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(杭州第十四中學(xué) 浙江杭州 310006)

我們知道，數(shù)學(xué)項(xiàng)目活動學(xué)習(xí)課的基本思路為：情境引入、數(shù)學(xué)花絮、知識背景、教學(xué)目標(biāo)、學(xué)習(xí)模塊建議、實(shí)施建議、評價(jià)建議等.活動課可根據(jù)某個(gè)知識的不同方面劃分為多個(gè)模塊，既有理論型模塊，也有實(shí)踐動手型模塊.每個(gè)學(xué)生可以根據(jù)自己的喜好選擇最感興趣的模塊進(jìn)行實(shí)踐.每個(gè)模塊再給出若干個(gè)指導(dǎo)問題，引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究和討論找出問題的答案.下面以高中數(shù)學(xué)“斐波那契數(shù)列”為例，由教師提出斐波那契數(shù)列這一數(shù)學(xué)知識，指導(dǎo)學(xué)生利用課余時(shí)間自主探究斐波那契數(shù)列在各領(lǐng)域中的應(yīng)用，最后以小組匯報(bào)的形式將研究成果向師生展示.

1 學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計(jì)

(1)通過教師講解使學(xué)生了解斐波那契數(shù)列的歷史及定義.

(2)啟發(fā)學(xué)生利用類比、歸納、猜想等數(shù)學(xué)方法探索研究斐波那契數(shù)列的性質(zhì)及特點(diǎn).

(3)通過學(xué)生親歷各種數(shù)學(xué)活動，自主利用書籍、網(wǎng)絡(luò)等現(xiàn)代技術(shù)手段學(xué)習(xí)知識進(jìn)而解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和收集、加工、整理、利用信息的能力.

(4)通過對現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)素材的收集、整理，讓學(xué)生感受生活中的數(shù)學(xué)無處不在，感受數(shù)學(xué)美和數(shù)學(xué)的巨大作用，了解數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和求知欲.

(5)通過小組合作和成果匯報(bào)，培養(yǎng)學(xué)生的交流能力和團(tuán)隊(duì)合作意識.

2 學(xué)習(xí)活動模塊

1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的著作《算盤書》中，提出了一個(gè)問題：

假定一對剛出生的兔子一個(gè)月就能長成大兔子，再過一個(gè)月就開始生下一對小兔子，并且以后每個(gè)月都生一對小兔子．設(shè)所生的一對兔子均為一雄一雌，且均無死亡，問一對剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對兔子？

師：同學(xué)們，你和你的小組成員可以從以下的幾個(gè)活動建議模塊中任選一個(gè)或多個(gè)感興趣的模塊進(jìn)行研究.

模塊1斐波那契數(shù)列的數(shù)學(xué)奧秘

斐波那契數(shù)列具有很多奇妙的數(shù)學(xué)特征，你能否找出這些特征呢？

問題1上述斐波那契數(shù)列是用遞推公式表示的，如果僅僅依靠遞推關(guān)系式求解恐怕會很麻煩，你有什么好辦法嗎？它的通項(xiàng)公式是什么？

問題2通過計(jì)算和觀察，請你說說斐波那契數(shù)列有哪些性質(zhì)(如通項(xiàng)公式、項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系等).

問題3斐波那契數(shù)列還與其他一些數(shù)學(xué)知識有著微妙的聯(lián)系，你能找出來嗎(如楊輝三角、黃金分割)？

問題4設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算機(jī)的程序，可以求解斐波那契數(shù)列的任意一項(xiàng).

模塊2斐波那契數(shù)列與植物

植物界中的眾多植物都偏愛于斐波那契數(shù)列，這是偶然的巧合還是大自然的法則？

問題1觀察葉子的生長規(guī)律，它與斐波那契數(shù)列有什么聯(lián)系嗎？

問題2觀察身邊的花朵，說說它們與斐波那契數(shù)列的關(guān)系.

問題3觀察植物的果實(shí)，從中找出斐波那契螺旋.

