韓 艷，董延壽，楊惠娟

(昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 云南 昭通 657000)

錐度量空間中c-距離下擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)定理

韓 艷，董延壽，楊惠娟

(昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 云南 昭通 657000)

在半序錐度量空間中研究討論了c-距離下的擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)存在問(wèn)題, 且第一個(gè)定理去掉了錐的正規(guī)性, 第二個(gè)定理去掉了映射的連續(xù)性, 所得結(jié)果改進(jìn)了原有的一些重要結(jié)論.

錐度量空間;c-距離; 擴(kuò)張映射

1 預(yù)備知識(shí)

自從文[1]用Banach空間取代實(shí)數(shù), 推廣度量空間, 引進(jìn)錐度量空間后, 有關(guān)不動(dòng)點(diǎn)理論的研究得到了進(jìn)一步發(fā)展, 見(jiàn)文[2～4]， 其中文[2]在連續(xù)的條件下討論了完備度量空間中一個(gè)擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)定理. 2011年, Yeol Je Cho, Reza Saadati和Wang Shenghua[5]在半序的錐度量空間中引入了一個(gè)新的定義, 即c-距離, 并獲得了非減映射相關(guān)的一些新的不動(dòng)點(diǎn)定理. 這里c-距離是對(duì)w-距離[6]的推廣, 即每一個(gè)w-距離都是c-距離, 但反過(guò)來(lái)不一定成立. 但是有關(guān)錐度量空間中c-距離下擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)的結(jié)論相對(duì)較少. 在本文中, 我們?cè)诎胄虻腻F度量空間中, 進(jìn)一步研究c-距離下擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)定理, 獲得了具有更廣泛意義的新的結(jié)論.

設(shè)E是實(shí)Banach 空間,θ是E中零元,P是E中非空閉凸集, 稱P是E中的錐, 若

i)x∈P且λ≥0 則λx∈P;

ii)x∈P且-x∈P, 則x=θ.

設(shè)P是E中的錐,≤ 是由P定義的半序, 即?x,y∈E,y-x∈P, 則x≤y. 錐P稱為正規(guī)錐, 如果存在常數(shù)K>0, 使得θ≤x≤y( ?x,y∈E)蘊(yùn)含‖x‖≤K‖y‖, 其中K為正規(guī)常數(shù). 用x?y表示y-x∈intP.

定義1[1]設(shè)X是一個(gè)非空集合. 若映射d:X×X→E滿足

i)θ≤d(x,y)對(duì)一切x,y∈X.d(x,y)=θ當(dāng)且僅當(dāng)x=y;

ii)d(x,y)=d(y,x)?x,y∈X;

iii)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)?x,y,z∈X.

則稱d是X的一個(gè)錐度量.(X,d)稱為錐度量空間.

定義2[1]設(shè) (X,d)為錐度量空間,x∈X且 {xn}n≥1是X中的一個(gè)序列. 則

i)若對(duì)任意的c∈intP, 存在正整數(shù)N, 使得對(duì)所有的n,m>N,d(xn,xm)?c, 則稱{xn}n≥1為Cauchy列.

ii)若對(duì)任意的c∈intP, 存在正整數(shù)N, 使得對(duì)所有的n>N,d(xn,x)?c, 則稱{xn}n≥1為收斂列.

iii)若X中的每個(gè)Cauchy列都收斂, 則稱(X,d)為完備的錐度量空間.

定義3[8]設(shè) (X,d)為錐度量空間, 映射q:X×X→E滿足下列條件:

i)?x,y∈X,θ≤q(x,y);

ii)?x,y,z∈X,q(x,z)≤q(x,y)+q(y,z);

iii)?x∈X,若存在u=ux∈P使得q(x,yn)≤u, 且序列 {yn}收斂到一點(diǎn)y∈X, 則有d(x,y)≤u;

iv)對(duì)任意c∈E且c?θ存在e∈E且e?θ, 使得當(dāng)q(z,x)?e,q(z,y)?e時(shí)有d(x,y)?c, 則稱q為X上的c-距離.

引理1[8]設(shè)(X,d)是錐度量空間,q為X上的c-距離, {xn}, {yn}是X中的序列. 設(shè)x,y,z∈X,{un} 是錐P中收斂到θ的一個(gè)序列, 則下列結(jié)論成立:

i)若q(xn,y)≤un且q(xn,z)≤un, 則y=z.

ii)若q(xn,yn)≤un且q(xn,y)≤un, 則{yn} 收斂到一點(diǎn)z∈X.

iii)若對(duì)任意的m>n有q(xn,xm)≤un, 則{xn} 是X中的一個(gè)Cauchy列.

iv)若q(y,xn)≤un, 則 {xn}是X中的一個(gè)Cauchy列.

