魏建杰，湯 潔，石照耀

(北京工業(yè)大學(xué) 北京市精密測控技術(shù)與儀器工程技術(shù)研究中心，北京 100124)

0 引 言

齒輪作為機(jī)械裝備中的關(guān)鍵零部件，其質(zhì)量對機(jī)械裝備的性能起著重要作用。用于描述齒輪質(zhì)量高低的齒輪精度指標(biāo)的定義及評定，需符合齒輪精度標(biāo)準(zhǔn)中的規(guī)定。ISO1328-1是最為核心的一項(xiàng)齒輪精度國際標(biāo)準(zhǔn)之一，目前發(fā)布的是其2013版。ISO1328-1:2013[1]，由ISO TC60的WG2承擔(dān)制定任務(wù)，北京工業(yè)大學(xué)石照耀教授[2]作為TC60中方唯一代表全程參與了其修訂。

齒廓偏差是重要的齒輪單項(xiàng)偏差精度指標(biāo)，包括齒廓總偏差、齒廓形狀偏差、齒廓傾斜偏差。ISO1328-1的2013版相對于其前一版本1995版[3-4]，對齒輪單項(xiàng)偏差的定義和評定方法作了修訂。齒輪工程領(lǐng)域中，設(shè)計(jì)、制造和相關(guān)應(yīng)用的工程技術(shù)人員，齒輪測量原理、技術(shù)及儀器的研究者和設(shè)計(jì)者，都會密切關(guān)注齒廓偏差相關(guān)的各項(xiàng)定義和評定方法。

本文主要研究ISO1328-1:2013中的齒廓偏差定義及評定方法，設(shè)計(jì)評定流程、并開發(fā)齒廓偏差評定軟件實(shí)施齒廓偏差評定過程。

1 齒廓偏差定義及評定方法

1.1 相關(guān)定義

圓柱齒輪精度國際標(biāo)準(zhǔn)ISO 1328-1:2013(下文簡稱“標(biāo)準(zhǔn)”)中，給出了齒廓偏差各項(xiàng)指標(biāo)的定義和評定方法，包括齒廓總偏差(profile deviation, total,Fα)、齒廓形狀偏差(profile form deviation,Ffα)、齒廓傾斜偏差(profile slope deviation,FHα)。在齒廓偏差的測量與評定中，與齒廓偏差評定相關(guān)的重要基本概念也應(yīng)依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)定義嚴(yán)格執(zhí)行(此處不在贅述)，包括：設(shè)計(jì)齒廓(design profile)、平均齒廓線(mean profile line)、齒廓控制直徑(profile control diameter,dcf)、齒頂成形圓直徑(tip form diameter,dFa)、嚙合線長度(length of path contact,ga)。

“標(biāo)準(zhǔn)”中給出了外齒輪副嚙合線和各個(gè)參考圓的示意圖，以及未修形漸開線齒廓、壓力角修形齒廓、鼓形齒修形齒廓、齒頂修形齒廓、齒頂和齒根修形齒廓的齒廓偏差評定示意圖。“標(biāo)準(zhǔn)”中針對減薄區(qū)內(nèi)的偏差值，規(guī)定在計(jì)算齒廓總偏差和齒廓形狀偏差時(shí)，正偏差必須計(jì)入總偏差值中，負(fù)偏差可以忽略不計(jì)。

1.1.1 齒廓總偏差

齒廓總偏差是在齒廓計(jì)值長度Lα內(nèi)，包容被測齒廓的兩條設(shè)計(jì)齒廓間的距離。

1.1.2 齒廓形狀偏差

齒廓形狀偏差是在齒廓計(jì)值長度Lα內(nèi)，包容被測齒廓的兩條平均齒廓線間的距離。

1.1.3 齒廓傾斜偏差

齒廓形狀偏差是指以齒廓控制圓直徑dCf為起點(diǎn)，以平均齒廓線的延長線與齒頂圓直徑da的交點(diǎn)為終點(diǎn)，與這兩點(diǎn)相交的兩條設(shè)計(jì)齒廓間的距離。

