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(溧水高級中學(xué) 江蘇溧水 211200)

近期，筆者在全市范圍內(nèi)開設(shè)了一節(jié)公開課，經(jīng)過3次洗課，把一些繁、難的例題和習(xí)題刪去了，課堂中講解的題目看似簡單，但是筆者認為雖然它們簡約而不簡單，學(xué)生在教師精心設(shè)計的課堂教學(xué)的潛移默化中，逐步學(xué)會觀察、學(xué)會探索、學(xué)會研究，從而提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).下面筆者將本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計整理如下：

1 教材分析

本節(jié)高三復(fù)習(xí)課為“數(shù)列求和”第一課時，是學(xué)生在復(fù)習(xí)了等差數(shù)列和等比數(shù)列及其前n項和后安排的內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)有了數(shù)列有關(guān)知識的基礎(chǔ)，因此主要針對一些既非等差又非等比數(shù)列的求和方法進行歸納、總結(jié).由于數(shù)列求和的方法很多，本節(jié)課就著重介紹其中一種方法：裂項求和.

2 教學(xué)目標(biāo)

2.1 知識技能

會運用等差、等比數(shù)列的前n項和公式并結(jié)合裂項等方法解決一些其他的數(shù)列求和問題.

2.2 數(shù)學(xué)思考

經(jīng)歷用等差、等比數(shù)列的前n項和公式解決一些其他數(shù)列求和問題的過程，充分認識感受裂項求和方法的運用.

2.3 解決問題

會運用裂項解決相關(guān)數(shù)列的求和問題.

2.4 情感態(tài)度

經(jīng)歷歸納數(shù)列求和的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較與歸納的能力，在相關(guān)活動中設(shè)計問題、解決問題，并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會辨析，培養(yǎng)問題意識與質(zhì)疑精神.

3 教學(xué)過程設(shè)計

環(huán)節(jié)1課前熱身，自主回顧

(1)等差數(shù)列的求和公式為______.

(2)等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程是怎樣的？用了什么方法？

(3)等比數(shù)列的求和公式為______.

(4)等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程是怎樣的？用了什么方法？

(5)你所知道的求和方法有哪些？

本環(huán)節(jié)要求學(xué)生課前完成，必要時翻看課本，課上只要適當(dāng)點撥即可.

設(shè)計意圖這幾個問題都是幫助學(xué)生回憶等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式的一些基本概念、方法，即使學(xué)生遺忘了，也只要課前翻看課本，很快就能解決.問題(5)意在讓學(xué)生回憶所知道的求和方法，為后面上課作好鋪墊，節(jié)省不必要的時間.

環(huán)節(jié)2課前測試，查漏補缺

(1)3+5+7+9+…+99=______;

(2)1+3+5+…+2n+1=______;

(3)1+2+4+…+2n=______;

(4)1+a+a2+…+an=______.

本環(huán)節(jié)要求學(xué)生在課堂前幾分鐘完成，然后教師講解，并適當(dāng)補充，強調(diào)易錯點.

設(shè)計意圖該題組的設(shè)計是針對等差、等比數(shù)列求和公式的簡單運用，從學(xué)生熟悉的等差、等比數(shù)列做起，針對其中幾個易錯點可設(shè)計項數(shù)問題以及等比數(shù)列求和時對公比的討論等，讓學(xué)生在做題的過程中不斷發(fā)現(xiàn)錯誤，糾正錯誤，真正參與到課堂中去.

環(huán)節(jié)3例題精講，夯實雙基

例1求和：

師：這里運用了什么方法？

生1：裂項求和法.

多媒體課件突出顯示：逆序求和法、錯項消去法、裂項求和法.

師：看例1的變式1：

變式1求和：

生2：也是用裂項求和，根據(jù)

(生2在敘述的同時展示他的做法.)

生3(迫不及待):錯了！

(生2笑了，雖有些羞赧，但不感到尷尬，長期訓(xùn)練的效果.)

師：機械套用了裂項求和法，豈能不錯!說說怎么錯的？

師：那怎么才能避免這種錯誤呢？

生4：最好的方法就是寫出來后合并檢驗一下.

