俞灝

【摘要】在新型二叉樹參數(shù)模型的基礎(chǔ)上，引入隨機的系數(shù)變量，推導(dǎo)歐式期權(quán)價格。

【關(guān)鍵詞】期權(quán)定價；二叉樹圖定價方法；隨機性

期權(quán)是一種賦予持有人在某給定時間或該日期之前的任何時間以固定價格購進(jìn)或售出某項標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利的合約。1979年Cox、Ross和Rubinstein提出二叉樹期權(quán)定價（CRR）模型，最初是為Black-Scholes模型提供一種簡單的推導(dǎo)方法，但隨著研究的深入，二叉樹期權(quán)定價（CRR）模型不僅成為解釋Black-Scholes模型的一種輔助工具，而且也是建立復(fù)雜期權(quán)定價模型的重要手段。其后，推導(dǎo)出新型二叉樹參數(shù)模型[3]，以克服二叉樹期權(quán)定價（CRR）模型的不足。

本文就二叉樹模型的系數(shù)變量的隨機性進(jìn)行探討，并在新型二叉樹參數(shù)模型的基礎(chǔ)上，引入隨機的系數(shù)變量，推導(dǎo)歐式期權(quán)價格。為方便，假設(shè)市場股票不分紅且沒有稅費、交易成本和邊際成本。

一、原有二叉樹參數(shù)模型的構(gòu)造

構(gòu)造二叉樹參數(shù)模型的基本思路就是讓Δt時間間隔內(nèi)二叉樹模型中的均值和方差與股票價格的行為模式中推導(dǎo)出的均值和方差相等，以此建立方程組，進(jìn)而求出參數(shù)p，u，d。二叉樹模型首先把期權(quán)的有效期分為很多很小的時間間隔Δt，并假設(shè)在每一個時間間隔Δt內(nèi)證券價格只有兩種變化：從開始的S上升到原來的u倍，即到達(dá)Su；下降到原來的d倍，即Sd。其中，u>1，d<1，價格上升的概率假設(shè)為p，下降的概率假設(shè)為1-p。在風(fēng)險中性世界里：

（1）所有可交易證券的期望收益率都是無風(fēng)險利率；

（2）未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)。

在風(fēng)險中性的條件下，設(shè)當(dāng)前時刻t的股票價格為S，標(biāo)的證券的預(yù)期收益率應(yīng)等于無風(fēng)險利率r，已知股票價格行為模型（有時也稱為幾何布朗運動）為：

dS=rSdt+σSdZ

其中r是股票價格的預(yù)期收益率，σ是股票價格的波動率，dW=εXΔt是標(biāo)準(zhǔn)維納過程，ε為從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的隨機值。假定期初的股價為St，則在很短的時間間隔Δt末的股票價格為St+Δt，于是

lnSt+Δt1St～N（r-σ212）Δt，σ2Δt

故St+Δt的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：

E[St+Δt]=SterΔt，Var[St+Δt]=S2te2rΔteσ2Δt-1

因此，參數(shù)p，u，d的值必須滿足這個條件：

E[St+Δt]=SterΔt=pStu+（1-p）Std

即pu+（1-p）d=erΔt（1）

而

Var（St+Δt）=ES2t+Δt-E2St+Δt=S2tpu2+S2t（1-p）d2-S2te2rΔt=S2te2rΔteσ2Δt-1

化簡后得：

pu2+（1-p）d2=e2rΔt+σ2Δt（2）

公式（1）、（2）給出了p，u和d的兩個條件。Cox，Ross和Rubinstein所用的第三個常用條件是取

u=11d（3）

由公式（1）求出概率p（風(fēng)險中性概率）：

p=erΔt-d1u-d

代入（2）式，得：

（u+d）erΔt-1=e2rΔt+σ2Δt

使用Cox，Ross和Rubinstein所用的條件（3）有

u2erΔt-ue2rΔt+σ2Δt+1+erΔt=0

取二次方程的根

u=e2rΔt+σ2Δt+1+e2rΔt+σ2Δt+12-4e2rΔt12erΔt

在以下求解過程中采用關(guān)于Δt的一階近似，可得到參數(shù)公式：

p=erΔt-d1u-du=eσΔtd=e-σΔt

二、新型二叉樹參數(shù)模型的構(gòu)造

由于補充d=1/u僅是由于據(jù)此導(dǎo)出的參數(shù)公式（3）在實際使用中比較方便，而這樣的參數(shù)選擇就存在明顯缺陷：首先，方程組的求解過程是一種近似求解，這將導(dǎo)致計算的不準(zhǔn)確；其次，對于較小的波動率σ，它將產(chǎn)生大于1或負(fù)的概率。例如，取r=0.12，Δt=0.1，σ=0.01，由p=erΔt-d1u-d，u=eσΔt和d=e-σΔt可計算得到概率p=2.4080，1-p=-1.4080，這是無意義的結(jié)果。因此，在此基礎(chǔ)上，推廣出新型二叉樹參數(shù)模型。