1.2 偏差評定方法

根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)”，本文對齒廓偏差進(jìn)行評定。

齒廓偏差評定如圖1所示。

圖1 齒廓偏差評定

設(shè)計(jì)齒廓為一條理想漸開線。對于實(shí)際齒廓上的任意測量點(diǎn)(xj,yj)，根據(jù)漸開線原理[5]，計(jì)算該點(diǎn)對應(yīng)的展角ξj為：

(1)

根據(jù)設(shè)計(jì)齒廓的方程，得到對應(yīng)展角的設(shè)計(jì)齒廓點(diǎn)的坐標(biāo)(xj,yj)為：

(2)

式中：rb—基圓半徑，mm；ξj—漸開線展角，rad。

將設(shè)計(jì)齒廓繞著工件坐標(biāo)系原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使設(shè)計(jì)齒廓依次通過實(shí)際齒廓的各個(gè)測量點(diǎn)。設(shè)計(jì)齒廓通過每個(gè)測量點(diǎn)時(shí)的轉(zhuǎn)角γj(rad)為：

(3)

各測量點(diǎn)的齒廓偏差值的集合Ej為：

Ej=γj·rb

(4)

此時(shí)每個(gè)測量點(diǎn)對應(yīng)的展開長度Lj為：

(5)

“標(biāo)準(zhǔn)”中規(guī)定，對計(jì)值范圍Lα內(nèi)的坐標(biāo)點(diǎn)集合{(Lj,Ej)}進(jìn)行齒廓偏差評定，其中，j=1，2……n，n—集合{(Lj,Ej)}中的測量點(diǎn)數(shù)。對其進(jìn)行最小二乘中線擬合，可得到方程：

yHj=kLj+b

(6)

根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)”中齒廓總偏差Fα、齒廓形狀偏差ffa和齒廓傾斜偏差fHα的定義，得到各齒廓偏差計(jì)算式。

(1)減薄區(qū)內(nèi)無正偏差時(shí)：

Fa=max(Ej)-min(Ej)

(7)

ffα=|max(Ej-yHj)-min(Ej-yHj)|

(8)

(2)減薄區(qū)內(nèi)有正偏差時(shí)：

(9)

(10)

(11)

“標(biāo)準(zhǔn)”中5.3.3小節(jié)給出了各項(xiàng)齒廓偏差的公差數(shù)值計(jì)算公式，因而，本文不再給出齒廓偏差公差允許值的數(shù)值列表。

1.3 數(shù)值舍入原則

齒廓偏差評定計(jì)算結(jié)果的數(shù)值或齒廓公差計(jì)算數(shù)值應(yīng)按以下舍入原則進(jìn)行取整：

(1)如果數(shù)值大于10 μm，則圓整至最接近的整數(shù)微米；

(2)如果數(shù)值大于5.0 μm但小于或等于10 μm，則精確到0.5 μm；

(3)如果數(shù)值小于5.0 μm，則精確到0.1 μm；

(4)如果測量儀器的讀數(shù)為英制英寸，則計(jì)算出的數(shù)值應(yīng)轉(zhuǎn)換為千分之一英寸，然后按照微米規(guī)則進(jìn)行四舍五入(即用“千分之一英寸”用于上述規(guī)則中的“微米”)。

2 齒廓偏差評定中的難點(diǎn)

2.1 齒廓計(jì)值范圍和計(jì)值長度

“標(biāo)準(zhǔn)”中，齒廓計(jì)值范圍(profile evaluation range)定義為：測量齒廓從齒廓控制直徑dCf開始，除非另有說明，結(jié)束于齒頂成形圓直徑dFa的長度的95%。齒廓計(jì)值長度(profile evaluation length,Lα)定義為：齒廓計(jì)值范圍的展開長度。齒廓偏差評定中的特征點(diǎn)包括：齒廓控制點(diǎn)Cf、齒廓控制直徑dCf、齒頂成形點(diǎn)Fa、齒頂成形圓直徑dFa。

齒廓成形圓直徑dFa為齒頂直徑減去齒頂?shù)菇前霃交虻估獾膬杀?，若齒頂沒有倒角或倒棱，則齒廓成形圓直徑為齒頂圓直徑。

齒廓控制直徑dCf指齒廓評定開始的直徑，界定了齒廓計(jì)值范圍的起始點(diǎn)。如果未指定，則使用有效齒廓直徑dNf作為齒廓控制直徑，即以齒輪嚙合的起始點(diǎn)作為齒廓計(jì)值范圍的起始點(diǎn)[6-8]。

