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(鳳起中學(xué) 浙江杭州 310004)

1 問(wèn)題的提出

圖式復(fù)習(xí)教學(xué)就是教師提供適切的學(xué)習(xí)材料，整合新舊知識(shí)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)、理解圖式，以達(dá)到提高課堂學(xué)習(xí)效率和效果的教學(xué).運(yùn)用圖式復(fù)習(xí)，能發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).圖式復(fù)習(xí)在解題的分層教學(xué)過(guò)程中，能讓所有學(xué)生“吃得了”，讓好的學(xué)生“吃得飽”，讓不同層次的學(xué)生都能獲得進(jìn)步和提高.運(yùn)用圖式復(fù)習(xí)，能充分暴露學(xué)生的思維過(guò)程，體會(huì)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程.圖式復(fù)習(xí)教學(xué)可以讓學(xué)生用已有圖式去建構(gòu)新圖式，留出更多的思考時(shí)間和空間，能在過(guò)程中體驗(yàn)、學(xué)習(xí)、感悟許多知識(shí)以外的東西.

2 圖式復(fù)習(xí)之尋根

題根對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的2個(gè)點(diǎn),如A(2,3),B(-1,2)，同學(xué)們，你們能想到什么？

設(shè)計(jì)意圖題目設(shè)計(jì)充分考慮學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知水平，照顧到所有的學(xué)生，基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生想得問(wèn)題會(huì)淺一點(diǎn)，基礎(chǔ)好的學(xué)生想得問(wèn)題會(huì)比較深，讓每一位學(xué)生都有收獲和提高.

下面筆者把學(xué)生想到的問(wèn)題歸納一下：

A組題：

生1：2個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系有2種表示方法:有序數(shù)對(duì)法和方位法；

等等.

2.1 圖式復(fù)習(xí)之變式拓展——衍生面積問(wèn)題

圖1

如考慮點(diǎn)O，衍生出△AOB的面積問(wèn)題,學(xué)生總結(jié)出求△AOB面積的幾種方法.

求不規(guī)則三角形的面積最常用的是“割補(bǔ)法”:“割”就是把三角形分割成2個(gè)三角形△AOC和△BOC(圖1),可得公式：

即

“補(bǔ)”就是把三角形補(bǔ)成梯形或矩形(如圖2)求解.

圖2

實(shí)際上，教師可以將題目再深化，運(yùn)用函數(shù)作為背景：

(1)以反比例函數(shù)作為深化背景.

圖3

(1)這2個(gè)函數(shù)的解析式；

(2)直線與雙曲線的2個(gè)交點(diǎn)A,C的坐標(biāo)；

(3)△AOC的面積.

這個(gè)問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，是為基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生準(zhǔn)備的，用“分割”的方法求三角形面積，必須求出直線AC與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

(2)以二次函數(shù)作為深化背景.

從靜態(tài)圖形著手思考，你能求出圖4中哪些點(diǎn)構(gòu)成的圖形面積？

學(xué)生能求出△AOC,△BOC,△ABC,△AOD,△BOD的面積，請(qǐng)問(wèn)能求△BCD的面積嗎？

同樣可以利用割補(bǔ)法求解，總結(jié)出3種方法.

方法1補(bǔ)全成矩形.

方法2利用四邊形OCDB的面積減去△OBC的面積，即S△BCD=S△OCD+S△OBD-S△OBC(圖5).

圖4 圖5

方法3利用鉛垂高DE分割(圖6)，得

圖6 圖7

由靜到動(dòng)，還可以研究三角形面積的最大值問(wèn)題.當(dāng)點(diǎn)F在拋物線上時(shí)(如在第四象限)，問(wèn)何時(shí)S△BCF最大(圖7).設(shè)點(diǎn)F(x,y)，把點(diǎn)F看成已知點(diǎn)，用上面的3種方法均可以得到三角形面積，把面積看成x的函數(shù)，利用函數(shù)思想求面積的最大值.如此由靜到動(dòng)，學(xué)生頭腦中的“分割法”獲得了新的活力.

