白振宇

(天津大學(xué)系統(tǒng)工程研究所，天津300072)

在傳統(tǒng)的易逝品庫存管理模型中，許多文獻(xiàn)都假定產(chǎn)品的易逝率是常數(shù)或隨時間變化，即把易逝率看作一個外生變量而不受控制，如WEE［1］、WU［2］、HUNG［3］、SARKAR［4］等。而實(shí)際上，某些冷凍食品，如藥品、鮮奶、水果、蔬菜和面包等具有較高的變質(zhì)率或易逝率的產(chǎn)品，它們的易逝率往往受倉儲環(huán)境和倉儲技術(shù)的影響。企業(yè)為提高收益可以采取一些措施，如進(jìn)行流程控制、專業(yè)設(shè)備改造等來改善倉儲環(huán)境和倉儲技術(shù)，以降低產(chǎn)品的易逝率。

近年來，在易逝品庫存管理模型中同時考慮投資改善倉儲技術(shù)有了一定的研究。HSU等［5］首先研究了零售商投資改善倉儲技術(shù)來降低易逝率的易逝品庫存控制模型并假設(shè)需求為常數(shù)。DYE等［6］在 HSU的基礎(chǔ)上，研究了一個易逝率隨時間變化、市場需求為常數(shù)并且考慮缺貨的庫存控制模型，以最大化企業(yè)的利潤為目標(biāo)，尋求最優(yōu)的倉儲技術(shù)投資和補(bǔ)貨周期。LEE等［7］探討了一種市場需求依賴于庫存水平的易逝品庫存模型，該模型考慮倉儲技術(shù)投資作為決策變量，并假設(shè)允許缺貨和部分累積，其中缺貨累積量依賴于下一補(bǔ)貨周期的長度。DYE［8］考慮了一個非即時衰減的易逝品庫存控制模型，假設(shè)市場需求為常數(shù)、缺貨率隨時間變化，證明了最優(yōu)倉儲技術(shù)投資策略的存在性。

上述研究僅考慮了供應(yīng)鏈中某個節(jié)點(diǎn)企業(yè)關(guān)于倉儲技術(shù)投資的最優(yōu)策略，而沒有考慮在供應(yīng)鏈環(huán)境下各方關(guān)于易逝品倉儲技術(shù)投資的決策問題。在供應(yīng)鏈環(huán)境下，許多學(xué)者對易逝品庫存系統(tǒng)進(jìn)行了許多深入研究。LIN等［9］考慮了供應(yīng)商與零售商競爭與合作關(guān)系的4種情形，即無共享信息、供應(yīng)商占主導(dǎo)、零售商占主導(dǎo)和合作情形，研究發(fā)現(xiàn)，在合作情況下的信息共享是雙方達(dá)到共贏的最佳選擇。YU等［10］針對一些快速易逝的原材料，如牛奶、水果、蔬菜等可被用來制成低易逝率產(chǎn)品，研究了制造商如何管理高易逝率原材料和低易逝率成品的庫存，即VMI型的供應(yīng)鏈庫存管理模型。DAS等［11］研究了由一個供應(yīng)商和一個零售商組成的兩級供應(yīng)鏈易逝品整合生產(chǎn)庫存模型，并假設(shè)零售商可以延期支付訂購成本，其訂購成本是關(guān)于信用期限的線性函數(shù)。許多其他學(xué)者在易逝品供應(yīng)鏈方面也做了大量的研究，如RAU［12］、GIRI［13］、章德賓等［14］等。