由于變量St+Δt1St服從均值為1+rΔt，標(biāo)準(zhǔn)差為σΔt的正態(tài)分布。而正態(tài)分布的奇數(shù)階中心矩為零，從而可得E（St+Δt1St）3=0，繼續(xù)可推出ES3t+Δt=S3t（3e3rt+σ2Δt-2e3rt）。因此可得方程

ES3t+Δt=pu3S3t+（1-p）d3S3t=S3t（3e3rt+σ2Δt-2e3rt），

即pu3+（1-p）d3=3e3rt+σ2Δt-2e3rt（4）

從而聯(lián)立（1），（2），（4）解這個方程組可得

p=112

u=erΔt+erΔteσ2Δt-1

d=erΔt-erΔteσ2Δt-1

可以看到求解方程組的過程是一種精確求解，結(jié)果也相當(dāng)合理：S上升和下降的概率p=1-p=112是相同的，新型參數(shù)模型永遠(yuǎn)不會產(chǎn)生負(fù)的概率，而且它也具有很高的計算精度。

三、考慮隨機因素的二叉樹定價方法

上述的二叉樹參數(shù)模型的構(gòu)造以及新型二叉樹參數(shù)模型的構(gòu)造中，均假定無風(fēng)險利率r和股票價格的波動率σ全為常數(shù)。下面考慮r和σ為隨機數(shù)的情況。由上述的二叉樹參數(shù)模型的構(gòu)造以及新型二叉樹參數(shù)模型的構(gòu)造中可看出，u和d的值依據(jù)于r和σ，從而u和d也為隨機數(shù)。首先依舊把期權(quán)的有效期分為很多很小的時間間隔Δti；i=1，2，...，N，考慮ri和σi在每個Δti；i=1，2，...，N內(nèi)常數(shù)，即ri和σi分別每一個Δti對應(yīng)的時間區(qū)間t+Δt相等，而在不同的時間間隔Δti，Δtj；i≠j；i，j=1，2，...，N內(nèi)ri和σi不一定相同；從而ui和di亦在每個Δti內(nèi)常數(shù)，即ui和di亦分別在每一個Δti對應(yīng)的時間區(qū)間t+Δt相同，而在不同的時間間隔Δti，Δtj；i≠j；i，j=1，2，...，N內(nèi)不一定相等。假設(shè)在每一個Δti對應(yīng)的時間區(qū)間t+Δt證券價格只有兩種變化：從開始的S上升到原來的ui倍，即到達(dá)St+Δt=uiSt；下降到原來的di倍，即St+Δt=diSt。其中，ui>1，di<1，價格上升的概率假設(shè)為pi，下降的概率假設(shè)為1-pi。endprint

在風(fēng)險中性的條件下，標(biāo)的證券的預(yù)期收益率應(yīng)等于無風(fēng)險利率r，已知股票價格行為模型服從幾何布朗運動。假定期初的股價為St，則在很短的第i個時間間隔Δt末的股票價格為St+Δt，于是ΔSt=riSt+σiStεΔt

對于lnSt+Δt1St＼～N（ri-σ2i12）Δt，σ2iΔt，從而在每個Δti內(nèi)，由新型二叉樹參數(shù)模型可類似得到如下方程組：

piui+（1-pi）di=eriΔt

piu2i+（1-pi）d2i=e2riΔt+σ2iΔt

piu3i+（1-pi）d3i=3e3rit+σ2iΔt-2e3rit

同理可解得

pi=112

ui=eriΔt+eriΔteσ2iΔt-1

di=eriΔt-eriΔteσ2iΔt-1

以歐式看漲期權(quán)為例，將該期權(quán)有效期劃分為N個長度為Δt的小區(qū)間，令fij（0≤i≤N，0≤j≤2i）表示在時間iΔt時第j個節(jié)點處的美式看跌期權(quán)的價值，我們將Vij稱為結(jié)點（i，j）的期權(quán)價值。

此時可以得到看漲期權(quán)價格的二叉樹圖最后一列，即取max（SN-K，0）+，SN表示N期時的股票價格，對于期權(quán)價格的最后一列，首先從圖的最后一列算起。

