劉斌彬

（福建工程學(xué)院 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，福建 福州 350108）

在少齒差行星齒輪傳動中，理論嚙合線附近的齒對齒廓面間的間隙γ非常小，若齒輪副受載較大而產(chǎn)生的較大的彈性變形時(shí)，間隙γ將消失，形成多對齒接觸共同承擔(dān)載荷的情況，齒輪副的實(shí)際承載能力提高.前蘇聯(lián)的YASTREBOV最早預(yù)言了上述現(xiàn)象，張文照等［1］通過對少齒差齒輪副進(jìn)行應(yīng)變試驗(yàn)確實(shí)觀測到了該現(xiàn)象，但并未給出載荷在各齒對間的分配比例計(jì)算方法.考慮到制造誤差相對上述間隙γ較大，若計(jì)入誤差，則間隙γ將發(fā)生不小的變化，齒輪副嚙合時(shí)實(shí)際同時(shí)接觸承載的齒對數(shù)將發(fā)生變化.黃霞等［2］通過多元回歸分析認(rèn)為齒輪的基節(jié)誤差是影響間隙γ的最重要因素.應(yīng)廣馳等［3］建立了多對齒嚙合時(shí)載荷分配的數(shù)學(xué)模型，但對誤差的處理只簡單校核單齒對嚙合時(shí)的彎曲靜強(qiáng)度.

因此，為充分發(fā)揮少齒差行星齒輪傳動應(yīng)有的承載能力，必須建立考慮基節(jié)誤差的載荷分配數(shù)學(xué)模型.

1 基節(jié)誤差及載荷分配數(shù)學(xué)模型

輪齒間的基節(jié)誤差服從正態(tài)分布［4］，且相互獨(dú)立.根據(jù)3σ準(zhǔn)則（σ代表標(biāo)準(zhǔn)差），可得基節(jié)誤差的期望μfpbi和標(biāo)準(zhǔn)差fpbi：

式中：fpb為基節(jié)極限偏差.

現(xiàn)將內(nèi)外齒輪中各輪齒及嚙合線附近的齒對按圖1所示進(jìn)行編號.各齒對編號為Lc（c＝0，1，2，…，n），處于理論嚙合線上的齒對為L0；內(nèi)齒輪各輪齒編號為i（圖中3≤i≤z2－3）（z2為內(nèi)齒輪齒數(shù)）；外齒輪各輪齒編號為j（3≤j≤z1－3）（z1為外齒輪齒數(shù)）；Lc，（i，j）表示由內(nèi)齒輪上輪齒i及外齒輪上齒輪j所構(gòu)成的齒對，編號為Lc.

圖1 少齒差齒輪副示意圖Fig.1 Schematic diagram of the small teeth difference planetary gear transmission

圖中ra2，ra1分別為內(nèi)外齒輪的齒頂圓半徑；rf2，rf1分別為內(nèi)外齒輪的齒根圓半徑；r2，r1分別為內(nèi)外齒輪的分度圓半徑；O2，O1分別為內(nèi)外齒輪的中心；a′為兩個齒輪的中心距.

基節(jié)誤差將導(dǎo)致各齒對Lc（c≠0）齒廓面間的相對位置發(fā)生改變，其變化量ec可以用式（2）計(jì)算［2］：

式中：Δfpb2，c，Δfpb1，c為 內(nèi) 外 齒 輪 相 應(yīng) 輪 齒 的 基 節(jié)誤差.

齒輪副受載產(chǎn)生彈性變形，根據(jù)相對運(yùn)動，若假定內(nèi)齒輪固定，外齒輪將產(chǎn)生逆行星輪自轉(zhuǎn)方向的附加轉(zhuǎn)角θc.若彈性變形足夠，轉(zhuǎn)角θc將填補(bǔ)原有齒廓工作面間的理論間隙角φc、由彈性變形所引起的轉(zhuǎn)角φδc及齒廓面間位置偏差ec引起的轉(zhuǎn)角φec，即：

其中，彈性變形所引起的轉(zhuǎn)角φδc可由下式計(jì)算得到：

式中：Fc，kc分別為齒對Lc所承擔(dān)的法向載荷和法向剛度；B為齒輪的接觸寬度；rb1為外齒輪的基圓半徑.

位置偏差ec引起的轉(zhuǎn)角φec為

對于外齒輪，應(yīng)有：

將式（3）—（5）代入式（6）并化簡，得：

注意到齒輪副承擔(dān)的總載荷F應(yīng)為各齒對承受的載荷Fc之和，即

將式（7）與式（8）聯(lián)立，即得：

求解該矩陣方程即得齒輪副在某時(shí)刻嚙合時(shí)同時(shí)接觸承載的齒對數(shù)n以及載荷在各接觸齒對間的分配情況.引入彈性載荷比例系數(shù)Kc，（i，j）來反映接觸齒對Lc，（i，j）實(shí)際所承擔(dān)載荷的比例：

為驗(yàn)證該模型的正確性，現(xiàn)以某參數(shù)齒輪副為例，參數(shù)見表1，加工精度為7級，建立有限元模型［5］如圖2，分別對大量不同的誤差組通過有限元模型以及式（9）分別進(jìn)行計(jì)算，圖3所示為其中的8組誤差的計(jì)算結(jié)果.