模塊3斐波那契數(shù)列與動物

動物界中也有眾多現(xiàn)象與斐波那契數(shù)列有關(guān)，你能發(fā)現(xiàn)它們嗎？

問題1你知道，蜜蜂的繁殖有什么規(guī)律嗎？它與斐波那契數(shù)列有什么聯(lián)系？

問題2細(xì)菌的傳播與斐波那契數(shù)列有關(guān)嗎？

問題3動物的身上也有斐波那契螺旋嗎？

模塊4斐波那契數(shù)列與藝術(shù)

斐波那契數(shù)列不僅是自然界的設(shè)計(jì)師，它還給音樂藝術(shù)帶來了許多靈感.巴赫的作品《賦格的藝術(shù)》背后的數(shù)學(xué)定理就是斐波那契數(shù)列！許多建筑物運(yùn)用了斐波那契螺旋線使得建筑物設(shè)計(jì)美輪美奐.

這一晚的刺心魔術(shù)，他命名為“鉆心時(shí)刻”，在場的許多人檢查過那柄匕首，毫無機(jī)關(guān)，可它刺入杜朗的胸腔，就是毫發(fā)無傷?？勺詈螅至?。一場驚心動魄的魔術(shù)，瞬間變成了一樁血案，沒人知道這是一場意外，還是一場謀殺。

問題1請你試著分析斐波那契數(shù)列在樂曲中的應(yīng)用規(guī)律，并按照這個(gè)規(guī)律創(chuàng)作一段簡單的樂曲.如果有困難，也可以請教音樂教師.

問題2樂器中也能找到斐波那契數(shù)，請?jiān)囈辉嚕?/p>

模塊5斐波那契數(shù)列與高中數(shù)學(xué)

中學(xué)數(shù)學(xué)中有許多習(xí)題的背景也是斐波那契數(shù)列的應(yīng)用.

問題1還記得《數(shù)學(xué)(必修2)》第90頁的魔術(shù)嗎？你能揭秘這個(gè)魔術(shù)背后的奧秘嗎？你能自己設(shè)計(jì)一個(gè)類似的魔術(shù)嗎？

問題2蜂房問題.

問題3爬樓梯問題.

模塊6動手構(gòu)建神奇的數(shù)列

斐波那契數(shù)列是如此的神奇，請你也來構(gòu)造一個(gè)神奇的數(shù)列，并說明它的神奇之處.

問題1將斐波那契數(shù)列的開始2項(xiàng)改變，數(shù)列的一些性質(zhì)發(fā)生了哪些變化？

問題2查閱資料了解盧卡數(shù)列、托里波那契數(shù)列，這些數(shù)列與斐波那契數(shù)列有什么關(guān)系嗎？

3 實(shí)施建議

確定小組成員，明確選擇模塊主題；

小組成員明確各自在分組活動中的角色，合作完成項(xiàng)目；

活動期間利用網(wǎng)絡(luò)、書籍等資源查找相關(guān)資料，遇到困難可以向其他學(xué)生和教師求助，采納有效的意見繼續(xù)完成項(xiàng)目；

學(xué)生進(jìn)行研究成果的展示，可以是PPT演示，也可以是實(shí)物展示、編制簡報(bào)等，并在匯報(bào)課上解答其他學(xué)生的疑問.

4 評價(jià)建議

活動結(jié)束請思考：在整個(gè)活動中有哪些收獲，有哪些困惑，有哪些建議？請記錄在下面的表1中：

表1 活動反饋表

此表一式2份，一份與學(xué)生自己的成果作品放在一起，一份上交給教師.

5 活動評價(jià)和教學(xué)反思

由每位學(xué)生填寫學(xué)習(xí)單中的活動反饋表，將自己在活動中的感受和建議整理好.由師生共同利用學(xué)習(xí)單中的小組活動計(jì)分表給各匯報(bào)小組的成果打分，根據(jù)分值的高低頒發(fā)獎(jiǎng)品，所有參與的學(xué)生都有獎(jiǎng)，以資鼓勵(lì).在學(xué)生們的自評反饋中可以看到學(xué)生參加這類活動的興趣很高，在資料的收集、加工和整理方面的能力得到了鍛煉，學(xué)生之間的交流與合作能力得到了提高.這次的數(shù)學(xué)活動課學(xué)生們的表現(xiàn)非常出色，只能用“驚嘆”來形容筆者的心情，讓筆者感到興奮的不僅僅是斐波那契數(shù)列知識本身，更重要的是學(xué)生們在探究數(shù)學(xué)奧秘過程中的精彩表現(xiàn).