由風(fēng)險中心定價有：VN-1，0=e-rΔt（pi（ΠNi=1uiS0-K）++（1-pi）（ΠN-1i=1uidNS0-K）+）。

其中，pi=112；ui=eriΔt+eriΔteσ2iΔt-1；di=eriΔt-eriΔteσ2iΔt-1

接下來，計算最后一列期權(quán)二叉樹其余所有節(jié)點處的值，再按同樣的方法計算依次倒推計算其余各列期權(quán)二叉樹節(jié)點的值，最終可以確定該期權(quán)的價格。

應(yīng)用上述方法計算某兩期到期的歐式看漲期權(quán)，假設(shè)該股票的初始價格S0=50，執(zhí)行價格K=50，到期日T=1，Δt=0.5。假定無風(fēng)險利率r為區(qū)間[0.01，0.1]之間均值為0.05的隨機數(shù)，標(biāo)的股票波動率σ為區(qū)間[0.1，0.3]之間均值為0.2的隨機數(shù)。由于r和σ的隨機性，所以u和d在每次計算所得期權(quán)價格是不同的，所以計算時應(yīng)該多次計算，取平均值。

通過200次計算，所得期權(quán)價格計算結(jié)果的分布見圖1，其平均值為3.5679?？梢钥闯?，計算平均值在20次以后波動很小，趨于穩(wěn)定，表明計算方法的穩(wěn)定性很好。圖2給出了期權(quán)價格與其均值絕對偏差的平均值，80次后該值穩(wěn)定，約為0.2，因此本方法計算的期權(quán)價格主要位于區(qū)間[3.5679-0.2，3.5679+0.2]內(nèi)。

參考文獻(xiàn)：

[1]Cox J C，Ross SandRubinstein. Optionpricing：a simplifiedapproach[J]. Journal of Finacial Economics，1979，7：229263

[2]Black F and Scholes. The pricing of options andcorporate liabities[J]. Journal of Political Economy，1973，81：637659

[3]新型二叉樹參數(shù)模型在亞式期權(quán)定價中的應(yīng)用.連穎穎.河南師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）[J]，第38卷，第2期，2010年3月endprint

在風(fēng)險中性的條件下，標(biāo)的證券的預(yù)期收益率應(yīng)等于無風(fēng)險利率r，已知股票價格行為模型服從幾何布朗運動。假定期初的股價為St，則在很短的第i個時間間隔Δt末的股票價格為St+Δt，于是ΔSt=riSt+σiStεΔt

對于lnSt+Δt1St＼～N（ri-σ2i12）Δt，σ2iΔt，從而在每個Δti內(nèi)，由新型二叉樹參數(shù)模型可類似得到如下方程組：

piui+（1-pi）di=eriΔt

piu2i+（1-pi）d2i=e2riΔt+σ2iΔt

piu3i+（1-pi）d3i=3e3rit+σ2iΔt-2e3rit

同理可解得

pi=112

ui=eriΔt+eriΔteσ2iΔt-1

di=eriΔt-eriΔteσ2iΔt-1

以歐式看漲期權(quán)為例，將該期權(quán)有效期劃分為N個長度為Δt的小區(qū)間，令fij（0≤i≤N，0≤j≤2i）表示在時間iΔt時第j個節(jié)點處的美式看跌期權(quán)的價值，我們將Vij稱為結(jié)點（i，j）的期權(quán)價值。

此時可以得到看漲期權(quán)價格的二叉樹圖最后一列，即取max（SN-K，0）+，SN表示N期時的股票價格，對于期權(quán)價格的最后一列，首先從圖的最后一列算起。

由風(fēng)險中心定價有：VN-1，0=e-rΔt（pi（ΠNi=1uiS0-K）++（1-pi）（ΠN-1i=1uidNS0-K）+）。

其中，pi=112；ui=eriΔt+eriΔteσ2iΔt-1；di=eriΔt-eriΔteσ2iΔt-1

接下來，計算最后一列期權(quán)二叉樹其余所有節(jié)點處的值，再按同樣的方法計算依次倒推計算其余各列期權(quán)二叉樹節(jié)點的值，最終可以確定該期權(quán)的價格。

應(yīng)用上述方法計算某兩期到期的歐式看漲期權(quán)，假設(shè)該股票的初始價格S0=50，執(zhí)行價格K=50，到期日T=1，Δt=0.5。假定無風(fēng)險利率r為區(qū)間[0.01，0.1]之間均值為0.05的隨機數(shù)，標(biāo)的股票波動率σ為區(qū)間[0.1，0.3]之間均值為0.2的隨機數(shù)。由于r和σ的隨機性，所以u和d在每次計算所得期權(quán)價格是不同的，所以計算時應(yīng)該多次計算，取平均值。

