李秀英+吳勃英

一極限教學(xué)中需要注意的問題

1一元函數(shù)極限教學(xué)中關(guān)注的問題

對于剛?cè)雽W(xué)的大一新生，由初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，第一個難點(diǎn)就是對于極限的理解。極限在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中占有極其重要的地位，是以后學(xué)習(xí)微分積分的基礎(chǔ)，所以對于極限定義的理解就極為的重要。首先，剛接觸到的是數(shù)列極限，在講解數(shù)列極限時要求首先是舉例體驗(yàn)極限的概念，然后用通俗的語言描述一下數(shù)列極限的概念，最后再用數(shù)學(xué)的語言精確地給出數(shù)列極限的概念。這樣學(xué)生對極限的理解就由直觀的理解到抽象的理解，比較容易接受。例如描述數(shù)列{1/n}的極限，當(dāng)無限增大時，與是無限接近的，然后用聚集強(qiáng)調(diào)數(shù)列極限和前有限項(xiàng)是沒有關(guān)系的。針對這個結(jié)論，在教學(xué)中通常是首先舉例子，然后針對定義對所舉例子進(jìn)行分析，為什么是沒有關(guān)系的，最后給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。對于大一學(xué)生來說，先是直觀地理解便于接受，然后用數(shù)學(xué)抽象的語言來描述這個現(xiàn)象，最后使學(xué)生不僅理解了這個結(jié)論，而且鍛煉了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性。

在函數(shù)極限的基礎(chǔ)上給出了連續(xù)的概念，連續(xù)和極限存在之間的聯(lián)系和區(qū)別。函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，那么在這點(diǎn)的領(lǐng)域一定有定義，并且在這點(diǎn)的極限存在等于這一點(diǎn)的函數(shù)值。這也就是連續(xù)函數(shù)在這一點(diǎn)的極限一點(diǎn)存在，函數(shù)在一點(diǎn)的極限存在，但在這一點(diǎn)不一定連續(xù)。

2多元函數(shù)極限教學(xué)中關(guān)注的問題

對一元極限的理解，便于學(xué)習(xí)后續(xù)的多元函數(shù)的極限，它是學(xué)習(xí)多元微分與多元積分的基礎(chǔ)，那么我們對于多元函數(shù)極限的理解就尤為重要。

為了便于學(xué)生理解，首先我們先給出多元函數(shù)的例子。例如：z=x2+y2，當(dāng)自變量（x，y）→（0，0）時，因變量的變化趨勢。我們可以通過圖形觀察得到，因變量的變化趨勢是趨于零的。與一元函數(shù)類似，主要是考慮當(dāng)自變量（x，y）→（x0，y0）的過程中，對應(yīng)的函數(shù)值是否趨于某一個確定常數(shù)A.

另外還有另一難點(diǎn)，即當(dāng)P（x，y）→（x0，y0）時，指的是P（x，y）以任何方式趨于P0（x0，y0）時，函數(shù)值都無限接近于常數(shù)A。因此，如果P（x，y）以某一特殊的方式，例如沿著某條直線或者曲線趨于P0（x0，y0），即使函數(shù)值無限接近于某一個確定的值A(chǔ)，我們也不能由此確定函數(shù)的極限存在。反過來如果P（x，y）沿著不同的方式趨于P0（x0，y0）時，函數(shù)值趨于不同的數(shù)，那么就可以判定這個函數(shù)的極限不存在，這也提供了一種證明多元極限不存在的方法。

在多元函數(shù)極限中另一個難點(diǎn)就是函數(shù)極限的計(jì)算。一般我們常用的幾類方法是：第一，化為一元函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。主要利用一元函數(shù)重要極限或者運(yùn)用洛比達(dá)法則實(shí)現(xiàn)求極限。第二，運(yùn)用初等函數(shù)的連續(xù)性。第三，利用夾逼準(zhǔn)則求極限。多元函數(shù)極限的計(jì)算有時要用到極限計(jì)算的幾種方法，我們上面提到的是幾種常見的方法。

