劉宣會(huì)　任芳國(guó)

摘 要 現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)上，當(dāng)有重大信息出現(xiàn)時(shí)，會(huì)對(duì)股價(jià)產(chǎn)生沖擊，使得股價(jià)產(chǎn)生跳躍，同時(shí)投資過(guò)程會(huì)有隨機(jī)資金流的介入，考慮股價(jià)出現(xiàn)跳躍與隨機(jī)資金流介入的投資組合優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造倒向-前向隨機(jī)微分方程并結(jié)合隨機(jī)最優(yōu)控制理論研究了一般效用函數(shù)下的投資組合選擇問(wèn)題，獲得最優(yōu)投資組合策略，然后針對(duì)二次效用函數(shù)，給出顯式表示的最優(yōu)投資組合策略.

關(guān)鍵詞 效用函數(shù)；投資組合優(yōu)化；馬爾科夫鏈；倒向前向隨機(jī)微分方程；隨機(jī)資金流

中圖分類號(hào) F830.48 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

1 引 言

連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)最優(yōu)問(wèn)題最早是由Merton^[1]提出的，在金融市場(chǎng)系數(shù)為確定性函數(shù)，而股票價(jià)格由Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)時(shí)，運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的HJB方程分別給出了效用函數(shù)為對(duì)數(shù)和指數(shù)時(shí)顯式表示的最優(yōu)投資組合策略. 文獻(xiàn)[2]發(fā)展一種鞅方法來(lái)解投資組合的效用優(yōu)化問(wèn)題，首先運(yùn)用鞅的表示定理確保存在一個(gè)投資組合過(guò)程可以到達(dá)可容許的財(cái)富過(guò)程，然后運(yùn)用凸分析得到最優(yōu)的財(cái)富. 文獻(xiàn)[3]研究了具有馬爾科夫調(diào)制參數(shù)的連續(xù)時(shí)間均值方差投資組合選擇問(wèn)題，他們假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格是時(shí)間和馬爾科夫調(diào)制參數(shù)的函數(shù)，而債券的價(jià)格不含馬爾科夫調(diào)制參數(shù)，給出了最優(yōu)投資組合策略和有效前沿，但不足之處是，他們?cè)试S財(cái)富過(guò)程取負(fù)值，理由是假若限制財(cái)富過(guò)程為正值對(duì)于采用隨機(jī)控制來(lái)處理上述問(wèn)題會(huì)帶來(lái)很大的困難，文獻(xiàn)[4-5]上考慮重要微觀經(jīng)濟(jì)因素對(duì)股價(jià)的影響，建立具有負(fù)債因素與馬爾科夫調(diào)制參數(shù)的連續(xù)時(shí)間的均值方差

投資組合模型，采用推廣的隨機(jī)LQ控制與隨機(jī)極大值原理得到最優(yōu)投資組合策略.

以上的研究一般是在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格由Brown驅(qū)動(dòng)，金融市場(chǎng)系數(shù)包含馬爾科夫調(diào)制參數(shù)與不包含馬爾科夫調(diào)制參數(shù)的投資組合優(yōu)化問(wèn)題.但在現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)上，當(dāng)有重大信息出現(xiàn)時(shí)，會(huì)對(duì)股價(jià)產(chǎn)生沖擊，使得股價(jià)產(chǎn)生跳躍，同時(shí)投資過(guò)程會(huì)有隨機(jī)資金流的介入，考慮以下兩種情況：

① 股價(jià)出現(xiàn)跳躍，

②考慮具有隨機(jī)資金流的介入.

研究一般的效用函數(shù)研究了投資組合優(yōu)化問(wèn)題，在這里提出一種倒向前向的隨機(jī)微分方程，結(jié)合隨機(jī)最優(yōu)控制方法得到了一般的效用函數(shù)下的最優(yōu)投資組合策略，然后對(duì)二次效用函數(shù)給出了顯式表示的最優(yōu)投資組合策略.