通過200次計算，所得期權(quán)價格計算結(jié)果的分布見圖1，其平均值為3.5679?？梢钥闯?，計算平均值在20次以后波動很小，趨于穩(wěn)定，表明計算方法的穩(wěn)定性很好。圖2給出了期權(quán)價格與其均值絕對偏差的平均值，80次后該值穩(wěn)定，約為0.2，因此本方法計算的期權(quán)價格主要位于區(qū)間[3.5679-0.2，3.5679+0.2]內(nèi)。

參考文獻(xiàn)：

[1]Cox J C，Ross SandRubinstein. Optionpricing：a simplifiedapproach[J]. Journal of Finacial Economics，1979，7：229263

[2]Black F and Scholes. The pricing of options andcorporate liabities[J]. Journal of Political Economy，1973，81：637659

[3]新型二叉樹參數(shù)模型在亞式期權(quán)定價中的應(yīng)用.連穎穎.河南師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）[J]，第38卷，第2期，2010年3月endprint

在風(fēng)險中性的條件下，標(biāo)的證券的預(yù)期收益率應(yīng)等于無風(fēng)險利率r，已知股票價格行為模型服從幾何布朗運動。假定期初的股價為St，則在很短的第i個時間間隔Δt末的股票價格為St+Δt，于是ΔSt=riSt+σiStεΔt

對于lnSt+Δt1St＼～N（ri-σ2i12）Δt，σ2iΔt，從而在每個Δti內(nèi)，由新型二叉樹參數(shù)模型可類似得到如下方程組：

piui+（1-pi）di=eriΔt

piu2i+（1-pi）d2i=e2riΔt+σ2iΔt

piu3i+（1-pi）d3i=3e3rit+σ2iΔt-2e3rit

同理可解得

pi=112

ui=eriΔt+eriΔteσ2iΔt-1

di=eriΔt-eriΔteσ2iΔt-1

以歐式看漲期權(quán)為例，將該期權(quán)有效期劃分為N個長度為Δt的小區(qū)間，令fij（0≤i≤N，0≤j≤2i）表示在時間iΔt時第j個節(jié)點處的美式看跌期權(quán)的價值，我們將Vij稱為結(jié)點（i，j）的期權(quán)價值。

此時可以得到看漲期權(quán)價格的二叉樹圖最后一列，即取max（SN-K，0）+，SN表示N期時的股票價格，對于期權(quán)價格的最后一列，首先從圖的最后一列算起。

由風(fēng)險中心定價有：VN-1，0=e-rΔt（pi（ΠNi=1uiS0-K）++（1-pi）（ΠN-1i=1uidNS0-K）+）。

其中，pi=112；ui=eriΔt+eriΔteσ2iΔt-1；di=eriΔt-eriΔteσ2iΔt-1

接下來，計算最后一列期權(quán)二叉樹其余所有節(jié)點處的值，再按同樣的方法計算依次倒推計算其余各列期權(quán)二叉樹節(jié)點的值，最終可以確定該期權(quán)的價格。

應(yīng)用上述方法計算某兩期到期的歐式看漲期權(quán)，假設(shè)該股票的初始價格S0=50，執(zhí)行價格K=50，到期日T=1，Δt=0.5。假定無風(fēng)險利率r為區(qū)間[0.01，0.1]之間均值為0.05的隨機數(shù)，標(biāo)的股票波動率σ為區(qū)間[0.1，0.3]之間均值為0.2的隨機數(shù)。由于r和σ的隨機性，所以u和d在每次計算所得期權(quán)價格是不同的，所以計算時應(yīng)該多次計算，取平均值。

通過200次計算，所得期權(quán)價格計算結(jié)果的分布見圖1，其平均值為3.5679?？梢钥闯觯嬎闫骄翟?0次以后波動很小，趨于穩(wěn)定，表明計算方法的穩(wěn)定性很好。圖2給出了期權(quán)價格與其均值絕對偏差的平均值，80次后該值穩(wěn)定，約為0.2，因此本方法計算的期權(quán)價格主要位于區(qū)間[3.5679-0.2，3.5679+0.2]內(nèi)。

參考文獻(xiàn)：

[1]Cox J C，Ross SandRubinstein. Optionpricing：a simplifiedapproach[J]. Journal of Finacial Economics，1979，7：229263

[2]Black F and Scholes. The pricing of options andcorporate liabities[J]. Journal of Political Economy，1973，81：637659

[3]新型二叉樹參數(shù)模型在亞式期權(quán)定價中的應(yīng)用.連穎穎.河南師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）[J]，第38卷，第2期，2010年3月endprint