上面內(nèi)容是我對極限教學(xué)難點(diǎn)的一點(diǎn)認(rèn)識及其總結(jié)，主要是對一元極限的定義中的難點(diǎn)的理解和多元函數(shù)極限的常用計(jì)算方法的總結(jié)。

二定積分教學(xué)中需要注意的問題

定積分是教學(xué)中的一個重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。很多同學(xué)學(xué)完積分以后，還是不理解定積分的本質(zhì)。當(dāng)給定一個定積分，你問他能聯(lián)想到什么，很多同學(xué)首先聯(lián)想到的是牛頓-萊布尼茲公式，也就是定積分的計(jì)算公式，只有少部分同學(xué)能聯(lián)想到定積分定義中乘積和式的極限以及它對應(yīng)的幾何意義，這顯然不是我們所希望的。這就要求我們在定積分教學(xué)過程中，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)定積分概念和幾何意義，以及它們的相關(guān)應(yīng)用，而不是定積分的相關(guān)計(jì)算技巧。

在引入定積分概念的引例中，通過逐步引導(dǎo)，使學(xué)生認(rèn)識處理實(shí)際問題的近似和極限的思想。讓學(xué)生熟練掌握定積分的定義，并認(rèn)識到通過定積分的定義可以求解數(shù)列極限以及定積分的近似計(jì)算。

應(yīng)用案例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中具有積極的作用，一方面，它可以加深學(xué)生對一些抽象概念的理解，另一方面它可以使學(xué)生了解高等數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和積極性。本節(jié)將用三個應(yīng)用案例來闡述其在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的積極作用。

我們知道，講解極限的概念一般是有兩種極限定義方式，一種是直觀定義，一種是嚴(yán)格定義。對基礎(chǔ)較差的學(xué)生教學(xué)中常采用直觀定義，而不要求嚴(yán)格定義。而直觀定義由于自身的局限性還是應(yīng)該給學(xué)生指出的，了解到了局限性，也就知道了嚴(yán)格定義的必要性，是微積分理論的基礎(chǔ)。下面通過一個應(yīng)用案例指出直觀定義由的局限性。

例：一名到公司報(bào)道的新進(jìn)員工面臨兩種崗位選擇，甲種崗位底薪1200元每月，每月加薪200元；乙種崗位底薪600元每月，每半月加薪60元，公司每半月發(fā)一次薪水，問兩種崗位哪種收入前景較好？

解：憑第一感覺，相信很多同學(xué)會認(rèn)為甲種崗位比較有誘惑力。真正的事實(shí)會是怎樣呢？通過數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行簡單計(jì)算，便可得到兩種崗位的薪水列表（以半月為單位）

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].高等教育出版社，2007： 1-145.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊）[M].高等教育出版社，2007： 1-40.endprint

一極限教學(xué)中需要注意的問題

1一元函數(shù)極限教學(xué)中關(guān)注的問題

對于剛?cè)雽W(xué)的大一新生，由初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，第一個難點(diǎn)就是對于極限的理解。極限在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中占有極其重要的地位，是以后學(xué)習(xí)微分積分的基礎(chǔ)，所以對于極限定義的理解就極為的重要。首先，剛接觸到的是數(shù)列極限，在講解數(shù)列極限時要求首先是舉例體驗(yàn)極限的概念，然后用通俗的語言描述一下數(shù)列極限的概念，最后再用數(shù)學(xué)的語言精確地給出數(shù)列極限的概念。這樣學(xué)生對極限的理解就由直觀的理解到抽象的理解，比較容易接受。例如描述數(shù)列{1/n}的極限，當(dāng)無限增大時，與是無限接近的，然后用聚集強(qiáng)調(diào)數(shù)列極限和前有限項(xiàng)是沒有關(guān)系的。針對這個結(jié)論，在教學(xué)中通常是首先舉例子，然后針對定義對所舉例子進(jìn)行分析，為什么是沒有關(guān)系的，最后給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。對于大一學(xué)生來說，先是直觀地理解便于接受，然后用數(shù)學(xué)抽象的語言來描述這個現(xiàn)象，最后使學(xué)生不僅理解了這個結(jié)論，而且鍛煉了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性。