圖8

(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____，點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_____.

(2)點(diǎn)M是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限.

①當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△AMC的面積最大，并求出△AMC的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AMCB的面積最大，并求出四邊形AMCB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

(3)若點(diǎn)M為x軸下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)MA，MC，記△MAC的面積為S，問(wèn)S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)M有且只有2個(gè)?

第①小題中的M是動(dòng)點(diǎn)，學(xué)生可以由“注入活力”的分割法求解.第②小題由三角形變?yōu)樗倪呅?，同樣可以分割為△AMC和△ACB，而△ACB的面積是定值，方法同①.第(3)題中的點(diǎn)M改為x軸下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，這樣就必須分類討論，分點(diǎn)M在第三象限和第四象限2種情況討論,并分別求出點(diǎn)M在第三象限時(shí)△AMC的最大面積和△ACB的面積.引導(dǎo)學(xué)生分析這2個(gè)面積不等時(shí)，情況是不一樣的.

通過(guò)這個(gè)專題的研究，讓學(xué)生對(duì)三角形的面積(包括靜態(tài)和動(dòng)態(tài))問(wèn)題有了一定的認(rèn)識(shí).獲得了求面積的重要方法——割補(bǔ)法，對(duì)數(shù)學(xué)思想如函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想有了更深的體會(huì).

2.2 圖式復(fù)習(xí)之原題改編——衍生距離問(wèn)題

考慮坐標(biāo)軸，衍生“將軍飲馬”問(wèn)題.“將軍飲馬”問(wèn)題在課本中原型(七年級(jí)下冊(cè))：如圖9，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A,B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A，B到它的距離之和最短？這類問(wèn)題經(jīng)常會(huì)跟著它的孿生題，即求距離差絕對(duì)值的最大值(如圖10).

圖9 圖10

學(xué)生提出在x軸上分別找點(diǎn)C,E，使得CB+CA值最小、|EA-EB|值最大.

此類問(wèn)題考查的知識(shí)點(diǎn)主要有:兩點(diǎn)之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊、點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱等.

原題改編，實(shí)際上還可以進(jìn)行如下變化：

圖11

例3已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(2，-5)，B(5，1)．在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出滿足下列條件的點(diǎn)(保留畫(huà)圖痕跡)，并求其坐標(biāo)．

(1)在y軸上找一點(diǎn)C，使得AC+BC的值最??；

(2)在x軸上找一點(diǎn)D，使得AD-BD的值最大．

解決了這個(gè)問(wèn)題之后，引導(dǎo)學(xué)生改變點(diǎn)A,B的位置.通過(guò)改變點(diǎn)A,B的位置，發(fā)現(xiàn)：求和的最小值時(shí)必須使點(diǎn)A,B位于直線的異側(cè)，否則作其中一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，如作A的對(duì)稱點(diǎn)A′，則直線A′B與直線的交點(diǎn)就是求點(diǎn)C的方法；求差的最大值時(shí)，必須使A,B位于直線的同側(cè)，否則作其中一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，如作A的對(duì)稱點(diǎn)A′，則直線A′B與直線的交點(diǎn)就是求D的方法.

教師拓展，增添背景,也可改編成如下幾何背景題目：

例4(B組題)(1)如圖12，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，M是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM+PB的最小值是______.

變換背景引導(dǎo)學(xué)生思考：可以把菱形改成什么圖形？因?yàn)檫@類問(wèn)題需要作對(duì)稱點(diǎn)，所以出題的背景可以變,如角、三角形、矩形、正方形、等腰梯形、圓;函數(shù)背景如雙曲線、拋物線等軸對(duì)稱圖形.

圖12 圖13 圖14

改動(dòng)對(duì)稱軸的位置，定點(diǎn)變成了動(dòng)點(diǎn).

