鄭耿峰

(福建省特種設(shè)備檢驗(yàn)研究院，福建 福州 350008)

0 引 言

移動(dòng)機(jī)械臂通常由移動(dòng)平臺(tái)和機(jī)械臂構(gòu)成。對(duì)于非完整移動(dòng)機(jī)械臂，其移動(dòng)平臺(tái)受非完整約束，所以移動(dòng)機(jī)械臂是非完整系統(tǒng)[1]。移動(dòng)機(jī)械臂既具有移動(dòng)平臺(tái)的機(jī)動(dòng)性，又具有機(jī)械臂的操作靈活性，因此其應(yīng)用前景廣闊[2-3]。

由于系統(tǒng)的高度非線(xiàn)性和強(qiáng)耦合性，并且在實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)會(huì)受到外界干擾及參數(shù)不確定的影響，給系統(tǒng)的控制帶來(lái)困難。從控制目標(biāo)的角度，移動(dòng)機(jī)械臂的控制主要可分為軌跡跟蹤和點(diǎn)鎮(zhèn)定兩類(lèi)。其中，軌跡跟蹤最具有實(shí)際意義，因而得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的十分關(guān)注。文獻(xiàn)[4]研究移動(dòng)機(jī)械臂末端與地面接觸時(shí)的狀態(tài)鎮(zhèn)定，給出了避免翻車(chē)的控制策略；文獻(xiàn)[5]基于微分平坦方法動(dòng)態(tài)規(guī)劃運(yùn)動(dòng)軌跡，實(shí)現(xiàn)了移動(dòng)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)軌跡跟蹤；文獻(xiàn)[6]將移動(dòng)機(jī)械臂分解為輪式移動(dòng)平臺(tái)和兩連桿平面移動(dòng)機(jī)械臂兩部分，獨(dú)立設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器。

上述研究?jī)H考慮了系統(tǒng)的理想模型，但在系統(tǒng)受到外界干擾或精度要求較高的場(chǎng)合，其適用性有限。近年來(lái)，包含不確定性的移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)軌跡跟蹤控制問(wèn)題成為研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[7]基于滑?？刂?，設(shè)計(jì)了可變性輪式移動(dòng)機(jī)械臂的魯棒姿態(tài)鎮(zhèn)定控制器；文獻(xiàn)[8]針對(duì)存在不確定性和干擾的全向輪式移動(dòng)機(jī)械臂，提出了基于魯棒神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滑模軌跡跟蹤控制器；文獻(xiàn)[9]提出了采用一種自適應(yīng)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)軌跡控制器，處理未建模的移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)；陳杰等[10]設(shè)計(jì)了一種結(jié)合模糊控制和非奇異終端滑模控制的六軸臂履帶式移動(dòng)機(jī)械臂軌跡跟蹤控制器；董玉明等[11]研究了非完整移動(dòng)機(jī)械臂的自適應(yīng)滑模軌跡跟蹤控制，且不需要不確定性的上界信息。

本文針對(duì)包含動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)不確定性的雙獨(dú)立驅(qū)動(dòng)四輪兩連桿移動(dòng)機(jī)械臂，提出一種結(jié)合自適應(yīng)模糊控制和滑?？刂频能壽E跟蹤控制器。

1 移動(dòng)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型

典型的移動(dòng)機(jī)械臂由四輪非完整移動(dòng)平臺(tái)和二連桿機(jī)械臂構(gòu)成，后兩輪采用獨(dú)立執(zhí)行器驅(qū)動(dòng)，同側(cè)兩輪通過(guò)內(nèi)部連接可同步轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖1所示。

圖1 四輪二連桿移動(dòng)機(jī)械臂

根據(jù)拉格朗日方程和羅茲動(dòng)力學(xué)方程，并考慮移動(dòng)平臺(tái)與連桿之間的耦合關(guān)系，可得其運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程[12]：

(1)

(2)

為了消除式(2)中的拉格朗日乘子項(xiàng)約束力項(xiàng)，考慮非完整輪式移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)的零空間特性，有：

A(q)S(q)=0

(3)

(4)

(5)

2 控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

本文設(shè)計(jì)模糊自適應(yīng)滑?？刂破?，使得移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)可跟蹤給定的期望軌跡，消除系統(tǒng)不確定性的影響。