在函數(shù)極限的基礎(chǔ)上給出了連續(xù)的概念，連續(xù)和極限存在之間的聯(lián)系和區(qū)別。函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，那么在這點(diǎn)的領(lǐng)域一定有定義，并且在這點(diǎn)的極限存在等于這一點(diǎn)的函數(shù)值。這也就是連續(xù)函數(shù)在這一點(diǎn)的極限一點(diǎn)存在，函數(shù)在一點(diǎn)的極限存在，但在這一點(diǎn)不一定連續(xù)。

2多元函數(shù)極限教學(xué)中關(guān)注的問題

對一元極限的理解，便于學(xué)習(xí)后續(xù)的多元函數(shù)的極限，它是學(xué)習(xí)多元微分與多元積分的基礎(chǔ)，那么我們對于多元函數(shù)極限的理解就尤為重要。

為了便于學(xué)生理解，首先我們先給出多元函數(shù)的例子。例如：z=x2+y2，當(dāng)自變量（x，y）→（0，0）時，因變量的變化趨勢。我們可以通過圖形觀察得到，因變量的變化趨勢是趨于零的。與一元函數(shù)類似，主要是考慮當(dāng)自變量（x，y）→（x0，y0）的過程中，對應(yīng)的函數(shù)值是否趨于某一個確定常數(shù)A.

另外還有另一難點(diǎn)，即當(dāng)P（x，y）→（x0，y0）時，指的是P（x，y）以任何方式趨于P0（x0，y0）時，函數(shù)值都無限接近于常數(shù)A。因此，如果P（x，y）以某一特殊的方式，例如沿著某條直線或者曲線趨于P0（x0，y0），即使函數(shù)值無限接近于某一個確定的值A(chǔ)，我們也不能由此確定函數(shù)的極限存在。反過來如果P（x，y）沿著不同的方式趨于P0（x0，y0）時，函數(shù)值趨于不同的數(shù)，那么就可以判定這個函數(shù)的極限不存在，這也提供了一種證明多元極限不存在的方法。

在多元函數(shù)極限中另一個難點(diǎn)就是函數(shù)極限的計(jì)算。一般我們常用的幾類方法是：第一，化為一元函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。主要利用一元函數(shù)重要極限或者運(yùn)用洛比達(dá)法則實(shí)現(xiàn)求極限。第二，運(yùn)用初等函數(shù)的連續(xù)性。第三，利用夾逼準(zhǔn)則求極限。多元函數(shù)極限的計(jì)算有時要用到極限計(jì)算的幾種方法，我們上面提到的是幾種常見的方法。

上面內(nèi)容是我對極限教學(xué)難點(diǎn)的一點(diǎn)認(rèn)識及其總結(jié)，主要是對一元極限的定義中的難點(diǎn)的理解和多元函數(shù)極限的常用計(jì)算方法的總結(jié)。

二定積分教學(xué)中需要注意的問題

定積分是教學(xué)中的一個重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。很多同學(xué)學(xué)完積分以后，還是不理解定積分的本質(zhì)。當(dāng)給定一個定積分，你問他能聯(lián)想到什么，很多同學(xué)首先聯(lián)想到的是牛頓-萊布尼茲公式，也就是定積分的計(jì)算公式，只有少部分同學(xué)能聯(lián)想到定積分定義中乘積和式的極限以及它對應(yīng)的幾何意義，這顯然不是我們所希望的。這就要求我們在定積分教學(xué)過程中，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)定積分概念和幾何意義，以及它們的相關(guān)應(yīng)用，而不是定積分的相關(guān)計(jì)算技巧。

在引入定積分概念的引例中，通過逐步引導(dǎo)，使學(xué)生認(rèn)識處理實(shí)際問題的近似和極限的思想。讓學(xué)生熟練掌握定積分的定義，并認(rèn)識到通過定積分的定義可以求解數(shù)列極限以及定積分的近似計(jì)算。