(C組題)(3)如圖14，在正方形ABCD中，AB=2,Q是AB的中點(diǎn)，求PM+PB的最小值;

(4)聯(lián)結(jié)QC，點(diǎn)P,M是QC,BC上的任意點(diǎn)，求PM+PB的最小值.

第(1)、(2)小題雖然增加了背景，但實(shí)際上是對(duì)問(wèn)題的直接應(yīng)用.第(3)小題對(duì)問(wèn)題稍作改編，M也變成了動(dòng)點(diǎn)，題目就變成點(diǎn)到直線的問(wèn)題了,要求學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí).此題還可以改編成函數(shù)背景的題目：

(2)在第(1)小題中，若使得△ADC的周長(zhǎng)最小，試求點(diǎn)D的坐標(biāo).

增加動(dòng)點(diǎn)，學(xué)有余力的學(xué)生可以思考第(3)小題：

(3)若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M自P出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)E)，再到達(dá)拋物線對(duì)稱軸上某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)F,如圖15)，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A.確定使點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的位置(如圖16)，并求出這個(gè)最短路程的長(zhǎng).

圖15 圖16

第(1)、(2)小題還是屬于“將軍飲馬”問(wèn)題，第(3)小題雖增加動(dòng)點(diǎn)，通過(guò)這些求距離問(wèn)題的解決，發(fā)現(xiàn)最終的知識(shí)是用到初一學(xué)的“兩點(diǎn)之間的距離”和“點(diǎn)到直線的距離”.

2.3 圖式復(fù)習(xí)之通性通法——衍生等腰三角形問(wèn)題

(1)已知O(0，0)和A(0,2),在坐標(biāo)軸上求點(diǎn)B，使△OAB為等腰三角形.

(2)已知O(0，0)和A(1,2),在坐標(biāo)軸上求點(diǎn)B,使△OAB為等腰三角形.

(3)已知O(0,2)和A(2,0),在坐標(biāo)軸上求點(diǎn)B,使△OAB為等腰三角形.

(4)已知A(2，3)和B(-1，2),在坐標(biāo)軸上求點(diǎn)P,使△ABP為等腰三角形.

這里涉及到分類思想、方程思想、兩點(diǎn)之間距離、勾股定理、等腰三角形知識(shí)、中垂線知識(shí)、圓的知識(shí)等等.

對(duì)第(4)小題分析：因?yàn)檠偷撞淮_定，所以要對(duì)等腰三角形的邊分情況討論:

當(dāng)AB是底時(shí)——作線段AB的中垂線交x軸于點(diǎn)P5與y軸交點(diǎn)類似.

這道題目也可以以函數(shù)為背景構(gòu)造如下一些問(wèn)題：

(1)求線段OP的長(zhǎng)和tan∠POM的值；

(2)在y軸上找一點(diǎn)C，使△OCQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

圖17 圖18

例7如圖18，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3，0)和點(diǎn)B(2，0)．直線y=h(h為常數(shù)，0

(1)求拋物線的解析式.

(2)聯(lián)結(jié)BE，求h為何值時(shí)，△BDE的面積最大.

(3)已知一定點(diǎn)M(-2，0),問(wèn)：是否存在這樣的直線y=h，使△OMF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出h的值和點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

3 圖式復(fù)習(xí)教學(xué)給我們的思考

3.1 圖式復(fù)習(xí)應(yīng)該讓學(xué)生人人獲得發(fā)展

初中最后復(fù)習(xí)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)習(xí)成績(jī)已經(jīng)明顯分化了，優(yōu)等生“吃不飽”，中等生“夠不著”，后進(jìn)生“吃不了”的情況比較常見(jiàn).復(fù)習(xí)課教學(xué)，不只是相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的梳理和羅列，而是要圍繞教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)進(jìn)度安排，考慮學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)和能力水平，讓優(yōu)秀學(xué)生能力上獲得提高，中等生方法上有所啟迪，落后生在知識(shí)方面有所收獲.圖式復(fù)習(xí)教學(xué)中也要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生獲得求知的強(qiáng)大動(dòng)力，讓學(xué)生人人獲得發(fā)展.