齒廓計(jì)值范圍如圖2所示。

圖2 齒廓計(jì)值范圍

在未指定齒廓控制直徑dCf時(shí)，可由有效齒廓起始點(diǎn)Nf界定，按以下步驟展開計(jì)算。

(1)已知配對齒輪參數(shù)時(shí)，被測齒輪與配對齒輪嚙合如圖3所示。

圖3 被測齒輪與配對齒輪嚙合

“1”是被測齒輪，“2”是配對齒輪。計(jì)算有效齒廓起始點(diǎn)Nf的展開長度為：

(12)

(2)在未知配對齒輪參數(shù)時(shí)，按照與標(biāo)準(zhǔn)齒條[9]嚙合，計(jì)算有效齒廓起始點(diǎn)Nf的展開長度為：

(13)

被測齒頂成形圓對應(yīng)的展開長度為：

(14)

根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)”，計(jì)算齒廓計(jì)值長度：

Lα=95%(LFa-LNf)

(15)

其中：

rFa1=ra1-hk1

(16)

rFa2=ra2-hk2

(17)

x2)/(z1+z2)tan(α)+inv(α)；Z1—被測齒輪的齒數(shù)；Z2—配對齒輪的齒數(shù)；α—分度圓壓力角。

2.2 平均齒廓線擬合

根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)”中對平均齒廓的定義，在評定坐標(biāo)系中，平均齒廓線即為采用最小二乘擬合法將橫坐標(biāo)為漸開線的展長L，縱坐標(biāo)為設(shè)計(jì)齒廓與實(shí)際齒廓在齒廓法線方向的偏差值E擬合而成的直線。

根據(jù)最小二乘擬合原理，對計(jì)值范圍內(nèi)的集合{(Lj,Ej)}進(jìn)行直線擬合，n為測量點(diǎn)個(gè)數(shù)，其中，j∈(1,n)。

設(shè)擬合后的直線方程為yHj=kLj+b，為使約束條件達(dá)到極小，則有：

(18)

可得到正規(guī)方程組為：

(19)

可表示為矩陣形式：

(20)

求解得到：

yHj=kLj+b

(21)

平均齒廓線是通過將齒廓偏差的最小二乘中線的縱坐標(biāo)與設(shè)計(jì)齒廓的縱坐標(biāo)相加而得到的。根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)”中齒廓偏差的定義，平均齒廓線用于確定ffα和fHα，詳見式(7～10)。

2.3 齒廓偏差測量數(shù)據(jù)濾波

根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)”中齒廓偏差評定的相關(guān)規(guī)定，齒廓偏差的原始數(shù)據(jù)中包含大量高斯噪聲，要想得到齒廓偏差曲線，首先要對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行50%傳輸特性的高斯低通濾波處理。高斯低通濾波器的截止波長λC范圍為：

(22)

對于開環(huán)輪廓[10-12]，高斯低通濾波等效于應(yīng)用高斯模板對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行的加權(quán)平均，開環(huán)輪廓的邊緣采用補(bǔ)零的方法進(jìn)行處理。高斯模板為：

(23)

3 齒廓偏差評定軟件

本文根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)”進(jìn)行齒廓偏差評定?？紤]到平均齒廓需根據(jù)計(jì)值范圍內(nèi)的齒廓偏差進(jìn)行最小二乘擬合得到，而計(jì)算齒廓總偏差和齒廓形狀偏差時(shí)，需判斷減薄區(qū)內(nèi)是否存在正偏差，因此，本文對計(jì)值范圍和減薄區(qū)內(nèi)的齒廓測量點(diǎn)分別進(jìn)行篩選。

齒廓偏差評定流程如圖4所示。

圖4 齒廓偏差評定流程

根據(jù)上述齒廓偏差評定方法，本文采用Matlab進(jìn)行軟件編程，對齒廓測量數(shù)據(jù)進(jìn)行齒廓偏差評定，并對齒廓偏差評定相關(guān)參數(shù)及評定結(jié)果進(jìn)行顯示。