應(yīng)用案例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中具有積極的作用，一方面，它可以加深學(xué)生對一些抽象概念的理解，另一方面它可以使學(xué)生了解高等數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和積極性。本節(jié)將用三個應(yīng)用案例來闡述其在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的積極作用。

我們知道，講解極限的概念一般是有兩種極限定義方式，一種是直觀定義，一種是嚴(yán)格定義。對基礎(chǔ)較差的學(xué)生教學(xué)中常采用直觀定義，而不要求嚴(yán)格定義。而直觀定義由于自身的局限性還是應(yīng)該給學(xué)生指出的，了解到了局限性，也就知道了嚴(yán)格定義的必要性，是微積分理論的基礎(chǔ)。下面通過一個應(yīng)用案例指出直觀定義由的局限性。

例：一名到公司報(bào)道的新進(jìn)員工面臨兩種崗位選擇，甲種崗位底薪1200元每月，每月加薪200元；乙種崗位底薪600元每月，每半月加薪60元，公司每半月發(fā)一次薪水，問兩種崗位哪種收入前景較好？

解：憑第一感覺，相信很多同學(xué)會認(rèn)為甲種崗位比較有誘惑力。真正的事實(shí)會是怎樣呢？通過數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行簡單計(jì)算，便可得到兩種崗位的薪水列表（以半月為單位）

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].高等教育出版社，2007： 1-145.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊）[M].高等教育出版社，2007： 1-40.endprint

一極限教學(xué)中需要注意的問題

1一元函數(shù)極限教學(xué)中關(guān)注的問題

對于剛?cè)雽W(xué)的大一新生，由初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，第一個難點(diǎn)就是對于極限的理解。極限在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中占有極其重要的地位，是以后學(xué)習(xí)微分積分的基礎(chǔ)，所以對于極限定義的理解就極為的重要。首先，剛接觸到的是數(shù)列極限，在講解數(shù)列極限時要求首先是舉例體驗(yàn)極限的概念，然后用通俗的語言描述一下數(shù)列極限的概念，最后再用數(shù)學(xué)的語言精確地給出數(shù)列極限的概念。這樣學(xué)生對極限的理解就由直觀的理解到抽象的理解，比較容易接受。例如描述數(shù)列{1/n}的極限，當(dāng)無限增大時，與是無限接近的，然后用聚集強(qiáng)調(diào)數(shù)列極限和前有限項(xiàng)是沒有關(guān)系的。針對這個結(jié)論，在教學(xué)中通常是首先舉例子，然后針對定義對所舉例子進(jìn)行分析，為什么是沒有關(guān)系的，最后給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。對于大一學(xué)生來說，先是直觀地理解便于接受，然后用數(shù)學(xué)抽象的語言來描述這個現(xiàn)象，最后使學(xué)生不僅理解了這個結(jié)論，而且鍛煉了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性。

在函數(shù)極限的基礎(chǔ)上給出了連續(xù)的概念，連續(xù)和極限存在之間的聯(lián)系和區(qū)別。函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，那么在這點(diǎn)的領(lǐng)域一定有定義，并且在這點(diǎn)的極限存在等于這一點(diǎn)的函數(shù)值。這也就是連續(xù)函數(shù)在這一點(diǎn)的極限一點(diǎn)存在，函數(shù)在一點(diǎn)的極限存在，但在這一點(diǎn)不一定連續(xù)。

2多元函數(shù)極限教學(xué)中關(guān)注的問題

對一元極限的理解，便于學(xué)習(xí)后續(xù)的多元函數(shù)的極限，它是學(xué)習(xí)多元微分與多元積分的基礎(chǔ)，那么我們對于多元函數(shù)極限的理解就尤為重要。

為了便于學(xué)生理解，首先我們先給出多元函數(shù)的例子。例如：z=x2+y2，當(dāng)自變量（x，y）→（0，0）時，因變量的變化趨勢。我們可以通過圖形觀察得到，因變量的變化趨勢是趨于零的。與一元函數(shù)類似，主要是考慮當(dāng)自變量（x，y）→（x0，y0）的過程中，對應(yīng)的函數(shù)值是否趨于某一個確定常數(shù)A.