師：裂項對了，后面呢？

生5：最后剩下的項也不對，不止2項！

師：剩下的項數(shù)又怎么判斷？

生6：我是用不完全歸納法，多寫幾項，看看剩下多少，然后不完全歸納出最后剩下多少項.

生7：我覺得可以把正的項和負的項分開寫，寫成：

它們的分母都是連續(xù)的整數(shù)，剩下的項數(shù)一目了然！

設(shè)計意圖在裂項求和中，“系數(shù)的配平”和“確定最后剩余的項數(shù)”是難點，也是重點.這里采用讓學(xué)生示錯，自主糾錯，討論得到正確的結(jié)論，讓更多的學(xué)生參與教學(xué)是新課標(biāo)的一個主要目標(biāo).只有當(dāng)學(xué)生自己提出問題，解決問題后，所涉及的知識才能內(nèi)化為學(xué)生本人所有.

師：很好！用裂項求和時要注意檢驗.我們再看看下面的問題怎么解決：

設(shè)計意圖裂項求和的概念在頭腦中剛剛形成，趁熱打鐵，需要變形后才能用裂項求和.

有了前面題目的鋪墊，學(xué)生就不會隨便下筆了，思考了幾分鐘后，有學(xué)生舉手：

生8：先將通項公式變形再裂項：

從而

師：有些數(shù)列的通項公式需要進行變形后才能用裂項求和的方法，你能總結(jié)下裂項求和的通項公式有什么特征嗎？

學(xué)生歸納總結(jié)可以裂項求和的數(shù)列的特征為：首先是個分式，另外分母上2個相乘的式子差是常數(shù).同時學(xué)生也歸納出裂項的通項公式：

你能寫出一些能用裂項方法進行求和的數(shù)列嗎？

設(shè)計意圖通過前面幾次變式的討論，讓學(xué)生自己總結(jié)出可以裂項的通項公式的特點，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察和總結(jié)歸納的能力，而且最后讓學(xué)生舉出相應(yīng)的可以裂項的通項公式，培養(yǎng)他們對所總結(jié)知識的運用能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

環(huán)節(jié)4鏈接高考，凸顯主題

師：下面這2道題都是由高考題改編而來，大家想想怎么做？

例2設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，對任意n∈N*，an≠0,公差d≠0，求證：

例3求和:tan1·tan2+tan2·tan3+tan3·tan4+…+tann·tan(n+1).

師:觀察式子的特點,聯(lián)想我們學(xué)過的公式及變形,用哪個公式合適呢?

生10:兩角差的正切公式.因為兩角和的正切公式變形之后只有加號沒有減號,不滿足相消條件.只有兩角差的正切公式

經(jīng)過變形得到

出現(xiàn)減號則前后2項才能相消.

設(shè)計意圖讓學(xué)生體會裂項求和在高考中的呈現(xiàn)形式，看到它的價值所在，才能激發(fā)學(xué)生勇攀高峰、學(xué)習(xí)新知的欲望.

環(huán)節(jié)5鞏固練習(xí)，新知升級

(一名學(xué)生板書，其他學(xué)生糾正，評判對錯及過程方法.)

設(shè)計意圖設(shè)置鞏固練習(xí)，意在檢驗學(xué)生對這節(jié)課的掌握程度，更讓學(xué)生體會要求和，必須先求通項公式的重要性；同時讓沒有完全掌握好的學(xué)生暴露自己的偏頗認識，然后教師進一步幫助認識模糊的學(xué)生澄清認識.以具體的問題，強化這類通項公式的特點，便于學(xué)生理解其結(jié)構(gòu)的內(nèi)涵.

環(huán)節(jié)6課堂小結(jié)，結(jié)語點金

你知道的數(shù)列求和方法有哪些？這節(jié)課你有哪些收獲？

設(shè)計意圖通過最后幾分鐘的總結(jié)交流，讓學(xué)生重溫重點、難點、知識的梳理、方法的提煉，保證一節(jié)課清晰的脈絡(luò)，教師適時點睛、補充，幫學(xué)生將所學(xué)知識納入自己的認知結(jié)構(gòu)中去，只有這樣，課堂效果才能持久.