軟件共分為4個(gè)模塊：(1)參數(shù)輸入模塊；(2)參數(shù)計(jì)算模塊；(3)評定曲線顯示模塊；(4)評定結(jié)果顯示模塊。

4 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

被測齒輪為漸開線圓柱直齒輪，其齒輪參數(shù)如表1所示。

表1 被測齒輪參數(shù)

被測齒輪的配對齒輪參數(shù)為：模數(shù)3.5 mm，齒數(shù)20，壓力角20°，齒頂無倒角或倒棱，進(jìn)行評定參數(shù)計(jì)算；若配對齒輪參數(shù)不輸入，則默認(rèn)為按照配對齒條進(jìn)行計(jì)算。以上相關(guān)參數(shù)輸入軟件界面。

被測齒輪的齒廓測量數(shù)據(jù)在齒輪測量中心上進(jìn)行測量獲得。

其中，部分齒輪測量數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 部分齒輪測量數(shù)據(jù)

X，Y，Z，C—齒輪測量中心的3個(gè)坐標(biāo)軸和回轉(zhuǎn)軸讀數(shù)

按本文2.1中，被測齒輪與其配對齒輪嚙合進(jìn)行參數(shù)計(jì)算，得到計(jì)值范圍起點(diǎn)的展開長度La為13.504 3 mm，齒廓計(jì)值長度為14.888 9 mm。齒輪測量中心得到計(jì)值范圍La為14.418 7 mm(依據(jù)ISO 1328-1:1995)。

根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)”中對于高斯低通濾波器的規(guī)定，選取截止波長約為0.480 6 mm，對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理。

高斯濾波結(jié)果如圖5所示。

圖5 高斯濾波結(jié)果

本文將被測齒輪上的4個(gè)同側(cè)齒廓測量得到的4組測量數(shù)據(jù)，輸入被測齒輪和配對齒輪參數(shù)，進(jìn)行齒廓偏差評定。

齒廓偏差評定界面如圖6所示。

圖6 齒廓偏差評定界面

齒輪測量中心的評定結(jié)果如表3所示。

本文評定結(jié)果如表4所示。

表4中，將基于ISO1328-1:2013的齒廓偏差評定結(jié)果，與表3中的齒輪測量中心(依據(jù)ISO 1328-1:

表3 齒輪測量中心評定結(jié)果(依據(jù)ISO 1328-1:1995)

表4 本文評定結(jié)果(依據(jù)ISO 1328-1:2013)

1995)評定結(jié)果進(jìn)行對比，可以得到以下結(jié)果：

(1)對于齒廓總偏差，由于計(jì)值范圍增大，在取小數(shù)點(diǎn)后一位精度的情況下，2013版齒廓偏差評定結(jié)果稍大于1995版的評定結(jié)果；

(2)對于齒廓傾斜偏差，由于評定的終點(diǎn)延長至齒頂圓直徑位置，2013版的齒廓傾斜偏差評定結(jié)果的絕對值均大于1995版評定結(jié)果；

(3)兩個(gè)版本的齒廓形狀偏差的評定結(jié)果一致；

(4)對于該試件，齒輪評定精度等級均為6級。

5 結(jié)束語

圓柱齒輪精度國際標(biāo)準(zhǔn)ISO1328-1：2013相對于其前一版本1995版作了大量修訂。依據(jù)ISO1328-1：2013中的齒輪齒廓偏差的定義及評定方法，本文給出了齒廓偏差評值的具體計(jì)算公式，并針對齒廓偏差評定中的難點(diǎn)，給出了求解方法，包括：齒廓計(jì)值范圍和齒廓計(jì)值長度、平均齒廓線擬合、齒廓偏差測量數(shù)據(jù)濾波。

本文設(shè)計(jì)了ISO1328-1：2013齒廓偏差評定流程，開發(fā)了齒廓偏差評定軟件，并進(jìn)行了齒廓實(shí)測數(shù)據(jù)的齒廓偏差評定結(jié)果的對比。

本文給出的齒輪齒廓偏差評定方法及軟件，對于應(yīng)用ISO1328-1:2013進(jìn)行齒廓偏差評定，可提供一定的參考。