另外還有另一難點(diǎn)，即當(dāng)P（x，y）→（x0，y0）時，指的是P（x，y）以任何方式趨于P0（x0，y0）時，函數(shù)值都無限接近于常數(shù)A。因此，如果P（x，y）以某一特殊的方式，例如沿著某條直線或者曲線趨于P0（x0，y0），即使函數(shù)值無限接近于某一個確定的值A(chǔ)，我們也不能由此確定函數(shù)的極限存在。反過來如果P（x，y）沿著不同的方式趨于P0（x0，y0）時，函數(shù)值趨于不同的數(shù)，那么就可以判定這個函數(shù)的極限不存在，這也提供了一種證明多元極限不存在的方法。

在多元函數(shù)極限中另一個難點(diǎn)就是函數(shù)極限的計(jì)算。一般我們常用的幾類方法是：第一，化為一元函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。主要利用一元函數(shù)重要極限或者運(yùn)用洛比達(dá)法則實(shí)現(xiàn)求極限。第二，運(yùn)用初等函數(shù)的連續(xù)性。第三，利用夾逼準(zhǔn)則求極限。多元函數(shù)極限的計(jì)算有時要用到極限計(jì)算的幾種方法，我們上面提到的是幾種常見的方法。

上面內(nèi)容是我對極限教學(xué)難點(diǎn)的一點(diǎn)認(rèn)識及其總結(jié)，主要是對一元極限的定義中的難點(diǎn)的理解和多元函數(shù)極限的常用計(jì)算方法的總結(jié)。

二定積分教學(xué)中需要注意的問題

定積分是教學(xué)中的一個重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。很多同學(xué)學(xué)完積分以后，還是不理解定積分的本質(zhì)。當(dāng)給定一個定積分，你問他能聯(lián)想到什么，很多同學(xué)首先聯(lián)想到的是牛頓-萊布尼茲公式，也就是定積分的計(jì)算公式，只有少部分同學(xué)能聯(lián)想到定積分定義中乘積和式的極限以及它對應(yīng)的幾何意義，這顯然不是我們所希望的。這就要求我們在定積分教學(xué)過程中，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)定積分概念和幾何意義，以及它們的相關(guān)應(yīng)用，而不是定積分的相關(guān)計(jì)算技巧。

在引入定積分概念的引例中，通過逐步引導(dǎo)，使學(xué)生認(rèn)識處理實(shí)際問題的近似和極限的思想。讓學(xué)生熟練掌握定積分的定義，并認(rèn)識到通過定積分的定義可以求解數(shù)列極限以及定積分的近似計(jì)算。

應(yīng)用案例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中具有積極的作用，一方面，它可以加深學(xué)生對一些抽象概念的理解，另一方面它可以使學(xué)生了解高等數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和積極性。本節(jié)將用三個應(yīng)用案例來闡述其在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的積極作用。

我們知道，講解極限的概念一般是有兩種極限定義方式，一種是直觀定義，一種是嚴(yán)格定義。對基礎(chǔ)較差的學(xué)生教學(xué)中常采用直觀定義，而不要求嚴(yán)格定義。而直觀定義由于自身的局限性還是應(yīng)該給學(xué)生指出的，了解到了局限性，也就知道了嚴(yán)格定義的必要性，是微積分理論的基礎(chǔ)。下面通過一個應(yīng)用案例指出直觀定義由的局限性。

例：一名到公司報(bào)道的新進(jìn)員工面臨兩種崗位選擇，甲種崗位底薪1200元每月，每月加薪200元；乙種崗位底薪600元每月，每半月加薪60元，公司每半月發(fā)一次薪水，問兩種崗位哪種收入前景較好？

解：憑第一感覺，相信很多同學(xué)會認(rèn)為甲種崗位比較有誘惑力。真正的事實(shí)會是怎樣呢？通過數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行簡單計(jì)算，便可得到兩種崗位的薪水列表（以半月為單位）

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].高等教育出版社，2007： 1-145.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊）[M].高等教育出版社，2007： 1-40.endprint