5 結(jié) 論

在股票的價(jià)格受布朗運(yùn)動(dòng)和泊松跳驅(qū)動(dòng)，研究一般效用優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造倒向前向隨機(jī)微分方程，運(yùn)用隨機(jī)控制方法，得到最優(yōu)投資組合策略，然后運(yùn)用上述結(jié)論給出了在二次效用函數(shù)下的最優(yōu)投資組合策略.

參考文獻(xiàn)

[1] R C MERTON. Lifetime portfolio selection under uncertainty： the continuous-timecase[J]. Rev Econom.Statist， 1969， 51： 247-257.

[2] IKARATAZS. Optimal portfolio and consum-ption decisions for a small investor on a finite horizon[J]. SIAM J Control Optim，1987，25：1157-1586.

[3] ZHOUXUN-YU. Markowitzs Mean-Variance portfolio selection with regime switching：a continuous-timemodel[J].SIAM Control optim，2003，42（4）：1466-1482.

[4] Shu-xiang XIE. Continuous-time mean-variance portfolio selection with liability and regime switching[J]. Insurance：Mathematics and Economics， 2009，45：148-155.

[5] G B DIMASI. Mean-Variance hedging of options of stocks with Markov volatility[J]. Theory Probab.Appl.，1994，39：173-181.endprint

摘 要 現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)上，當(dāng)有重大信息出現(xiàn)時(shí)，會(huì)對(duì)股價(jià)產(chǎn)生沖擊，使得股價(jià)產(chǎn)生跳躍，同時(shí)投資過(guò)程會(huì)有隨機(jī)資金流的介入，考慮股價(jià)出現(xiàn)跳躍與隨機(jī)資金流介入的投資組合優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造倒向-前向隨機(jī)微分方程并結(jié)合隨機(jī)最優(yōu)控制理論研究了一般效用函數(shù)下的投資組合選擇問(wèn)題，獲得最優(yōu)投資組合策略，然后針對(duì)二次效用函數(shù)，給出顯式表示的最優(yōu)投資組合策略.

關(guān)鍵詞 效用函數(shù)；投資組合優(yōu)化；馬爾科夫鏈；倒向前向隨機(jī)微分方程；隨機(jī)資金流

中圖分類號(hào) F830.48 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

1 引 言

連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)最優(yōu)問(wèn)題最早是由Merton^[1]提出的，在金融市場(chǎng)系數(shù)為確定性函數(shù)，而股票價(jià)格由Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)時(shí)，運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的HJB方程分別給出了效用函數(shù)為對(duì)數(shù)和指數(shù)時(shí)顯式表示的最優(yōu)投資組合策略. 文獻(xiàn)[2]發(fā)展一種鞅方法來(lái)解投資組合的效用優(yōu)化問(wèn)題，首先運(yùn)用鞅的表示定理確保存在一個(gè)投資組合過(guò)程可以到達(dá)可容許的財(cái)富過(guò)程，然后運(yùn)用凸分析得到最優(yōu)的財(cái)富. 文獻(xiàn)[3]研究了具有馬爾科夫調(diào)制參數(shù)的連續(xù)時(shí)間均值方差投資組合選擇問(wèn)題，他們假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格是時(shí)間和馬爾科夫調(diào)制參數(shù)的函數(shù)，而債券的價(jià)格不含馬爾科夫調(diào)制參數(shù)，給出了最優(yōu)投資組合策略和有效前沿，但不足之處是，他們?cè)试S財(cái)富過(guò)程取負(fù)值，理由是假若限制財(cái)富過(guò)程為正值對(duì)于采用隨機(jī)控制來(lái)處理上述問(wèn)題會(huì)帶來(lái)很大的困難，文獻(xiàn)[4-5]上考慮重要微觀經(jīng)濟(jì)因素對(duì)股價(jià)的影響，建立具有負(fù)債因素與馬爾科夫調(diào)制參數(shù)的連續(xù)時(shí)間的均值方差

投資組合模型，采用推廣的隨機(jī)LQ控制與隨機(jī)極大值原理得到最優(yōu)投資組合策略.