引理2[4]錐度量空間中收斂序列的極限是唯一的.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè) (X,d)為完備的錐度量空間,q為X上的c-距離, 設(shè)連續(xù)映射f:X→X是滿射與映射k:X→(1,+∞)滿足如下條件:

1)?x∈X,k(x)≥k(fx)

2)對(duì)任意的x,y∈X

q(fx,fy)≥k(x)q(x,y)

(1)

則f有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x*∈X, 迭代序列{fnx} 收斂到不動(dòng)點(diǎn)．

證明 任取x0∈X, 由于f是滿射, 故存在x1∈X使得x0=fx1, 依次類推, 定義{xn} 如下：xn=fxn+1,n=0,1,2,…

由(1)式得

q(xn-1,xn)=q(fxn,fxn+1)≥k(xn)q(xn,xn+1)≥k(fxn)q(xn,xn+1)=k(xn-1)q(xn,xn+1)≥ …≥k(x0)q(xn,xn+1)

即得

由此式可得

(2)

于是由h∈(0,1), 根據(jù)引理1的iii)得{xn} 是 (X,d)中的Cauchy 列.

由X的完備性知, 存在x*∈X使得當(dāng)n→∞時(shí)有xn→x*, 又根據(jù)映射f的連續(xù)性,得fxn→fx*, 即xn-1→fx*. 由引理2知,fx*=x*, 因此x*為f的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn), 同時(shí)迭代序列{fnx} 收斂到不動(dòng)點(diǎn)．

推論1 設(shè)(X,d)為完備的錐度量空間,q為X上的c-距離, 設(shè)連續(xù)映射f:X→X是滿射滿足如下條件:

對(duì)任意的x,y∈X, 存在常數(shù)k>1 滿足， 使得

q(fx,fy)≥kq(x,y)

則f有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x*∈X, 迭代序列{fnx}收斂到不動(dòng)點(diǎn)．

定理2 設(shè) (X,d)為完備的錐度量空間,P是正規(guī)常數(shù)為k的正規(guī)錐.q為X上的c-距離, 設(shè)映射f:x→x是滿射與映射k:X→(1,+∞)滿足如下條件:

1)?x∈X,k(x)≥k(fx)

2)對(duì)任意的x,y∈X

q(fx,fy)≥k(x)q(x,y)

(3)

3)?y∈X時(shí),fy≠y,0

則f有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x*∈X, 迭代序列 {fnx}收斂到不動(dòng)點(diǎn)．

證明 任取x0∈X, 由于f是滿射, 故存在x1∈X使得x0=fx1, 依次類推, 定義{xn} 如下：xn=fxn+1,n=0,1,2…

類似于定理1可得對(duì)任意的m>n≥ 1, 有

(4)

(5)

而P是正規(guī)常數(shù)為K的正規(guī)錐由(5)式得

(6)

由(4)式知對(duì)任意的m>n≥1, 有

(7)

若fx*≠x*, 則在(6)和(7)中令m=n+1 有

0

inf{‖q(xn+1,x*)‖+‖q(xn,xn+1)‖:n≥1}≤

矛盾. 因此有fx*=x*, 因此x*為f的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn), 同時(shí)迭代序列{fnx} 收斂到不動(dòng)點(diǎn)．

推論2 設(shè) (X,d)為完備的錐度量空間,P是正規(guī)常數(shù)為K的正規(guī)錐.q為X上的c-距離, 設(shè)映射f:X→X是滿射與映射 滿足如下條件:

1)對(duì)任意的x,y∈X,存在常數(shù)k>1使得

q(fx,fy)≥kq(x,y)

2)?y∈X,fy≠y時(shí),0

則f有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x*∈X, 迭代序列{fnx} 收斂到不動(dòng)點(diǎn)．

注 本文中的定理均不要求映射的非減性, 改進(jìn)和推廣了文[3, 5, 6]中的許多結(jié)果, 同時(shí)定理1, 推論1去掉了錐的正規(guī)性, 定理2, 推論2去掉了映射的連續(xù)性 . 另外, 在本文中令E=,P=[0,+∞)可相應(yīng)得到許多度量空間中有意義的公共不動(dòng)點(diǎn)理論.

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Fixedpointresultsunderc-distanceinconemetricspaces

HAN Yan,DONG Yan-shou,YANG Hui-juan

(Department of Mathematics, Zhaotong University, Zhaotong 657000,China)

In this paper, some fixed point results for c-distance in cone metric spaces for expanding mappings are obtained. Then, we deleted the normal cone in the first theorem and the continuity of the mappings in the second theorem. The results generalize and improve some well-known comparable results.

cone metric space; c-distance; fixed point

2014—04—20

云南省教育廳科學(xué)研究基金項(xiàng)目(2013Y578)

韓艷(1986— )，女，湖北黃岡人，助教，碩士，研究方向?yàn)榉蔷€性分析.

O177.91

A

1009-2714(2014)04- 0017- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.04.004