控制器結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 控制器結(jié)構(gòu)圖

借助于Lyapunov穩(wěn)定性分析框架和反演設(shè)計(jì)方法，本文控制器設(shè)計(jì)按以下步驟進(jìn)行。

首先將跟蹤誤差定義為：

e1=x1-r

(6)

式中：r—給定參考軌跡。

定義虛擬控制量為：

(7)

式中：c1—對(duì)角正定常數(shù)矩陣，c1∈R4×4。

定義虛擬誤差為：

e2=x2-α

(8)

選擇正定Lyapunuv函數(shù)為：

(9)

對(duì)式(9)求導(dǎo)，并將式(6～8)代入可得：

(10)

模糊邏輯控制系統(tǒng)是由模糊化、模糊規(guī)則庫(kù)、模糊推理機(jī)制和反模糊化4部分組成，其中，模糊系統(tǒng)的規(guī)則用如下If-then語(yǔ)句來(lái)描述：

采用乘積推理機(jī)、單值模糊器和中心平均解模糊器，則模糊系統(tǒng)的輸出為：

(11)

式(11)可改寫(xiě)為：

F(x)=ξTθ

(12)

向量ζ的第i個(gè)元素為：

(13)

定義最優(yōu)參數(shù)為：

θ*=argmin[sup|f*(x)-F*|]

(14)

式中：F*—待逼近函數(shù)。

定義最小逼近誤差為：

(15)

本文使用自適應(yīng)律來(lái)確定一個(gè)調(diào)節(jié)機(jī)理，讓參數(shù)誤差絕對(duì)值達(dá)到最小，從而減小逼近誤差，即：

(16)

進(jìn)一步引入滑模控制，定義正定Lyapunuv函數(shù)為：

(17)

式中：βi—正的常數(shù)；s—滑模面。

s定義為：

s=λe1+e2

(18)

式中：λ—正定常數(shù)矩陣，λ∈R4×4。

對(duì)式(18)求導(dǎo)，并將式(5)代入得：

(19)

由性質(zhì)1和性質(zhì)2可知：

(20)

(21)

對(duì)式(17)求導(dǎo)，并將式(16，19～21)代入可得：

(22)

其中：

(23)

將模糊系統(tǒng)逼近項(xiàng)式(15)，并代入式(22)有：

(24)

ε=[ε1ε2ε3ε4]T。

假設(shè)1：|ε1|≤Ω，Ω為正的常數(shù)。設(shè)計(jì)模糊系統(tǒng)參數(shù)自適應(yīng)律如下：

(25)

為了減小滑模抖振現(xiàn)象，使用指數(shù)趨近律，即：

(26)

式中：ρ，k—正常數(shù)對(duì)角矩陣。

設(shè)計(jì)模糊滑?？刂破鳛椋?/p>

(27)

定理：對(duì)于給定不確定非完整移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)(5)，滿(mǎn)足假設(shè)1條件下，則控制器(27)和自適應(yīng)律(26)可以使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證明：將求導(dǎo)后的式(16，26)代入式(24)，可得到：

(28)

合理選取ki，使得：

ki≥Ω

(29)

(30)

由此可見(jiàn)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。進(jìn)一步分析其漸進(jìn)穩(wěn)定性，定義新項(xiàng)為：

(31)

由式(18)可知，s的值完全由e1和e2決定，于是有：

(32)

(33)

由式(17)可知，V2(e1(0),e2(0))為有界，V2(e1(t),e2(t))為有界非增，因此有：

(34)

(35)

式(35)表明，閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)收斂的。由e1定義可得，x1將漸近收斂到期望軌跡r。

經(jīng)過(guò)模糊系統(tǒng)逼近總體不確定項(xiàng)后，逼近誤差已經(jīng)較小，因此假設(shè)1的條件并不苛刻。而通過(guò)設(shè)計(jì)足夠多規(guī)則的模糊系統(tǒng)(即N足夠大)，可使得逼近誤差εi充分小，因此，很容易選擇滿(mǎn)足式(29)的ki值。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

本文采用Matlab/Simulink，對(duì)圖1的移動(dòng)機(jī)械臂進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