以上的研究一般是在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格由Brown驅(qū)動(dòng)，金融市場(chǎng)系數(shù)包含馬爾科夫調(diào)制參數(shù)與不包含馬爾科夫調(diào)制參數(shù)的投資組合優(yōu)化問(wèn)題.但在現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)上，當(dāng)有重大信息出現(xiàn)時(shí)，會(huì)對(duì)股價(jià)產(chǎn)生沖擊，使得股價(jià)產(chǎn)生跳躍，同時(shí)投資過(guò)程會(huì)有隨機(jī)資金流的介入，考慮以下兩種情況：

① 股價(jià)出現(xiàn)跳躍，

②考慮具有隨機(jī)資金流的介入.

研究一般的效用函數(shù)研究了投資組合優(yōu)化問(wèn)題，在這里提出一種倒向前向的隨機(jī)微分方程，結(jié)合隨機(jī)最優(yōu)控制方法得到了一般的效用函數(shù)下的最優(yōu)投資組合策略，然后對(duì)二次效用函數(shù)給出了顯式表示的最優(yōu)投資組合策略.

5 結(jié) 論

在股票的價(jià)格受布朗運(yùn)動(dòng)和泊松跳驅(qū)動(dòng)，研究一般效用優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造倒向前向隨機(jī)微分方程，運(yùn)用隨機(jī)控制方法，得到最優(yōu)投資組合策略，然后運(yùn)用上述結(jié)論給出了在二次效用函數(shù)下的最優(yōu)投資組合策略.

參考文獻(xiàn)

[1] R C MERTON. Lifetime portfolio selection under uncertainty： the continuous-timecase[J]. Rev Econom.Statist， 1969， 51： 247-257.

[2] IKARATAZS. Optimal portfolio and consum-ption decisions for a small investor on a finite horizon[J]. SIAM J Control Optim，1987，25：1157-1586.

[3] ZHOUXUN-YU. Markowitzs Mean-Variance portfolio selection with regime switching：a continuous-timemodel[J].SIAM Control optim，2003，42（4）：1466-1482.

[4] Shu-xiang XIE. Continuous-time mean-variance portfolio selection with liability and regime switching[J]. Insurance：Mathematics and Economics， 2009，45：148-155.

[5] G B DIMASI. Mean-Variance hedging of options of stocks with Markov volatility[J]. Theory Probab.Appl.，1994，39：173-181.endprint

摘 要 現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)上，當(dāng)有重大信息出現(xiàn)時(shí)，會(huì)對(duì)股價(jià)產(chǎn)生沖擊，使得股價(jià)產(chǎn)生跳躍，同時(shí)投資過(guò)程會(huì)有隨機(jī)資金流的介入，考慮股價(jià)出現(xiàn)跳躍與隨機(jī)資金流介入的投資組合優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造倒向-前向隨機(jī)微分方程并結(jié)合隨機(jī)最優(yōu)控制理論研究了一般效用函數(shù)下的投資組合選擇問(wèn)題，獲得最優(yōu)投資組合策略，然后針對(duì)二次效用函數(shù)，給出顯式表示的最優(yōu)投資組合策略.