基于上述文獻(xiàn)的回顧，發(fā)現(xiàn)研究倉儲技術(shù)投資方面的文獻(xiàn)較少，而已有的相關(guān)文獻(xiàn)只考慮供應(yīng)鏈中一個成員節(jié)點(diǎn)的決策。而在實(shí)際中，許多企業(yè)正努力通過建立完善的倉儲信息系統(tǒng)、改進(jìn)倉儲物流設(shè)備等措施來降低產(chǎn)品的易逝率，并置身于供應(yīng)鏈環(huán)境中參與上下游企業(yè)之間的合作與競爭，采取適當(dāng)?shù)牟呗?，?shí)現(xiàn)企業(yè)成本控制?；谶@些實(shí)際情況，筆者構(gòu)建了由一個制造商和多個零售商組成的兩級易逝品供應(yīng)鏈生產(chǎn)庫存管理模型，考慮制造商和零售商共用一個倉庫并共同對倉儲技術(shù)進(jìn)行投資來控制易逝率，以供應(yīng)鏈單位時間總成本最小化為目標(biāo)，研究集成環(huán)境下供應(yīng)鏈各方的最優(yōu)策略問題，并通過數(shù)值計算分析模型中主要參數(shù)的變化對最優(yōu)策略的影響。

1 假設(shè)與符號說明

模型中所使用符號定義如下:i=1，2，…，m為第i個零售商，c為易逝品每單位的變質(zhì)成本，di為零售商i單位時間的市場需求，h為單位產(chǎn)品的庫存持有成本，Km為制造商每周期的生產(chǎn)啟動成本，Kri為零售商i每次的訂貨成本，q為制造商的生產(chǎn)速率，tmi為每個周期內(nèi)制造商為滿足零售商i的需求所生產(chǎn)的時間，T為所有零售商的共同訂貨周期，Im(t)、Iri(t)為制造商、零售商i在t時刻的庫存量，Qi為每個訂貨周期零售商i的訂貨量，θ為自然環(huán)境下產(chǎn)品的易逝率系數(shù)，u為單位時間對倉儲技術(shù)改善的投資努力，f(u)為易逝率系數(shù)的減少比例(0≤f(u)≤1)，φi為零售商i投資倉儲技術(shù)的資金比例，Tcri為每個訂貨周期零售商i單位時間的總成本，Tcm為每個訂貨周期制造商單位時間的總成本，JTC為每個訂貨周期整個庫存系統(tǒng)單位時間的總成本。

筆者假設(shè)如下:①考慮在無限循環(huán)周期內(nèi)由單個制造商和多個零售商構(gòu)成的兩級供應(yīng)鏈，生產(chǎn)經(jīng)營一種易逝性產(chǎn)品。②供應(yīng)商和零售商共用一個倉庫，并共同投資倉儲技術(shù)以降低產(chǎn)品的易逝率。③制造商以一個給定的生產(chǎn)率進(jìn)行連續(xù)生產(chǎn)，并且每個周期只生產(chǎn)一次，直到滿足單個補(bǔ)貨周期內(nèi)零售商的訂購量時停止生產(chǎn)，并把所有產(chǎn)品交給零售商。④在一個周期內(nèi)，零售商只訂貨一次，訂貨提前期為零，并且不允許缺貨。⑤單位時間投資倉儲技術(shù)的費(fèi)用為 gu，g＞0。⑥易逝率的減少比例f(u)是一個關(guān)于投資倉儲技術(shù)努力水平 u的連續(xù)遞增的凹函數(shù)，即 f'(u)＞0，f″(u) ＜0。

2 模型與求解

圖1給出了制造商和零售商i產(chǎn)品庫存的變化情況。零售商在每周期起初收到訂貨量，Iri(t)為其t時刻的庫存水平，則Iri(t)滿足如下微分方程，其中f(u)簡記為f:

圖1 制造商和零售商的產(chǎn)品庫存變化情況

并有邊界條件Iri(T)=0。

從而解得:

零售商i單位時間的總成本為:

由于假設(shè)制造商按零售商的訂單進(jìn)行生產(chǎn)，Imi(t)是制造商為零售商i提供產(chǎn)品前的庫存水平，則制造商每個訂貨周期T內(nèi)的庫存變化滿足微分方程:

且滿足邊界條件Imi(tmi)=0。

求解得:

制造商為零售商i的生產(chǎn)時間tmi由Imi(T)=Qi決定，即:

在訂貨周期T內(nèi)，制造商的庫存持有成本為:

制造商產(chǎn)品的變質(zhì)處置成本為c(qtmi－Qi)。制造商單位時間的總成本為:

則集成環(huán)境下供應(yīng)鏈單位時間的總成本為:

命題1 對于任意給定的投資努力水平u，存在最優(yōu)的訂貨周期T*使整個供應(yīng)鏈單位時間上的總成本最小。

證明 Tc關(guān)于訂貨周期T的二階導(dǎo)數(shù)為:

最優(yōu)的訂貨周期T*滿足:

命題2 對于任意給定的訂貨周期T，存在最優(yōu)的投資努力水平u*使整個供應(yīng)鏈單位時間上的總成本最小。

證明 Tc關(guān)于訂貨周期u的二階導(dǎo)數(shù)為:

最優(yōu)的投資努力水平滿足:

在集中環(huán)境下，供應(yīng)鏈的最優(yōu)策略(T*，u*)可由如下算法步驟求得:

(1)令i=1，給定初始值ui和計算精度ε;

(2)把ui代入式(9)，求得Ti;

(3)將步驟(2)得到的Ti代入式(10)，解得ui+1;如果|ui+1－ ui|≤ε，u*=ui+1，T*=Ti，結(jié)束。否則，重復(fù)步驟(2)。

3 數(shù)值算例

筆者借鑒文獻(xiàn)［5－6］假設(shè)的易逝率系數(shù)減少比例的函數(shù)f(u)=1－e－γu，γ ＞0。模型中相關(guān)參數(shù)賦值如下:c=2，h=2，g=3，di=100，q=600，Kri=100，Km=100，θ=0.4，γ =0.05。當(dāng)零售商數(shù)量m=3時，集中環(huán)境下的最優(yōu)策略為T*=0.965，u*=25.286=0.172，=101.9，相應(yīng)的供應(yīng)鏈中單位總成本為JTC*=885.3。

筆者接下來考慮模型中幾個重要參數(shù)的變化對集中環(huán)境下供應(yīng)鏈最優(yōu)策略的影響問題。

(1)不同變質(zhì)處置成本c對最優(yōu)策略的影響。不同變質(zhì)處置成本c對最優(yōu)策略的影響如表1所示。

表1 不同變質(zhì)處置成本c對最優(yōu)策略的影響

由表1知，隨著變質(zhì)處置成本的增加，最優(yōu)的訂貨周期、倉儲技術(shù)投資努力水平和供應(yīng)鏈單位時間總成本會隨之增加，零售商最優(yōu)的訂貨量和制造商最優(yōu)的生產(chǎn)時間會隨之減少?？梢钥闯?，當(dāng)變質(zhì)處置成本增加時，集中環(huán)境下供應(yīng)鏈各方會增加倉儲技術(shù)投資，并且零售商會降低訂貨量來減少由于產(chǎn)品變質(zhì)而帶來的處置成本。由于增加了倉儲技術(shù)投資，產(chǎn)品的變質(zhì)量減少了，則補(bǔ)貨周期會增加;由于訂貨量減少了，則制造商的生產(chǎn)時間也會相應(yīng)減少。

(2)不同市場需求di對供應(yīng)鏈最優(yōu)策略的影響。不同市場需求di對供應(yīng)鏈最優(yōu)策略的影響如表2所示。

由表2可知，隨著市場需求的增加，最優(yōu)的倉儲技術(shù)投資、零售商的訂貨量、制造商的生產(chǎn)時間，以及供應(yīng)鏈的單位總成本會隨之增加，而訂貨周期會隨之降低。從經(jīng)濟(jì)管理的角度看，當(dāng)市場需求增加時，零售商的訂貨量和制造商的生產(chǎn)時間會同步增加，并且供應(yīng)鏈各方會增加倉儲技術(shù)投資以減少產(chǎn)品變質(zhì)來滿足市場需求的增加;同時，隨著市場需求的增加，零售商們也會縮短訂貨周期，增加訂貨頻率來滿足更多的需求。