5.1 學(xué)生帶給教師的驚喜

活動學(xué)習(xí)課讓教師看到了學(xué)生身上存在著巨大的潛能，作為教師應(yīng)該要給他們舞臺，讓他們在舞臺上跳出最美麗的舞蹈.比如，音樂組的學(xué)生通過了解斐波那契數(shù)列在音樂中的應(yīng)用，利用斐波那契數(shù)列自己創(chuàng)作了一首樂曲，將莫扎特的名曲根據(jù)斐波那契數(shù)列改編之后，使得原本悲傷的樂曲變得歡樂明快;動、植物組的學(xué)生找了許多大自然中的奇妙現(xiàn)象，平時(shí)也許我們不曾想到花瓣和果實(shí)也存在著那么多的數(shù)學(xué)知識；藝術(shù)組的學(xué)生根據(jù)鋼琴的琴鍵上存在斐波那契數(shù)列，結(jié)合組員學(xué)習(xí)民樂的特點(diǎn)，提出中國古典民族樂器是不是也有斐波那契數(shù)列存在的猜想？他們提出問題，大膽假設(shè)，小心求證，結(jié)果他們找到了許多弦數(shù)為斐波那契數(shù)的彈撥樂器，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了一些非斐波那契數(shù)的樂器.

學(xué)習(xí)需要?jiǎng)恿Γ瑢W(xué)生們內(nèi)心存在弄清楚某個(gè)問題的強(qiáng)烈需求時(shí)就會樂意迎難而上，而不再需要外力催促他們學(xué)習(xí).比如，數(shù)學(xué)奧秘組的學(xué)生就運(yùn)用了高中階段沒有教授的特征方程成功求出了斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式，自己閱讀文獻(xiàn)來研究斐波那契螺線的奧秘，他們遇到了沒有學(xué)過的知識，可是他們沒有停止、退縮，而是選擇了迎難而上，靠自己和團(tuán)隊(duì)的力量成功獲得了問題的解答.學(xué)生們運(yùn)用現(xiàn)代多媒體技術(shù)進(jìn)行成果匯報(bào)，除了使用傳統(tǒng)的PPT之外，還利用了moviemaker制作了電影，并在現(xiàn)場揭秘了劉謙表演過的魔術(shù).豐富多彩的匯報(bào)形式，讓所有聽課的教師耳目一新，比起平日里一支粉筆、一塊黑板的上課，這樣的課顯然有意思多了.

5.2 學(xué)生活動中存在的問題

學(xué)生在該項(xiàng)目學(xué)習(xí)活動中也暴露出一些問題.一方面，此類數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)活動需要學(xué)生較強(qiáng)的自主學(xué)習(xí)能力、尋找問題的能力以及鉆研精神，這些恰恰是學(xué)生相對薄弱的，因此在整個(gè)學(xué)習(xí)活動過程中，教師還是要起主導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的作用.另一方面，由于課業(yè)壓力和時(shí)間關(guān)系，并不是所有的學(xué)生都參與到了活動中來，個(gè)別小組只有幾位學(xué)生在真正實(shí)踐操作，更多的學(xué)生則成了看客.可能學(xué)生很少接觸這樣的學(xué)習(xí)方式，因此對于學(xué)生而言，他們喜歡教師上這樣的課，但是如果僅僅是聽聽這樣的趣味數(shù)學(xué)課，而不用他們動手，他們會更樂意，但這與設(shè)計(jì)這類課的初衷是相悖的.因此如何真正調(diào)動學(xué)生自主學(xué)習(xí)探究的積極性，這是值得教師思考的問題.