關(guān)鍵詞 效用函數(shù)；投資組合優(yōu)化；馬爾科夫鏈；倒向前向隨機(jī)微分方程；隨機(jī)資金流

中圖分類號(hào) F830.48 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

1 引 言

連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)最優(yōu)問(wèn)題最早是由Merton^[1]提出的，在金融市場(chǎng)系數(shù)為確定性函數(shù)，而股票價(jià)格由Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)時(shí)，運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的HJB方程分別給出了效用函數(shù)為對(duì)數(shù)和指數(shù)時(shí)顯式表示的最優(yōu)投資組合策略. 文獻(xiàn)[2]發(fā)展一種鞅方法來(lái)解投資組合的效用優(yōu)化問(wèn)題，首先運(yùn)用鞅的表示定理確保存在一個(gè)投資組合過(guò)程可以到達(dá)可容許的財(cái)富過(guò)程，然后運(yùn)用凸分析得到最優(yōu)的財(cái)富. 文獻(xiàn)[3]研究了具有馬爾科夫調(diào)制參數(shù)的連續(xù)時(shí)間均值方差投資組合選擇問(wèn)題，他們假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格是時(shí)間和馬爾科夫調(diào)制參數(shù)的函數(shù)，而債券的價(jià)格不含馬爾科夫調(diào)制參數(shù)，給出了最優(yōu)投資組合策略和有效前沿，但不足之處是，他們?cè)试S財(cái)富過(guò)程取負(fù)值，理由是假若限制財(cái)富過(guò)程為正值對(duì)于采用隨機(jī)控制來(lái)處理上述問(wèn)題會(huì)帶來(lái)很大的困難，文獻(xiàn)[4-5]上考慮重要微觀經(jīng)濟(jì)因素對(duì)股價(jià)的影響，建立具有負(fù)債因素與馬爾科夫調(diào)制參數(shù)的連續(xù)時(shí)間的均值方差

投資組合模型，采用推廣的隨機(jī)LQ控制與隨機(jī)極大值原理得到最優(yōu)投資組合策略.

以上的研究一般是在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格由Brown驅(qū)動(dòng)，金融市場(chǎng)系數(shù)包含馬爾科夫調(diào)制參數(shù)與不包含馬爾科夫調(diào)制參數(shù)的投資組合優(yōu)化問(wèn)題.但在現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)上，當(dāng)有重大信息出現(xiàn)時(shí)，會(huì)對(duì)股價(jià)產(chǎn)生沖擊，使得股價(jià)產(chǎn)生跳躍，同時(shí)投資過(guò)程會(huì)有隨機(jī)資金流的介入，考慮以下兩種情況：

① 股價(jià)出現(xiàn)跳躍，

②考慮具有隨機(jī)資金流的介入.

研究一般的效用函數(shù)研究了投資組合優(yōu)化問(wèn)題，在這里提出一種倒向前向的隨機(jī)微分方程，結(jié)合隨機(jī)最優(yōu)控制方法得到了一般的效用函數(shù)下的最優(yōu)投資組合策略，然后對(duì)二次效用函數(shù)給出了顯式表示的最優(yōu)投資組合策略.

5 結(jié) 論

在股票的價(jià)格受布朗運(yùn)動(dòng)和泊松跳驅(qū)動(dòng)，研究一般效用優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造倒向前向隨機(jī)微分方程，運(yùn)用隨機(jī)控制方法，得到最優(yōu)投資組合策略，然后運(yùn)用上述結(jié)論給出了在二次效用函數(shù)下的最優(yōu)投資組合策略.

參考文獻(xiàn)

[1] R C MERTON. Lifetime portfolio selection under uncertainty： the continuous-timecase[J]. Rev Econom.Statist， 1969， 51： 247-257.

[2] IKARATAZS. Optimal portfolio and consum-ption decisions for a small investor on a finite horizon[J]. SIAM J Control Optim，1987，25：1157-1586.

[3] ZHOUXUN-YU. Markowitzs Mean-Variance portfolio selection with regime switching：a continuous-timemodel[J].SIAM Control optim，2003，42（4）：1466-1482.

[4] Shu-xiang XIE. Continuous-time mean-variance portfolio selection with liability and regime switching[J]. Insurance：Mathematics and Economics， 2009，45：148-155.

[5] G B DIMASI. Mean-Variance hedging of options of stocks with Markov volatility[J]. Theory Probab.Appl.，1994，39：173-181.endprint