3.2 圖式復(fù)習(xí)應(yīng)該讓教師分層設(shè)置目標(biāo)

教師應(yīng)為不同的學(xué)生設(shè)置相應(yīng)的學(xué)習(xí)目標(biāo)，復(fù)習(xí)課應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，由易到難，從具體到抽象，呈現(xiàn)給學(xué)生的問(wèn)題應(yīng)考慮不同學(xué)生的認(rèn)知水平，既要設(shè)計(jì)為后進(jìn)生作思路導(dǎo)引的問(wèn)題，又要設(shè)計(jì)為優(yōu)等生提供思維拓展的問(wèn)題，還要設(shè)計(jì)接近學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的問(wèn)題.圖式復(fù)習(xí)教學(xué)一定要激起學(xué)生的求知欲，使各個(gè)層次的學(xué)生都能獲得不同程度的發(fā)展.

3.3 圖式復(fù)習(xí)應(yīng)該激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程.圖式復(fù)習(xí)教學(xué)中教師應(yīng)該發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，問(wèn)在重點(diǎn)處，釋在疑點(diǎn)處，答在要害處，啟在不確定處，復(fù)習(xí)過(guò)程吸引所有學(xué)生都能主動(dòng)參與.留給學(xué)生思考的時(shí)間和空間，等待學(xué)生慢慢想明白，有時(shí)直接告訴解題方法或答案不一定能收到好的效果.問(wèn)題的設(shè)計(jì)讓學(xué)生有想象的空間、有變式的空間，體會(huì)思想方法，促進(jìn)學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí).

3.4 圖式復(fù)習(xí)應(yīng)該注重學(xué)生知識(shí)間的聯(lián)系

初中數(shù)學(xué)知識(shí)量大面廣，要求學(xué)生縱向掌握概念、定理、法則，橫向加強(qiáng)不同知識(shí)間的聯(lián)系，中考?jí)狠S題往往是不同知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用題.圖式復(fù)習(xí)教學(xué)在復(fù)習(xí)過(guò)程中，要求回顧不同知識(shí)點(diǎn)，將前后知識(shí)融會(huì)貫通.如初中代數(shù)中方程、不等式、函數(shù)這3塊知識(shí)點(diǎn)是彼此獨(dú)立的，借助圖像可以將函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，幫助學(xué)生形成直觀概念圖式，加深對(duì)各部分知識(shí)的理解和應(yīng)用，形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu).

3.5 圖式復(fù)習(xí)應(yīng)該努力滲透數(shù)學(xué)思想方法

從認(rèn)知的角度看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展變化過(guò)程，而圖式的形成和變化就是認(rèn)知發(fā)展的實(shí)質(zhì).教師通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)概念的抽象、概括和解題思路的分析、歸納，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的生成，并經(jīng)歷、體驗(yàn)和探索數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，指導(dǎo)他們形成數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、化歸等數(shù)學(xué)思想和解決問(wèn)題的方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)效果.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 皮亞杰,英海爾德.兒童心理學(xué)[M].吳福元,譯.北京:商務(wù)印書(shū)館，1980:5.

[2] 波利亞.怎樣解題:數(shù)學(xué)思維的新方法[M].涂弘,馮承天,譯.上海:上?？萍冀逃霭嫔?2011:6-7.

[3] 赫根漢,馬修,奧爾森.學(xué)習(xí)理論導(dǎo)論[M].郭本禹,崔光輝, 朱曉紅等,譯.上海:上海教育出版社,2011:249.

[4] 徐月霞.淺談提升初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效益的有效形式[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2012(4):70.

[5] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012:7.