表2 不同市場需求di對供應(yīng)鏈最優(yōu)策略的影響

(3)不同庫存持有成本h對供應(yīng)鏈最優(yōu)策略的影響。不同庫存持有成本h對供應(yīng)鏈最優(yōu)策略的影響如表3所示。

表3 不同庫存持有成本h對供應(yīng)鏈最優(yōu)策略的影響

由表3可知，隨著庫存持有成本的增加，供應(yīng)鏈單位時間的總成本會隨之增加，而最優(yōu)的訂貨周期、倉儲技術(shù)投資、零售商的訂貨量，以及制造商的生產(chǎn)時間會隨之減少?？梢钥闯?，當(dāng)庫存持有成本增加時，零售商會降低訂貨量、縮短訂貨周期以減少產(chǎn)品的庫存量來降低成本;由于零售商訂貨量的減少，制造商的生產(chǎn)時間也會隨著減少;同時，隨著庫存持有成本的增加，供應(yīng)鏈各方也會減少倉儲技術(shù)投資以避免庫存持有成本的增加。

(4)不同數(shù)量的零售商m對供應(yīng)鏈最優(yōu)策略的影響。不同數(shù)量的零售商m對供應(yīng)鏈最優(yōu)策略的影響如表4所示。

表4 不同數(shù)量的零售商m對供應(yīng)鏈最優(yōu)策略的影響

由表4可知，隨著零售商數(shù)量的增加，最優(yōu)的倉儲技術(shù)投資、供應(yīng)鏈單位總成本會隨之增加，而最優(yōu)的訂貨周期、零售商的訂貨量和制造商的生產(chǎn)時間會隨之減小。由此可以看出，當(dāng)新的零售商加入時，意味著供應(yīng)鏈中市場總需求的增加，制造商生產(chǎn)的總產(chǎn)品數(shù)會增加，以及整個供應(yīng)鏈倉儲系統(tǒng)中單位時間的庫存總量會增加，這些必然致使供應(yīng)鏈各方增加倉儲技術(shù)投資來降低產(chǎn)品變質(zhì)滿足更多的市場需求。

(5)不同易逝率θ下的供應(yīng)鏈最優(yōu)策略。不同易逝率θ下的供應(yīng)鏈最優(yōu)策略如表5所示。

表5 不同易逝率θ下的供應(yīng)鏈最優(yōu)策略

由表5可知，當(dāng)產(chǎn)品的易逝率系數(shù)比較小時，投資于倉儲技術(shù)的資金為零，并且隨著易逝率系數(shù)的增加，零售商的補(bǔ)貨周期會隨之降低，每周期的訂貨量也會減少，這是由于當(dāng)產(chǎn)品易逝率較小不值得投資控制時，可通過減少倉儲庫存量來減少產(chǎn)品變質(zhì)進(jìn)而控制成本。當(dāng)產(chǎn)品的易逝率系數(shù)逐漸增加并超過某一值時，投資于倉儲改善的資金會隨之增加，而這時，會發(fā)現(xiàn)隨著易逝率的增加，其他決策基本不變，這是供應(yīng)鏈各方出于維護(hù)產(chǎn)品市場占有率的穩(wěn)定和供應(yīng)鏈各方整體關(guān)系的穩(wěn)定而做出的決策。

4 結(jié)論

筆者探討了一個由單個制造商和多個零售商構(gòu)成的兩級供應(yīng)鏈關(guān)于易逝品的生產(chǎn)庫存管理問題?？紤]企業(yè)可以對倉儲技術(shù)進(jìn)行投資改善來控制降低產(chǎn)品的易逝率，以供應(yīng)鏈單位時間總成本最小化為目標(biāo)，研究集成環(huán)境下供應(yīng)鏈各方的最優(yōu)策略問題。最后通過數(shù)值算例分析了變質(zhì)處置成本、庫存持有成本、市場需求、零售商數(shù)量以及產(chǎn)品易逝率系數(shù)等的變化對供應(yīng)鏈最優(yōu)策略的影響，可為易逝品供應(yīng)鏈管理決策提供參考。

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