4 評價與反思

本課例教學(xué)以教師引導(dǎo)下的自主探究活動為載體，力爭從“求簡”入手，以最貼近學(xué)生思維“最近發(fā)展區(qū)”的問題為支點，引導(dǎo)學(xué)生展開對數(shù)列求和方法——裂項求和的研究.在變式中，注重對學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)、數(shù)學(xué)思想的滲透、數(shù)學(xué)思維的深化、思維能力的提升.

4.1 選擇適宜的“問題”來驅(qū)動學(xué)習(xí)

問題是探究性教學(xué)的起點，問題的選擇或設(shè)計要難易得當(dāng)，要讓學(xué)生處于“跳一跳，摘到桃”的狀態(tài);問題還應(yīng)具有發(fā)散性，即解決問題方法的多樣性、條件或結(jié)論的可變性，這一問題的解決能引發(fā)新的問題產(chǎn)生，形成“問題鏈”，有了問題學(xué)生就有了思考與討論的方向，從而能持續(xù)地驅(qū)動學(xué)生進行探究，激發(fā)思維，深化思考.

數(shù)列內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)的難點，而數(shù)列求和中的裂項求和是教學(xué)的重點與難點.對于第一輪復(fù)習(xí)的高三學(xué)生來說，不能過難，教學(xué)問題的選擇要簡單，教學(xué)的重心就能落在讓學(xué)生建構(gòu)起對數(shù)列求和的方法上.而本課例中的課前熱身、課前測試都是簡單題，用于喚醒學(xué)生對這部分內(nèi)容的回憶.例1正好貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，起點低，由于問題難度小，全體學(xué)生都可以展開自主探究，能夠經(jīng)歷求和過程的體驗.再進一步通過變式的運用，從中提煉出數(shù)列求和的一般形式，形成方法體系，從對問題的變式中，形成“問題鏈”，而每個問題的提出，都會引起學(xué)生認知的沖突，引發(fā)探究，驅(qū)動思維發(fā)展.

4.2 重視對過程的反饋與方法的歸納

在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，問題解決后教師要引導(dǎo)學(xué)生進行反饋分析，對解決方法進行評價，啟發(fā)學(xué)生自我調(diào)控，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)思路，啟迪心智，發(fā)散思維.在方法歸納中，先散后斂，提練通性通法，聚合思路，提升思維.通過反饋歸納讓學(xué)生能夠理清解題思路，生成解題方法，反饋解題過程，優(yōu)化解題方法，弄清解題通法，發(fā)現(xiàn)解題巧法，形成解題體系，完善解題網(wǎng)絡(luò).而教師適時地引導(dǎo)是不可缺少的，只有經(jīng)過教師的引導(dǎo)，學(xué)生才能同化新解法，建構(gòu)新體系.方法的歸納是對解題的升華,在本課例中，讓學(xué)生自主探究，充分發(fā)散，最后總結(jié)出裂項求和的一般形式，加深了對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

4.3 要著力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

復(fù)習(xí)教學(xué)的核心是通過優(yōu)化學(xué)生的問題解決過程，促進學(xué)生思維的發(fā)展.因此在復(fù)習(xí)的每個環(huán)節(jié)，無論是問題解決策略的形成階段——思路的產(chǎn)生和方法的生成，還是在類比遷移階段——變式拓展和方法遷移，教師都不能越俎代庖,要留足時間讓學(xué)生獨立思考、自主探究、互相討論和反饋歸納.教師要在適時、恰當(dāng)、有度地引導(dǎo)與追問中引發(fā)學(xué)生內(nèi)心的沖突，打破原有認知結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)，啟迪心智、驅(qū)動思維，使學(xué)生進入問題探究之中.學(xué)生在持續(xù)不斷的思考中學(xué)會用自己的思維方式構(gòu)建解題策略，不斷糾正錯誤，使思維不斷延伸和優(yōu)化.在本課例中，學(xué)生在例1的基礎(chǔ)上容易產(chǎn)生思維定勢，在變式1中就出現(xiàn)錯誤，引發(fā)認知沖突，如何解決？錯在哪里？激起思維，引導(dǎo)學(xué)生開始觀察式子結(jié)構(gòu)、研究已知信息，等等；通過變式、問題的不斷深入，思維持續(xù)被驅(qū)動，也不斷在深化.未來的高考試題是猜不著的，但只要積攢了豐厚的“勢能”，那么在考場上就能充分地釋放出“動能”，從容應(yīng)對各種試題.