景慧麗，王正元，楊寶珍，屈 娜

（第二炮兵工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710025）

類比，是根據(jù)兩個不同的對象的某些方面 （如特征、屬性、關(guān)系等）的相同或相似，推出它們在其他方面也可能相同或相似的思維形式，它是思維過程中由特殊到特殊的推理，是一種尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的基本而重要的手段，也是數(shù)學(xué)方法中最重要最基本的方法之一［1］。在科學(xué)探索中，類比的價值為世界上許多科學(xué)家所稱道，德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒 （J.Kepler 1571～1630）曾指出：“我珍視類比勝過任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學(xué)中它應(yīng)該是最不容忽視的?！钡聡诺湔軐W(xué)家康德（I.Kant 1724～1804）也說：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思想時，類比這個方法往往指引我們前進。”［2］

高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是一元函數(shù)微積分和多元函數(shù)微積分，而多元函數(shù)微積分的許多概念、性質(zhì)、定理和方法都是由一元函數(shù)微積分推廣發(fā)展來的.在教學(xué)中，如果教員采用類比法教學(xué)，讓學(xué)員用已學(xué)知識和新知識進行類比，有助于學(xué)員理解和掌握新知識，并且無形中可以培養(yǎng)學(xué)員的類比思維，從而增加學(xué)員學(xué)習(xí)的積極性和主動性。在多元函數(shù)微分學(xué)中，函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、函數(shù)可微、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)這幾個概念之間的關(guān)系的理解和掌握是重點也是難點，學(xué)員在學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容時，往往感到束手無策。本文結(jié)合自己的教學(xué)實踐，就“全微分”這一部分內(nèi)容進行類比教學(xué)。具體教學(xué)過程如下：

首先教員引導(dǎo)學(xué)員回憶一元函數(shù)y=f（x）在點x=x0處可微的定義，然后給出二元函數(shù)z=f（x，y）在點（x0，y0）處的偏增量、全增量的概念。

關(guān)于x的偏增量是f（x0+Δx，y0）－f（x0，y0）；

關(guān)于y的偏增量是f（x0，y0+Δy）－f（x0，y0）；

關(guān)于x、y的全增量是f（x0+Δx，y0+Δy）－f（x0，y0）。

進一步解釋偏增量，給出偏微分的概念，即由于

f（x0+Δx，y0）－f（x0，y0）=fx（x0，y0）Δx+o（Δx）；

f（x0，y0+Δy）－f（x0，y0）=fy（x0，y0）Δy+o（Δy）。

則稱fx（x0，y0）Δx和fy（x0，y0）Δy分別為函數(shù)在點（x0，y0）處關(guān)于x、y的偏微分。

讓學(xué)員觀察上述等式，此時教員提出問題：如何定義二元函數(shù)的全微分呢？一元函數(shù)微分的概念能否完全推廣到二元函數(shù)呢？讓學(xué)員思考、討論后給出猜想，可以找個別學(xué)員說出自己想法，最后與教員的結(jié)論進行比較。這樣就可以讓學(xué)員自己得到全微分的概念，加深對知識點的理解。為了使學(xué)員進一步理解概念，而不是死記結(jié)論，講完概念教員可以在黑板上建立一元函數(shù)和二元函數(shù)微分概念比較表（見表1）。

表1 一元函數(shù)和二元函數(shù)可微的概念比較

建立完比較表后，教員繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)員回憶一元函數(shù)可微的概念，指出如果一元函數(shù)y=f（x）在點x=x0處可微，則不依賴于Δx的常數(shù)A就是函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)值，即A=f′（x0）.此時教員提出問題：如果二元函數(shù)z=f（x，y）在點（x0，y0）處可微，那么這里不依賴于Δx、Δy的常數(shù)A、B會是誰呢？也讓學(xué)員觀察、思考、討論后給出猜想，教員不給出正確答案，先設(shè)置懸念，這樣既可以活躍課堂氣氛還可以激發(fā)學(xué)員探究問題的興趣。

教員引導(dǎo)學(xué)員回憶一元函數(shù)在一點可微的必要條件和充分條件，強調(diào)函數(shù)在一點連續(xù)、可微、可導(dǎo)的關(guān)系。此時教員提出問題：我們知道對于一元函數(shù)，如果函數(shù)在一點可微，則函數(shù)在該點一定連續(xù)，那么對于二元函數(shù)是否也有類似的結(jié)論？讓學(xué)員討論后給出結(jié)論，教員給出理論分析：