學(xué)生的成果數(shù)學(xué)味還不夠濃，學(xué)生更愿意去了解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的事例，而不愿意去研究斐波那契數(shù)列的數(shù)學(xué)本質(zhì)和定理.對于枯燥的數(shù)學(xué)更多的學(xué)生還是避而遠(yuǎn)之.數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)如果缺少了數(shù)學(xué)味，那么就缺失了核心的內(nèi)容，因此在開設(shè)數(shù)學(xué)項(xiàng)目活動課時(shí)要注意與普通的研究性學(xué)習(xí)區(qū)分開來，要注意活動中的數(shù)學(xué)元素，要指導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而建立起聯(lián)系.比如，魔術(shù)組的學(xué)生開始時(shí)僅僅只會破解課本上的一個(gè)魔術(shù)，認(rèn)為只是由于斜率不同造成的視覺誤差.后來他們研究了連續(xù)3項(xiàng)斐波那契數(shù)的一個(gè)運(yùn)算性質(zhì)后，發(fā)現(xiàn)了魔術(shù)背后的真正奧秘，一旦掌握了這個(gè)數(shù)學(xué)奧秘,他們不僅能破解魔術(shù)，還能自己創(chuàng)造魔術(shù)了.

5.3 教師的收獲與困惑

在開展數(shù)學(xué)項(xiàng)目活動學(xué)習(xí)的過程中，解決問題所需的知識儲備不足、解決問題的方法多樣、解決過程的不確定性，讓筆者感到力不從心，感受到要成為一名優(yōu)秀的教師還需要更多的積累和提高.與其說是筆者教育學(xué)生，倒不如說和學(xué)生一起在活動中學(xué)習(xí)、提高.教師在教學(xué)過程中需要不斷調(diào)整自己的角色，而不再永遠(yuǎn)是“正確的指導(dǎo)者、真理的化身”.在項(xiàng)目學(xué)習(xí)準(zhǔn)備階段，教師應(yīng)該是設(shè)計(jì)者，需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)好的問題環(huán)境，激發(fā)學(xué)生自主解決問題的積極性和創(chuàng)造性.在項(xiàng)目學(xué)習(xí)實(shí)施階段，教師則是組織者、咨詢者或者點(diǎn)評者，幫助學(xué)生在主動探索活動中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實(shí)意義、應(yīng)用價(jià)值等；幫助學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待現(xiàn)實(shí)生活背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識；幫助學(xué)生動手制作活動成果等.

在這次的數(shù)學(xué)活動學(xué)習(xí)課上，師生交換了位置，學(xué)生們成了教師，成了自己的先生.筆者相信學(xué)生們通過自己的研究和學(xué)習(xí)，掌握的斐波那契數(shù)列知識很牢固，將來很長一段時(shí)間都不會忘記今天這一課的內(nèi)容.這也是這類數(shù)學(xué)項(xiàng)目活動課的價(jià)值所在.數(shù)學(xué)項(xiàng)目活動學(xué)習(xí)課對于培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣和熱愛是很有意義的，通過學(xué)習(xí)課學(xué)生喜歡上了數(shù)學(xué)，有了學(xué)好數(shù)學(xué)的內(nèi)在動力，同時(shí)這樣的活動學(xué)習(xí)課也鍛煉了學(xué)生之間的交流能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力，這些能力也都是平時(shí)學(xué)習(xí)課本知識時(shí)無法習(xí)得的.因此，要想讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，那就讓他們熱愛數(shù)學(xué)吧！要想讓學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)，那就讓他們在實(shí)踐中體會數(shù)學(xué)的魅力和價(jià)值吧！讓他們感受到數(shù)學(xué)也是可以在活動學(xué)習(xí)課中學(xué)習(xí)和掌握的！

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 張國祥．?dāng)?shù)學(xué)化與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)思想[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，14(1)：16-18．

[2] 周仕榮．?dāng)?shù)學(xué)課堂規(guī)范的討論和分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21(1):80-81．

[3] 王光明,刁穎.高效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理特征研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18(5)：51-56.

[4] 馬茂年.快樂教學(xué)改善心育領(lǐng)悟本質(zhì)——從“教書匠”走向“名教師”[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2013(7)：4-7.

[5] 馬茂年，俞昕.課堂教學(xué)回歸“數(shù)學(xué)化”的討論和分析——以高中“數(shù)學(xué)歸納法”的教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22(3)：83-84.

[6] 顧予恒，馬茂年.數(shù)學(xué)選修活動課堂精彩紛呈——以人教A版《數(shù)學(xué)(必修3)》的閱讀思考材料“概率與密碼”為例[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2014(1)：7-12.