2 性能參數(shù)的計(jì)算及分析

諧振頻率為14～25kHz，將表1中的幾何參數(shù)代入上面各表達(dá)式中，可計(jì)算得到諧振長度lp、位移節(jié)點(diǎn)x0、應(yīng)變極大xM、放大系數(shù)Mp如表2所示。

表2 變幅桿的各性能參數(shù)Fig．2 The kinds of performance parameters of the horns

各變幅桿的放大系數(shù)與諧振頻率的關(guān)系，如圖2所示。由圖2可以看出，諧振頻率與面積系數(shù)相同時，2＃變幅桿的放大系數(shù)最大，1＃變幅桿次之，3＃和4＃桿的放大系數(shù)相差不大，為最小。諧振頻率為20kHz時，取實(shí)心懸鏈線、階梯形變幅桿的大端和小端與表1中的幾何尺寸相同，則1?？招淖兎鶙U的放大系數(shù)（小于2＃）比懸鏈線形的還大29．6%，與階梯形的近似相等。

從圖3和圖4可以看出，在諧振狀態(tài)下，1＃和2＃變幅桿的（x0＋xM）／lp都近似等于1，即1＃和2＃變幅桿應(yīng)力極大的位置與位移節(jié)點(diǎn)之和與3＃變幅桿［15］的都近似等于對應(yīng)變幅桿的諧振長度。

圖2 不同形狀變幅桿的放大系數(shù)與諧振頻率的關(guān)系Fig．2 The relationship between amplification factor and resonant frequency with different horns

圓錐孔變幅桿各性能參數(shù)與諧振頻率的關(guān)系The relationship between the parameters of the sonant frequency of horns with a conical central hole

圓柱孔變幅桿各性能參數(shù)與諧振頻率的關(guān)系．4 The relationship between the parameters and t frequencies of horns with a cylindrical central hole

2 有限元計(jì)算

建立有限元模型進(jìn)行模態(tài)計(jì)算，得到不同形狀變幅桿的諧振長度對應(yīng)的一階縱振頻率（如表3所示）。在諧振狀態(tài)下，各變幅桿的位移沿軸向分布如圖5和6所示。

從圖5和圖6中可以看出，2＃變幅桿的放大倍數(shù)最大，1＃變幅桿次之，3＃和4＃變幅桿的放大系數(shù)相差不大，即為最小。沿軸向歸一化應(yīng)力分布和位移分布如圖7和8所示。

表3 各變幅桿諧振長度對應(yīng)的一階縱振頻率Fig．3 The first order frequencies of longitudinal vibration corresponding to their length of the horns

圖5 圓柱孔與實(shí)心變幅桿沿軸向的位移分布Fig．5 Displacement distribution of the horns with a cylindrical central hole and solid horn

圖6 圓錐孔與實(shí)心變幅桿沿軸向的位移分布Fig．6 Displacement distribution of the horns with a conical central hole and solid horn

圖7 不同形狀變幅桿沿軸向的應(yīng)力分布曲線Fig．7 Stress distribution of kinds of the horns

圖8 不同形狀變幅桿沿軸向的位移分布曲線Fig．8 Displacement distribution of kinds of the horns

可以看出，在諧振狀態(tài)下4種變幅桿應(yīng)力極大的位置與位移節(jié)點(diǎn)之和近似等于對應(yīng)變幅桿的諧振長度。1＃變幅桿的應(yīng)變極大值xM＝0．071mm，位移節(jié)點(diǎn)x0＝0．06mm，xM＋x0＝0．131mm，近似為變幅桿的諧振長度。經(jīng)理論推導(dǎo)，空心變幅桿的等效電路與實(shí)心變幅桿的等效電路相同［1］，只要將空心變幅桿對應(yīng)阻的參數(shù)代入即可。

3 結(jié)論

本文基于解析法和有限元法，對4種不同形狀的變幅桿進(jìn)行了計(jì)算研究，得到如下結(jié)論：

（1）在相同面積系數(shù)和諧振頻率下，空心變幅桿、階梯形變幅桿的放大系數(shù)最大，依次為懸鏈線、指數(shù)形、圓錐形。

（2）在相同面積系數(shù)和諧振頻率下，不同形狀中心孔錐形變幅桿的放大系數(shù)順序?yàn)椋簬в绣F形孔的桿最大，柱形孔的次之，柱孔為實(shí)心的桿和錐孔為實(shí)心的放大系數(shù)相差不大，為最小。

（3）中空變幅桿的應(yīng)力極大值大于對應(yīng)空心部分填實(shí)的變幅桿。

（4）4種變幅桿的形狀不同，等效電路卻都相同，代入相應(yīng)的幾何參數(shù)就可以得到具體的機(jī)電等效電路。

（5）不同形狀變幅桿的應(yīng)變極大值點(diǎn)與位移節(jié)點(diǎn)之和近似等于對應(yīng)變幅桿的半波長諧振長度。

［1］林仲茂．超聲變幅桿的原理和設(shè)計(jì)［M］．北京：科學(xué)出版社，1984：53－126．

［2］Nguyen Hu T，Nguyen H D，Uan J Y，et al．A nonrational B－spline profiled horn with high displacement amplification for ultrasonic welding［J］．Ultrasonics，2014，54（3）：2063－2071．

［3］Wang D A，Chuang W Y，Hsu K，et al．Design of a B zier－profile horn for high displacement amplification［J］．Ultrasonics，2011，51：148－156．

［4］Roopa Rani M，Rudramoorthy R．Computational modeling and experimental studies of the dynamic performance of ultrasonic horn profiles used in plastic welding［J］．Ultrasonics，2013，53：763－772．

［5］賀西平，程存弟．幾種常見形狀函數(shù)超聲變幅桿性能參量的統(tǒng)一表達(dá)［J］．陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1994，22（3）：29－32．

［6］賀西平，高潔．超聲變幅桿設(shè)計(jì)方法研究［J］．聲學(xué)技術(shù)，2006，25（1）：82－85．

［7］Lesniewski P．Discrete component equivalent circuit for Webster′s horns［J］．Applied Acoustics，1995，44：117－124．

［8］高潔，賀西平，胡靜．四端網(wǎng)絡(luò)法統(tǒng)一變幅桿的性能參量［J］．聲學(xué)技術(shù)，2006，25（1）：87－89．

［9］顧煜炯，周兆英，姚?。曊駝酉到y(tǒng)的四端網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)方法及其應(yīng)用［J］．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，1997，33（3）：95－100．

［10］趙福令，馮冬梅，郭東明，等．超聲變幅桿的四端網(wǎng)絡(luò)法設(shè)計(jì)［J］．聲學(xué)學(xué)報(bào)，2002，27（6）：554－558．

［11］Mori E．New bolt clamped flexural mode ultrasonic high power transducer with one dimensional construction［C］∥Ultrasonics International Conference Proceedings，1989：256．

［12］Huang Yicheng，Ding Guanzhang，Chen Bohsuan，et al．Simulation and experiment of langevin－type piezoelectric ultrasonic horn for micro tool motion［J］．Intelligent Technologies and Engineering Systems，2013：967－974．

［13］Xiao Guorong，Xu Xuemiao．Study on bezier curve variable step－length algorithm［J］．Physics Procedia，2010，25：1781－1786．

［14］潘巧生，劉永斌，賀良國，等．一種大振幅超聲變幅桿設(shè)計(jì)［J］．振動與沖擊，2014，33（9）：1－5．

［15］劉豆豆，賀西平，李家星．變幅桿位移節(jié)點(diǎn)和應(yīng)變極大位置的關(guān)系［J］．陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，42（3）：49－51．