仿真實(shí)驗(yàn)Simulink主程序如圖3所示。

圖3 仿真實(shí)驗(yàn)simulink主程序

圖3中，主程序先由s函數(shù)msfuntmpl1輸出參考軌跡u，并將數(shù)據(jù)存于工作空間中的變量t1中，然后將參考軌跡和移動(dòng)機(jī)械臂的當(dāng)前位置，輸入到模糊控制s函數(shù)msfuntmpl2中；s函數(shù)輸出的控制力矩被保存于工作空間中的變量t2中，并將控制力矩作為被控對(duì)象s函數(shù)msfuntmpl3的輸入，最終s函數(shù)將輸出移動(dòng)機(jī)械臂的速度信息，并將數(shù)據(jù)存于工作空間中的變量t3中；對(duì)移動(dòng)機(jī)械臂的速度信息作積分，可以得到其位置信息，并將其保存于工作空間中的變量t4中；最后綜合工作空間數(shù)據(jù)，求取軌跡跟蹤誤差、控制力矩輸入和自適應(yīng)模糊控制輸出等。動(dòng)力學(xué)模型中各個(gè)矩陣與文獻(xiàn)[13]中的定義相同。

在仿真實(shí)驗(yàn)中，取參考軌跡為：xcd=0.2t，ycd=0.05sin(2t)+0.2t；xAd=0.2t，yAd=0.1sin(2t)+0.2t+0.15。

假設(shè)總體的不確定性為：

移動(dòng)機(jī)械臂初始位姿?。?/p>

移動(dòng)機(jī)械臂的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 移動(dòng)機(jī)械臂結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)置

模糊自適應(yīng)滑?？刂破鲄?shù)?。害?diag(14,14,14,14)，ρ=diag(8,8,8,8)，c1=diag(4,4,4,4)，βi=50，ki=20。

定義模糊系統(tǒng)的輸入、輸出的模糊集合均為{NB, NS,ZO,PS,PB}，對(duì)應(yīng)的模糊變量分別為{負(fù)大，負(fù)小，零，正小，正大}。各模糊集合對(duì)應(yīng)的隸屬函數(shù)分別為：

本文首先使用不包含模糊系統(tǒng)的滑?？刂破鬟M(jìn)行軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)。僅滑模控制器的軌跡跟蹤情況如圖4所示。

圖4 僅滑模控制器的軌跡跟蹤情況

由圖4知，一般滑?？刂破鳠o(wú)法完全消除系統(tǒng)不確定性帶來(lái)的不利影響，因此軌跡跟蹤誤差較大。

文中控制器軌跡跟蹤情況如圖5所示。

圖5 本研究中控制器軌跡跟蹤情況

由圖5知：控制器取得了較好的控制效果，移動(dòng)機(jī)械臂的姿態(tài)跟蹤誤差較小，且響應(yīng)速度快，控制輸入變化也較為平穩(wěn)。可見(jiàn)，通過(guò)將自適應(yīng)模糊補(bǔ)償和滑模魯棒抑制相結(jié)合，可以有效抵御系統(tǒng)復(fù)雜時(shí)變動(dòng)力學(xué)參數(shù)不確定性和外界干擾，提高移動(dòng)機(jī)械臂在復(fù)雜環(huán)境下的應(yīng)用能力。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)由四輪移動(dòng)平臺(tái)和二連桿機(jī)械臂構(gòu)成的非完整系統(tǒng)，考慮其動(dòng)力系統(tǒng)模型不確定性和外界擾動(dòng)，本文設(shè)計(jì)了基于反演法且聯(lián)合滑模控制、自適應(yīng)模糊控制的復(fù)合控制器。該控制器利用自適應(yīng)模糊控制最優(yōu)逼近系統(tǒng)未知不確定性，采用滑?？刂茖?duì)逼近誤差進(jìn)行進(jìn)一步抑制，提高了系統(tǒng)受復(fù)雜不確定性影響下的控制性能。

仿真結(jié)果表明：與常規(guī)魯棒控制器相比，在存在復(fù)雜時(shí)變多變量不確定性時(shí)，該控制器仍能精確地跟蹤參考軌跡，且控制輸入平穩(wěn)、響應(yīng)速度快、魯棒性好和適應(yīng)性強(qiáng)，可以滿(mǎn)足復(fù)雜場(chǎng)合下移動(dòng)機(jī)械臂的軌跡跟蹤應(yīng)用需求。