從圖3可以看出，在不同誤差作用下，無論是同時(shí)接觸承載的齒對數(shù)n還是載荷在各齒對間的分配情況，兩模型相差不大，表明本文所建立的載荷分配數(shù)學(xué)模型具有較高的可靠性.

表1 某少齒差齒輪副主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of a small teeth difference planetary gear

圖2 齒輪副嚙合有限元模型Fig.2 Finite element model of a small teeth difference planetary gear transmission

圖3 有限元模型與數(shù)值模型對應(yīng)齒輪副承載情況Fig.3 Bearing situation of Gear pair in finite element model and mathematical model

2 用蒙特卡羅方法分析基節(jié)誤差

基節(jié)誤差屬于隨機(jī)制造誤差，為分析其對某參數(shù)齒輪副承載時(shí)同時(shí)嚙合齒對數(shù)及載荷在各嚙合齒對間分配情況的影響，必須對大量不同的隨機(jī)誤差進(jìn)行計(jì)算并統(tǒng)計(jì)，為此可引入蒙特卡羅（MC）方法.MC法即統(tǒng)計(jì)模擬方法，即對已知的數(shù)學(xué)模型的有關(guān)變量按其概率分布進(jìn)行抽樣計(jì)算并統(tǒng)計(jì)結(jié)果，隨機(jī)樣本越多，結(jié)果越準(zhǔn)確［6］.

圖4 MC法流程圖Fig.4 Flowchart of Monte Carlo method

2.1 單個齒輪副的嚙合情況分析

式中：j為外齒輪輪齒編號；Δz為內(nèi)外齒輪齒數(shù)差.

圖5 內(nèi)齒輪嚙合情況分析流程圖Fig.5 Analysis flowchart of gear pair meshing

式中：u是材料指數(shù).

2.2 大量齒輪副的分析

采用上述的算法，遍歷大量具有隨機(jī)分布基節(jié)誤差的齒輪副an，對其進(jìn)行分析，計(jì)算各齒輪副的當(dāng)量載荷系數(shù)K（a1）eq，K（a2）eq，…，K（an）eq，而后對這些數(shù)值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到其概率曲線，設(shè)計(jì)時(shí)按可靠度代入齒根彎曲應(yīng)力計(jì)算公式中.

3 實(shí)例

以某少齒差行星齒輪減速器為例進(jìn)行說明，通過MATLAB軟件生成2500對具有隨機(jī)分布基節(jié)誤差的齒輪副，圖6為某齒輪副a內(nèi)外齒輪各齒基節(jié)誤差的具體數(shù)值.

圖6 某齒輪副a的基節(jié)誤差分布圖Fig.6 Base section error distribution of one gear pair

通過圖4所示的算法對2 500對齒輪副進(jìn)行計(jì)算并統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如圖7，8所示，其中KPeq，max為內(nèi)外齒輪相應(yīng)的最大當(dāng)量載荷系數(shù).

圖7 齒輪副K（a）eq的分布直方圖Fig.7 K（a）eq distribution histogram of gear pairs

圖8表明，可靠度為99%的設(shè)計(jì)當(dāng)量載荷系數(shù)K（a）eq為86.53%，即該參數(shù)齒輪副在嚙合時(shí)理論嚙合輪齒L0實(shí)際承擔(dān)的載荷占總載荷的比例可按85.83%等效計(jì)算.而在不考慮基節(jié)誤差的情況下，該值僅為49.53%，可見基節(jié)誤差對齒輪對實(shí)際承擔(dān)載荷的影響很大.實(shí)際嚙合過程可能出現(xiàn)兩種極端：①少數(shù)輪齒誤差較大使得各輪齒間隙加大，嚙合時(shí)出現(xiàn)單齒對完全承載，圖9為某誤差下的有限元仿真結(jié)果，可以看到載荷僅由一對齒輪承擔(dān)；②誤差抵消了部分齒廓間隙，齒廓間隙減小，同時(shí)接觸的齒對數(shù)增加.圖10為某誤差下的有限元仿真結(jié)果，可以看到出現(xiàn)5對齒同時(shí)接觸承載.

圖8 齒輪副K（a）eq的概率曲線Fig.8 K（a）eq probability curve of gear pairs

圖9 單對齒嚙合承載的情況Fig.9 Situation of bearing load by a single pair of teeth

圖10 5對齒接觸承載的情況Fig.10 Situation of bearing load by five pairs of teeth

4 結(jié)論

本文建立了考慮基節(jié)誤差的載荷分配數(shù)學(xué)模型并通過有限元仿真驗(yàn)證了該模型的正確性；將蒙特卡羅方法引入到載荷分配模型中分析了基節(jié)誤差對少齒差行星齒輪嚙合情況的影響，并給出了分析的流程和算法.結(jié)果表明：計(jì)入基節(jié)誤差后少齒差行星齒輪傳動的實(shí)際承載能力將較理想情況有一定的下降，故應(yīng)考慮基節(jié)誤差的影響.

［1］張文照，王光華.漸開線少齒差內(nèi)嚙合同時(shí)接觸齒數(shù)研究及實(shí)際重合度的一種計(jì)算方法［J］.上?；W(xué)院學(xué)報(bào)，1980（1）：92－100.

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