因為函數(shù)可微，所以Δz=AΔx+BΔy+o（ρ），其中ρ=，因此

即函數(shù)在點（x0，y0）處是連續(xù)的。此時教員繼續(xù)提出問題：對于一元函數(shù)，如果函數(shù)在一點連續(xù)，則函數(shù)在該點不一定可微，那么對于二元函數(shù)是不是也有類似的結(jié)論？也讓學(xué)員討論后給出自己的結(jié)論。教員此時不給出正確答案，先留個疑問。

教員繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)員回憶：對于一元函數(shù)y=f（x），如果函數(shù)在點x=x0處可微，則函數(shù)在該點一定可導(dǎo)。然后提出問題：對于二元函數(shù)z=f（x，y），如果在函數(shù)點（x0，y0）處可微，則函數(shù)在該點的偏導(dǎo)數(shù)是否一定存在？讓學(xué)員討論、猜測后給出自己的結(jié)論及反例或理論分析，最后和教員的分析進行比較：

設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點（x0，y0）處可微，如果取Δy=0，

即fx（x0，y0）存在，且A=fx（x0，y0）。 類似地可得fy（x0，y0）存在，且B=fx（x0，y0）。 即如果函數(shù)在一點可微，則函數(shù)在該點的偏導(dǎo)數(shù)均存在。

此時教員提出問題：一元函數(shù)可微和可導(dǎo)是等價的，對于二元函數(shù)是否也有類似的結(jié)論？即如果函數(shù)在一點的偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在該點是否一定可微？讓學(xué)員討論后，教員給出反例加以說明：

上述極限不存在，所以不可微。由此讓學(xué)員自己總結(jié)出：偏導(dǎo)數(shù)存在只是函數(shù)可微的一個必要非充分條件。此時，教員可以繼續(xù)提出問題：由例1還能得到什么結(jié)論？讓學(xué)員觀察、分析、討論后給出結(jié)論：函數(shù)在某點連續(xù)，函數(shù)不一定可微.既回答了前面的問題，還培養(yǎng)了學(xué)員細心、謹(jǐn)慎的邏輯思維。

此時思維活躍的學(xué)員就會提出問題：一元函數(shù)可微和可導(dǎo)是等價的，而二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在也不一定可微，那么函數(shù)究竟?jié)M足什么條件才可微呢？教員引導(dǎo)學(xué)員分析：既然偏導(dǎo)數(shù)存在是可微的一個必要非充分條件，那么能否給偏導(dǎo)數(shù)存在加強一個條件，使其保證可微？讓學(xué)員給出方案，教員給出理論分析，從而水到渠成地得出結(jié)論：如果函數(shù)在一點的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)在該點必可微。此時，教員繼續(xù)提出問題：偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是函數(shù)可微的必要條件嗎？讓學(xué)員討論后，教員給出反例加以說明：

所以函數(shù)在（0，0）點是可微的。

此時，教員引導(dǎo)學(xué)員總結(jié)多元函數(shù)這幾個概念間的關(guān)系，并讓學(xué)員和一元函數(shù)進行比較，最后建立它們之間的比較表，便于學(xué)員理解和記憶。

表2一元函數(shù)和二元函數(shù)幾個概念間的關(guān)系比較一元函數(shù)幾個概念之間的關(guān)系二元函數(shù)幾個概念之間的關(guān)系

當(dāng)然，還可以引導(dǎo)學(xué)員思考：二元函數(shù)全微分的概念及存在性能否完全推廣到三元函數(shù)乃至元函數(shù)？一元函數(shù)微分具有一階微分形式的不變性，那么二元函數(shù)的全微分是否也具有一階微分形式的不變性？一元函數(shù)微分在數(shù)值計算上的重要應(yīng)用是近似計算，那么二元函數(shù)的應(yīng)用是不是也是近似計算？如果是，又該如何近似計算？這樣既讓學(xué)員鞏固了舊知識，還讓學(xué)員掌握了新知識，并且培養(yǎng)了學(xué)員類比的數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)實踐表明，把類比法應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅可以活躍課堂氣氛，增加學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣，而且還可以提高教學(xué)效果，有效培養(yǎng)學(xué)員分析問題和解決問題的能力，更重要的意義在于使學(xué)員逐漸掌握類比的科學(xué)思維方法。但類比不是萬能的，不可盲目和隨意擴大化，要用得恰當(dāng)?shù)轿?，才能最大化地發(fā)揮積極作用。

［1］ ［2］章士藻.數(shù)學(xué)方法論簡明教程（第一版）［M］.南京：南京大學(xué)出版社，2006：47.

［3］ 同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）（下）［M］.北京：高等教育出版社，2007：71.

［4］ 馬知恩，王綿森.工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)（第二版）（下）［M］.北京：高等教育出版社，2009：35.